📌 Asal Sayılar ve Özellikleri: TYT Matematik Konu Anlatımı
TYT Matematik'in temel taşlarından biri olan asal sayılar konusu, sayı teorisinin önemli bir parçasıdır ve birçok farklı soru tipinde karşımıza çıkabilir. Bu notlarda asal sayıların tanımını, özelliklerini, asal çarpanlara ayırmayı ve aralarında asal sayıları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
💡 Asal Sayı Nedir?
Bir sayının asal sayı olabilmesi için \(1\) ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni (çarpanı) olmaması gerekir. Ayrıca, asal sayılar \(1\) 'den büyük olmak zorundadır.
- En küçük asal sayı \(2\) 'dir.
- \(2\), çift sayılar arasında yer alan tek asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.
- Negatif sayılar asal olamaz. Asal sayılar pozitif tam sayılardır.
- İlk birkaç asal sayı: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots\)
✅ Asal Sayıların Temel Özellikleri
- Her asal sayının yalnızca \(2\) tane pozitif tam sayı böleni vardır: \(1\) ve kendisi.
- İki asal sayının toplamı veya farkı her zaman asal olmak zorunda değildir. Örneğin, \(3+5=8\) (asal değil), \(7-2=5\) (asal).
- \(1\) sayısı asal değildir çünkü sadece \(1\) tane pozitif tam sayı böleni vardır (kendisi).
- Herhangi bir \(A\) doğal sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazabiliriz. Buna asal çarpanlara ayırma denir. Örneğin, \(12 = 2^2 \times 3^1\).
🚀 Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayının çarpanları arasında sadece asal sayıların bulunması demektir. Bu işlem, bir sayının bölenlerini, katlarını veya EBOB-EKOK'unu bulmada çok işe yarar.
Bir \(A\) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali genel olarak şu şekilde gösterilir:
\(A = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times \dots\)
Burada \(p_1, p_2, p_3, \dots\) birbirinden farklı asal sayılar, \(a, b, c, \dots\) ise pozitif tam sayılardır.
Örnek: \(60\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- \(60 \div 2 = 30\)
- \(30 \div 2 = 15\)
- \(15 \div 3 = 5\)
- \(5 \div 5 = 1\)
Dolayısıyla, \(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\) şeklinde yazılır.
💡 Aralarında Asal Sayılar (Göreceli Asal Sayılar)
İki veya daha fazla pozitif tam sayının \(1\) 'den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
- Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin, \(8\) ve \(9\) sayıları asal olmamalarına rağmen aralarında asaldır çünkü EBOB \((8, 9) = 1\).
- Ardışık iki pozitif tam sayı her zaman aralarında asaldır. Örneğin, \(10\) ve \(11\).
- \(1\) sayısı, her pozitif tam sayı ile aralarında asaldır. Örneğin, \(1\) ve \(7\).
- İki sayının aralarında asal olması için asal çarpanlarının ortak olmaması gerekir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
A) \(51\) B) \(57\) C) \(63\) D) \(71\) E) \(87\)
Çözüm:
Asal sayı tanımına göre, \(1\) ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayıyı bulmalıyız.
- A) \(51\): \(5+1=6\) olduğundan \(3\) 'e bölünür. (\(51 = 3 \times 17\)) Asal değil.
- B) \(57\): \(5+7=12\) olduğundan \(3\) 'e bölünür. (\(57 = 3 \times 19\)) Asal değil.
- C) \(63\): \(6+3=9\) olduğundan \(3\) 'e bölünür. (\(63 = 3 \times 21\)) Asal değil.
- D) \(71\): \(2, 3, 5, 7\) gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol edelim.
- \(71 \div 2 eq\) tam sayı
- \(7+1=8\), \(3\) 'e bölünmez.
- Son rakamı \(1\), \(5\) 'e bölünmez.
- \(71 \div 7 = 10\) kalan \(1\).
- \(\sqrt{71} \approx 8.4\). \(71\) 'e kadar olan asal sayıları kontrol etmemiz yeterlidir: \(2, 3, 5, 7\). Hiçbirine bölünmediği için \(71\) bir asal sayıdır.
- E) \(87\): \(8+7=15\) olduğundan \(3\) 'e bölünür. (\(87 = 3 \times 29\)) Asal değil.
Doğru Cevap: D
Örnek Soru 2:
\( (2x-1) \) ve \( (y+3) \) sayıları aralarında asaldır. \( \frac{2x-1}{y+3} = \frac{15}{21} \) olduğuna göre, \( x+y \) kaçtır?
Çözüm:
\( (2x-1) \) ve \( (y+3) \) sayılarının aralarında asal olduğu verilmiş. Verilen kesir \( \frac{15}{21} \) ise, bu kesri en sade haline getirmeliyiz.
\( \frac{15}{21} = \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7} \)
Şimdi elimizde \( \frac{2x-1}{y+3} = \frac{5}{7} \) eşitliği var.
\( (2x-1) \) ve \( (y+3) \) aralarında asal olduğu için, \(5\) ve \(7\) de aralarında asaldır (EBOB \((5, 7) = 1\)).
Bu durumda, payları paylara, paydaları paydalara eşitleyebiliriz:
- \(2x-1 = 5\)
- \(2x = 6\)
- \(x = 3\)
- \(y+3 = 7\)
- \(y = 7-3\)
- \(y = 4\)
Bizden \( x+y \) değeri isteniyor.
\( x+y = 3+4 = 7 \)
Doğru Cevap: \(7\)
İki basamaklı en küçük asal sayı ile rakamları toplamı asal olan en küçük iki basamaklı sayının çarpımı kaçtır?
A) \(121\)B) \(133\)
C) \(143\)
D) \(154\) [E] \(165\)
\(a\), \(b\) ve \(c\) birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, \(a+b+c=30\) olduğuna göre, \(a \cdot b \cdot c\) çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \(210\)B) \(230\)
C) \(374\)
D) \(390\) [E] \(410\)
\(A = \{1, 2, 3, \dots, 30\}\) kümesinin elemanlarından kaç tanesi \(12\) ile aralarında asaldır?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\) [E] \(12\)
\(x\) ve \(y\) birer pozitif tam sayı olmak üzere, \(x^2 - y^2 = 37\) olduğuna göre, \(x \cdot y\) çarpımı kaçtır?
A) \(300\)B) \(320\)
C) \(342\)
D) \(360\) [E] \(380\)
\(p\) bir asal sayı olmak üzere, \(10p+1\) sayısı da asal sayı ise \(p\) 'nin alabileceği bir basamaklı değerler toplamı kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(10\) [E] \(17\)
İki basamaklı en küçük asal sayı ile üç basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?
A) \(102\)B) \(112\)
C) \(114\)
D) \(122\) [E] \(124\)
\(x\) ve \(y\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \((x-3) \cdot (y+2) = 17\) eşitliğini sağlayan kaç farklı \((x,y)\) sıralı ikilisi vardır?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\) [E] \(4\)
Bir \(K\) sayısının asal çarpanları sadece \(2\), \(3\) ve \(5\) 'tir. Buna göre, \(K\) sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) \(30\)B) \(60\)
C) \(90\)
D) \(105\) [E] \(120\)
\(p\) bir asal sayı olmak üzere, \(p+2\) ve \(p+4\) de birer asal sayıdır. Buna göre, \(p\) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(7\) [E] \(11\)
\(A\) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \(A^2 - 4\) ifadesi bir asal sayıya eşittir. Buna göre, \(A\) kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\) [E] \(6\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1077-tyt-asal-sayilar-test-coz-527a