8. Sınıf Matematik LGS Hazırlık Notları
📌 Olasılık Konusu
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını ifade eden matematiksel bir kavramdır. Temel olarak, istenilen durumların sayısının, tüm olası durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.
Temel Formül:
Olasılık \(=\) \(\frac{\text{İstenilen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}\)
Anahtar Kavramlar:
- Deney: Olasılık sonucunu gözlemlediğimiz işlem (örn: zar atma, para atma).
- Olay: Deneyin sonuçlarından bir veya birkaçının gerçekleşmesi (örn: zarın tek gelmesi).
- Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesi (örn: zar atıldığında {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
- Basit Olay: Örnek uzayın tek bir elemanından oluşan olay.
💡 Örnek: Bir torbada \(5\) mavi ve \(3\) kırmızı bilye var. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde mavi gelme olasılığı nedir?
- Tüm olası durum sayısı (bilye sayısı): \(5 + 3 = 8\)
- İstenilen durum sayısı (mavi bilye sayısı): \(5\)
- Mavi gelme olasılığı \(=\) \(\frac{5}{8}\)
🚀 Özdeşlikler ve Denklem Kurma
Özdeşlikler, her \(x\) değeri için doğru olan eşitliklerdir. Denklem çözümlerinde ve cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılırlar. En sık karşılaşılan özdeşliklerden bazıları şunlardır:
- İki Kare Farkı: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
- Tam Kare Özdeşlikleri:
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Denklem Kurma: Problemdeki bilgileri kullanarak bilinmeyen bir değeri temsil eden değişkenler (genellikle \(x\)) ile bir eşitlik oluşturma işlemidir. Bu eşitlik çözülerek bilinmeyenin değeri bulunur.
✅ Örnek: Bir sayının \(3\) katının \(5\) fazlası, aynı sayının \(2\) katının \(10\) fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
- Sayıya \(x\) diyelim.
- Denklem: \(3x + 5 = 2x + 10\)
- \(3x - 2x = 10 - 5\)
- \(x = 5\)
💡 Üslü Sayılar
Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını daha kısa bir şekilde göstermeye yarar. \(a^n\) ifadesinde \(a\) taban, \(n\) üs (kuvvet) olarak adlandırılır.
Temel Kurallar:
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) (Tabanlar aynıysa üsler toplanır)
- \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır)
- \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) (Üssün üssü çarpılır)
- \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
- \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)
- \(a^0 = 1\) (Sıfır hariç tüm sayıların \(0\). kuvveti \(1\) 'dir)
- \(a^1 = a\)
- \(1^n = 1\)
- \(0^n = 0\) (\(n > 0\) için)
Negatif Üsler: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
Sayıların Karşılaştırılması:
- Tabanlar eşitse, üssü büyük olan daha büyüktür.
- Üsler eşitse, tabanı büyük olan daha büyüktür.
Örnek: \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\). \(10^2 = 10 \times 10 = 100\). \(5^0 = 1\). \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
Bir rafta \(3\) matematik, \(4\) fizik ve \(2\) kimya kitabı bulunmaktadır. Bu kitaplardan rastgele biri seçildiğinde fizik kitabı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
- Toplam kitap sayısı (tüm olası durumlar): \(3 + 4 + 2 = 9\)
- Fizik kitabı sayısı (istenilen durum): \(4\)
- Fizik kitabı gelme olasılığı \(=\) \(\frac{\text{Fizik Kitabı Sayısı}}{\text{Toplam Kitap Sayısı}} = \frac{4}{9}\)
Soru 2:
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir özdeşliktir? A) \(2x + 3 = 7\) B) \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) C) \(5x - x = 4x + 1\) D) \(x^2 - 9 = (x-3)(x-3)\)
Çözüm:
- Bir eşitliğin özdeşlik olabilmesi için her \(x\) değeri için doğru olması gerekir.
- A) \(2x + 3 = 7\) denklemi sadece \(x=2\) için doğrudur, bu bir denklemdir.
- B) \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) ifadesi tam kare özdeşliğidir ve her \(x\) değeri için doğrudur.
- C) \(5x - x = 4x + 1\) sadeleşirse \(4x = 4x + 1\) olur ki bu yanlıştır.
- D) \(x^2 - 9 = (x-3)(x-3)\) ifadesi \(x^2 - 9 = x^2 - 6x + 9\) olur ki bu yanlıştır.
- Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir kutuda özdeş \(4\) kırmızı, \(5\) mavi ve \(3\) yeşil top bulunmaktadır. Kutudan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{3}\)B) \(\frac{5}{12}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{3}{12}\)
Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının \(7\) olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{6}\)B) \(\frac{1}{9}\)
C) \(\frac{5}{36}\)
D) \(\frac{7}{36}\)
Bir sınıfta \(15\) erkek ve \(10\) kız öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olmama olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{2}{5}\)B) \(\frac{3}{5}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{1}{3}\)
\(4x^2 + \square + 25\) cebirsel ifadesinin bir tam kare özdeşlik olabilmesi için \(\square\) yerine aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi gelmelidir?
A) \(5x\)B) \(10x\)
C) \(20x\)
D) \(25x\)
Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu diğerlerinden farklıdır?
A) \((2^3)^2 \times 2^4\)B) \(2^{10} \div 2^{-1}\)
C) \(8^2 \times 4^2\)
D) \(\frac{2^{15}}{2^5}\)
Işık hızı yaklaşık olarak saniyede \(300.000\) kilometre olarak kabul edilir. Güneş'ten Dünya'ya olan ortalama uzaklık yaklaşık \(150.000.000\) kilometredir. Güneş'ten çıkan bir ışığın Dünya'ya ulaşması kaç saniye sürer? Cevabınızı bilimsel gösterimle ifade ediniz. (Hatırlatma: Yol \(=\) Hız \(\times\) Zaman)
A) \(5 \times 10^2\)B) \(5 \times 10^3\)
C) \(5 \times 10^4\)
D) \(5 \times 10^5\)
Aşağıdaki sayılardan hangisi \(2^{12}\) sayısından daha küçüktür?
A) \(4^6\)B) \(8^4\)
C) \(16^3\)
D) \(32^2\)
Aşağıdakilerden hangisi \((3x-5)^2\) ifadesinin özdeşidir?
A) \(9x^2 - 25\)B) \(9x^2 + 25\)
C) \(9x^2 - 15x + 25\)
D) \(9x^2 - 30x + 25\)
Kenar uzunlukları \((4x+3)\) cm ve \((4x-3)\) cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?
A) \(16x^2 - 9\)B) \(16x^2 + 9\)
C) \(16x^2 - 12x + 9\)
D) \(16x^2 + 12x + 9\)
Bir kutuda \(3\) kırmızı, \(4\) mavi ve \(5\) yeşil top bulunmaktadır. Kutudan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{4}\)B) \(\frac{1}{3}\)
C) \(\frac{5}{12}\)
D) \(\frac{1}{2}\)
\(1\) 'den \(20\) 'ye kadar (\(1\) ve \(20\) dahil) numaralandırılmış özdeş kartlar bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele çekilen bir kartın numarasının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{5}\)B) \(\frac{2}{5}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{3}{5}\)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi \((3x-2)^2\) özdeşliğine eşittir?
A) \(9x^2 - 4\)B) \(9x^2 - 6x + 4\)
C) \(9x^2 - 12x + 4\)
D) \(3x^2 - 12x + 4\)
Bir tam kare ifade olan \(x^2 + \Delta x + 25\) özdeşliğinde \(\Delta\) yerine gelebilecek pozitif tam sayı kaçtır?
A) \(5\)B) \(10\)
C) \(20\)
D) \(25\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\frac{2^6 \times 16^2}{4^3}\)
A) \(2^7\)B) \(2^8\)
C) \(2^9\)
D) \(2^{10}\)
Aşağıdaki \(A\), \(B\) ve \(C\) sayılarının doğru sıralaması nedir? \(A = 2^{12}\) \(B = 4^5\) \(C = 8^4\)
A) \(A < B < C\)B) \(B < A = C\)
C) \(A = B < C\)
D) \(C < B < A\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1020-8-sinif-lgs-olasilik-ozdeslik-ve-uslu-sayilar-test-coz-sk59