Karesel Fonksiyonlara Giriş (10. Sınıf)
10. Sınıf matematik dersinde, karesel fonksiyonlar, genel olarak \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Burada \(a\), \(b\) ve \(c\) katsayıları reel sayılardır ve \(a
eq 0\) olmalıdır. Karesel fonksiyonların grafikleri parabol adı verilen eğrilerdir. Bu eğrilerin özellikleri, fonksiyonun katsayılarına bağlı olarak değişir.
Referans Fonksiyon: \(f(x) = x^2\) (10. Sınıf)
En basit karesel fonksiyon, referans fonksiyon olarak da bilinen \(f(x) = x^2\) fonksiyonudur. Bu fonksiyonun grafiği, orijinden geçen ve yukarı doğru açılan bir paraboldür.
- Tanım Kümesi: Tüm reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
- Görüntü Kümesi: \([0, ∞)\) (0 ve sonsuz aralığı).
- Simetri Ekseni: \(x = 0\) (y ekseni).
- Tepe Noktası: \((0, 0)\).
- Artan Olduğu Aralık: \((0, ∞)\).
- Azalan Olduğu Aralık: \((-∞, 0)\).
Karesel Fonksiyonların Nitelikleri (10. Sınıf)
Genel bir karesel fonksiyon olan \(f(x) = ax^2 + bx + c\) için:
- \(a > 0\) ise: Parabol yukarı bakar, tepe noktası minimum noktadır. 😃
- \(a < 0\) ise: Parabol aşağı bakar, tepe noktası maksimum noktadır. 😞
- Tepe Noktası: \(T(r, k)\) olmak üzere, \(r = -\frac{b}{2a}\) ve \(k = f(r)\) 'dir.
- Simetri Ekseni: \(x = r\) doğrusudur.
- Diskriminant (\(\Delta\)): \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- \(\Delta > 0\) ise: İki farklı reel kök vardır (parabol x eksenini iki noktada keser).
- \(\Delta = 0\) ise: Tek reel kök (çift katlı kök) vardır (parabol x eksenine teğettir).
- \(\Delta < 0\) ise: Reel kök yoktur (parabol x eksenini kesmez).
Örnek Sorular (10. Sınıf)
Örnek 1: \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) fonksiyonunun tepe noktasını bulunuz.
Çözüm: \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 6\). Tepe noktasının x koordinatı \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\). Tepe noktasının y koordinatı \(k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Dolayısıyla tepe noktası \((2, -2)\) 'dir.
Örnek 2: \(g(x) = -x^2 + 4x - 4\) fonksiyonunun kaç tane reel kökü vardır?
Çözüm: \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -4\). Diskriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0\). \(\Delta = 0\) olduğundan, fonksiyonun bir tane reel kökü (çift katlı kök) vardır.
Aşağıdaki referans fonksiyonlardan hangisinin grafiği y-eksenine göre simetriktir?
A) \(f(x) = x^3\)B) \(f(x) = x^2\)
C) \(f(x) = \sqrt{x}\)
D) \(f(x) = x\)
E) \(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\) referans fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\mathbb{R}\)B) \(\mathbb{R}^+\)
C) \([0, ∞)\)
D) \((0, ∞)\)
E) \(\mathbb{R}^-\)
\(f(x) = x^2\) referans fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(g(x) = (x+3)^2+2\)B) \(g(x) = (x-3)^2+2\)
C) \(g(x) = (x+3)^2-2\)
D) \(g(x) = (x-3)^2-2\)
E) \(g(x) = -(x-3)^2+2\)
\(f(x) = |x|\) referans fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Tanım kümesi \([0, ∞)\) 'dur.B) Görüntü kümesi \(\mathbb{R}\) 'dir.
C) \(x \in (-∞, 0)\) için azalan, \(x \in (0, ∞)\) için artandır.
D) Başlangıç noktasına göre simetriktir.
E) Grafiği \((-1, -1)\) noktasından geçer.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi \(f(x) = x\) ve \(g(x) = x^2\) referans fonksiyonları için YANLIŞTIR?
A) Her iki fonksiyon da orijinden geçer.B) \(f(x)\) fonksiyonu daima artandır.
C) \(g(x)\) fonksiyonunun \(x=0\) noktasında bir minimum değeri vardır.
D) \(f(x)\) tek fonksiyon, \(g(x)\) çift fonksiyondur.
E) \(f(x)\) fonksiyonunun görüntü kümesi \([0, ∞)\) 'dur.
\(f(x) = \frac{1}{x}\) referans fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Grafiği x-eksenini keser.B) \(x=0\) noktasında süreklidir.
C) Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) 'dir.
D) Tanım kümesinin tamamında azalandır.
E) \((1,1)\) ve \((-1,-1)\) noktalarından geçer.
\(f(x) = -2x^2 + 4x - 5\) karesel fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Kollar aşağı doğrudur.B) y-eksenini \((0, -5)\) noktasında keser.
C) Tepe noktasının apsisi \(x=1\) 'dir.
D) Fonksiyonun en büyük değeri \(-3\) 'tür.
E) x-eksenini farklı iki noktada keser.
\(f(x) = x^2 - 6x + 10\) fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, 1)\)B) \((3, -1)\)
C) \((-3, 1)\)
D) \((1, 3)\)
E) \((-1, 3)\)
Karesel bir fonksiyonun sıfırları (x-eksenini kestiği noktalar) \(x_1 = -2\) ve \(x_2 = 8\) olduğuna göre, bu fonksiyonun simetri ekseninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(x=3\)B) \(x=4\)
C) \(x=5\)
D) \(x=6\)
E) \(x=7\)
\(f(x) = x^2 + (m-1)x + 4\) karesel fonksiyonunun x-eksenini tek bir noktada kesmesi için \(m\) hangi değerleri alabilir?
A) \(\{-5, 3\}\)B) \(\{3, 5\}\)
C) \(\{-3, 5\}\)
D) \(\{-5, -3\}\)
E) \(\{5\}\)
Bir mağazanın bir üründen günde sattığı \(x\) adet ürün için günlük kar fonksiyonu \(K(x) = -2x^2 + 120x - 800\) olarak modellenmiştir. Bu mağazanın günlük maksimum karı kaç TL'dir?
A) \(1000\)B) \(1050\)
C) \(1100\)
D) \(1200\)
E) \(1250\)
Aşağıda grafiği verilen \(y=ax^2+bx+c\) parabolü için \(a, b, c\) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(Grafik açıklaması: Kollar aşağı doğru, y-eksenini pozitif bir noktada kesiyor ve tepe noktası y-ekseninin sol tarafındadır.)
B) \(-, -, +\)
C) \(+, -, +\)
D) \(+, +, -\)
E) \(-, +, -\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/105-10-sinif-referans-fonksiyonun-ve-karesel-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-testi-9281