📌 LGS Matematik Konuları: Kapsamlı Çalışma Notları
Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri,
LGS Matematik sınavında başarılı olmak için belirli konuları derinlemesine kavramak çok önemlidir. Bu notlar, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma, Üslü Sayılar, Çarpanlar ve Katlar ile EBOB-EKOK Problemleri konularına odaklanarak size rehberlik edecektir. Hazırsanız başlayalım! 🚀
📌 Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
Özdeşlik Nedir?
İçerdiği değişkenlere verilen her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Denklemlerden farkı, denklemlerin belirli değerler için doğru olmasıdır.
- Tam Kare Özdeşlikler:
- İki Terim Toplamının Karesi: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- İki Terim Farkının Karesi: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- İki Kare Farkı Özdeşliği:
- \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
Bir ifadeyi iki veya daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: Bir ifadedeki tüm terimlerde ortak olan çarpanı parantez dışına alma. Örnek: \( 3x + 6 = 3(x+2) \)
- Gruplandırma Yöntemi: Dört veya daha fazla terimli ifadelerde, terimleri gruplara ayırarak ortak çarpan bulma. Örnek: \( ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) \)
- Özdeşliklerden Faydalanma: Tam kare veya iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak çarpanlara ayırma. Örnek: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \)
💡 Üslü Sayılar
Üslü Sayıların Tanımı ve Özellikleri
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü sayı denir. \( a^n \) ifadesinde \( a \) taban, \( n \) üsttür. \( a^n = a \times a \times ... \times a \) (\( n \) defa)
- Üssün Üssü: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
- Çarpma İşlemi:
- Tabanlar Aynı İse: Üsler toplanır. \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
- Üsler Aynı İse: Tabanlar çarpılır. \( a^n \times b^n = (a \times b)^n \)
- Bölme İşlemi:
- Tabanlar Aynı İse: Üsler çıkarılır. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- Üsler Aynı İse: Tabanlar bölünür. \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \)
- Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini ifade eder. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
- Ondalık Gösterimlerin Çözümlenmesi ve Bilimsel Gösterim:
- Çözümleme: Sayıları basamak değerlerine göre üslü ifadelerle yazma (\( 10^0, 10^1, 10^{-1} \) vb.)
- Bilimsel Gösterim: \( 1 \le |a| < 10 \) olmak üzere \( a \times 10^n \) şeklinde gösterim.
✅ Çarpanlar ve Katlar, EBOB - EKOK
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma
Kendisi ve \( 1 \) dışında hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen \( 1 \) 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. (Örnek: \( 2, 3, 5, 7, 11, ... \))
Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
- Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir.
- Hesaplama: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
- Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.
- Hesaplama: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır.
EBOB - EKOK Problemleri
💡 İpuçları:
- EBOB Problemleri: Büyük parçalardan küçük eşit parçalar elde etme, gruplara ayırma, bidonları doldurma gibi durumlarda kullanılır. (Örnek: tarlayı parsellere ayırma, kumaşları eşit parçalara bölme)
- EKOK Problemleri: Küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturma, birleşme, aynı anda tekrar etme gibi durumlarda kullanılır. (Örnek: otobüslerin aynı anda kalkması, zillerin birlikte çalması)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru \(1\): Özdeşlik ve Çarpanlara Ayırma
Soru: Bir kenar uzunluğu \( (x+3) \) cm olan karesel bir bahçenin ortasına, bir kenar uzunluğu \( (x-1) \) cm olan karesel bir havuz yapılmıştır. Buna göre, havuz dışında kalan alan kaç \( cm^2 \) 'dir?
Çözüm:
Bahçenin alanı: \( (x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Havuzun alanı: \( (x-1)^2 = x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1 \)
Havuz dışında kalan alan, bahçenin alanından havuzun alanının çıkarılmasıyla bulunur:
\( (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 2x + 1) \)
\( = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 2x - 1 \)
\( = (x^2 - x^2) + (6x + 2x) + (9 - 1) \)
\( = 0 + 8x + 8 \)
\( = 8x + 8 \)
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: \( 8(x+1) \)
Cevap: \( 8x + 8 \) veya \( 8(x+1) \) \( cm^2 \) 'dir.
Soru \(2\): EBOB-EKOK Problemi
Soru: Bir hastanede hemşireler \( 6 \) günde bir, doktorlar ise \( 8 \) günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi ilk kez Pazartesi günü birlikte nöbet tuttuklarına göre, üçüncü kez hangi gün birlikte nöbet tutarlar?
Çözüm:
Hemşire ve doktorların tekrar birlikte nöbet tutacakları gün sayısını bulmak için \( 6 \) ve \( 8 \) 'in EKOK'unu bulmalıyız.
\( 6 = 2 \times 3 \)
\( 8 = 2^3 \)
EKOK(\( 6, 8 \)) \( = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24 \) gün.
Yani, her \( 24 \) günde bir birlikte nöbet tutarlar.
İlk kez Pazartesi günü nöbet tuttular.
İkinci kez nöbet: İlk nöbetten \( 24 \) gün sonra.
Üçüncü kez nöbet: İkinci nöbetten \( 24 \) gün sonra, yani ilk nöbetten \( 24 + 24 = 48 \) gün sonra.
Haftanın günleri \( 7 \) günde bir tekrar eder. Bu yüzden \( 48 \) 'i \( 7 \) 'ye bölelim ve kalana bakalım.
\( 48 \div 7 = 6 \) kalan \( 6 \).
Pazartesi gününden \( 6 \) gün sonrası: Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar.
Cevap: Üçüncü kez Pazar günü birlikte nöbet tutarlar.
Aşağıdakilerden hangisi \((5x-3)^2\) özdeşliğinin doğru açılımıdır?
A) \(25x^2 - 9\)B) \(25x^2 + 9\)
C) \(25x^2 - 15x + 9\)
D) \(25x^2 - 30x + 9\)
Bir kenar uzunluğu \((7a+4)\) birim olan bir kare ile bir kenar uzunluğu \((7a-4)\) birim olan başka bir karenin alanları farkı kaçtır?
A) \(14a\)B) \(16\)
C) \(56a\)
D) \(49a^2 - 16\)
\(x^2 + \square + 49\) ifadesinin bir tam kare özdeşlik olabilmesi için \(\square\) yerine aşağıdaki ifadelerden hangisi gelmelidir?
A) \(7x\)B) \(14x\)
C) \(21x\)
D) \(49x\)
Eğer \(a+b=9\) ve \(a \cdot b=15\) ise, \(a^2+b^2\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(36\)B) \(51\)
C) \(66\)
D) \(81\)
Kenar uzunluğu \(x\) birim olan bir kareden, kenar uzunluğu \(y\) birim olan bir kare kesilip çıkarılıyor. Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? (Ayrıca \(x > y\) kabul edilmiştir.)
A) \((x-y)^2\)B) \(x^2+y^2\)
C) \(x^2-y^2\)
D) \((x+y)^2\)
\(180\) sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
A) \(8\)B) \(10\)
C) \(12\)
D) \(15\)
\(90\) ve \(120\) sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
A) \(15\)B) \(20\)
C) \(30\)
D) \(45\)
\(15\) ve \(20\) sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?
A) \(30\)B) \(40\)
C) \(60\)
D) \(120\)
Boyutları \(48 \text{ m}\) ve \(60 \text{ m}\) olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç artmayacak ve eşit büyüklükte olacak şekilde kare parsellere ayrılacaktır. Buna göre, bir kare parselin bir kenar uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?
A) \(6\)B) \(8\)
C) \(12\)
D) \(16\)
Bir duraktan hareket eden iki otobüsten biri \(45\) dakikada bir, diğeri ise \(60\) dakikada bir sefer yapmaktadır. İki otobüs ilk kez saat \(08:00\) 'de birlikte hareket ettiklerine göre, ikinci kez saat kaçta birlikte hareket ederler?
A) \(09:30\)B) \(10:00\)
C) \(10:30\)
D) \(11:00\)
Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisi diğerlerinden farklı bir değere sahiptir?
A) \(2^3\)B) \((-2)^3\)
C) \(-2^3\)
D) \(-(2^3)\)
\(\frac{8^3 \times 16^2}{4^5}\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2^7\)B) \(2^8\)
C) \(2^9\)
D) \(2^{10}\)
\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-2}\) sayısının \(5^{-3}\) katı kaçtır?
A) \(5^1\)B) \(5^2\)
C) \(5^3\)
D) \(5^4\)
Bir bakteri türünün boyutu \(0.0000000045\) metre olarak ölçülmüştür. Bu sayının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(4.5 \times 10^{-8}\)B) \(4.5 \times 10^{-9}\)
C) \(4.5 \times 10^{-10}\)
D) \(0.45 \times 10^{-8}\)
Bir depoda başlangıçta \(2^{10}\) litre su bulunmaktadır. Her gün depodaki suyun yarısı kullanılmaktadır. Buna göre, \(3\) gün sonunda depoda kaç litre su kalır?
A) \(2^6\)B) \(2^7\)
C) \(2^8\)
D) \(2^9\)
Bir otobüs durağından \(A\) ve \(B\) hatlarındaki otobüsler sırasıyla \(15\) dakika ve \(20\) dakikada bir hareket etmektedir. Bu iki hat otobüsü ilk kez saat \(08:00\) 'de birlikte hareket ettiklerine göre, ikinci kez saat kaçta birlikte hareket ederler?
A) \(08:45\)B) \(08:50\)
C) \(09:00\)
D) \(09:15\)
Boyutları \(108\) cm ve \(144\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kumaş, hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte kare parçalara ayrılacaktır. Elde edilecek kare parçaların bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
A) \(12\)B) \(18\)
C) \(24\)
D) \(36\)
Bir kasadaki güller \(6\) 'şarlı ve \(8\) 'erli demetlendiğinde her seferinde \(4\) gül artmaktadır. Kasadaki gül sayısının \(100\) ile \(150\) arasında olduğu bilindiğine göre, kasada toplam kaç gül vardır?
A) \(124\)B) \(132\)
C) \(140\)
D) \(148\)
Bir marangoz, boyutları \(120\) cm ve \(150\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir suntayı, hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte kare tahtalara ayırmak istiyor. Marangozun bu işlemden en az sayıda kare tahta elde etmesi için bir kenarı kaç cm olan kareler kesmelidir?
A) \(10\)B) \(15\)
C) \(30\)
D) \(60\)
Bir lisenin bahçesine dikilecek fidanlar, \(12\) 'şerli veya \(16\) 'şarlı gruplar halinde dizildiğinde her seferinde \(5\) fidan artmaktadır. Bahçedeki fidan sayısının \(200\) 'den fazla olduğu bilindiğine göre, fidan sayısı en az kaçtır?
A) \(203\)B) \(211\)
C) \(221\)
D) \(245\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1062-8-sinif-lgs-ozdeslik-carpanlar-ve-katlar-uslu-sayilar-ve-ebob-ve-ekok-problemleri-test-coz-5s05