📌 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çalışma Notu
Merhaba sevgili 10. Sınıf öğrencileri! Bu çalışma notu, rasyonel sayılar konusunu pekiştirmeniz ve sınavlarınıza daha iyi hazırlanmanız için özenle hazırlandı. Rasyonel sayılar, matematikte temel taşlardan biridir ve günlük hayatta da sıkça karşımıza çıkar. Hadi başlayalım! 🚀
💡 Rasyonel Sayı Nedir?
Bir rasyonel sayı, \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılara denir. Örneğin, \(\frac{3}{4}\), \(5\) (yani \(\frac{5}{1}\)), \(-\frac{2}{7}\) birer rasyonel sayıdır.
✅ Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi
- Paydalar Eşit İse: Paylar toplanır, ortak payda aynen yazılır.
Örnek: \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5}\)
- Paydalar Farklı İse: Paydalar eşitlenir (genellikle en küçük ortak katları bulunarak), sonra paylar toplanır.
Örnek: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) işleminde paydalar \(2\) ve \(3\) 'tür. Ortak payda \(6\) 'dır.
\(\frac{1}{2}_{ (3) } + \frac{1}{3}_{ (2) } = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}\)
✅ Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi
- Paydalar Eşit İse: Paylar çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
Örnek: \(\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9}\)
- Paydalar Farklı İse: Paydalar eşitlenir, sonra paylar çıkarılır.
Örnek: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{6}\) işleminde paydalar \(4\) ve \(6\) 'dır. Ortak payda \(12\) 'dir.
\(\frac{3}{4}_{ (3) } - \frac{1}{6}_{ (2) } = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}\)
✅ Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılar çarpılırken, paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sadeleştirme varsa işlem öncesinde veya sonrasında yapılabilir.
Formül: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)
Örnek: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}\)
Örnek (Sadeleştirme): \(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{12}{72}\). Sadeleştirirsek \(\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}\).
Veya işlem öncesi sadeleştirme: \(\frac{\cancel{4}^{1}}{9} \cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}\)
✅ Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi
Rasyonel sayılar bölünürken, birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır.
Formül: \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)
Örnek: \(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10}\)
✅ Rasyonel Sayılarda Sıralama
Rasyonel sayıları sıralarken genellikle aşağıdaki yöntemler kullanılır:
- Paydalar Eşit İse: Payı büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür. (Pozitif sayılar için)
Örnek: \(\frac{5}{7} > \frac{3}{7} > \frac{1}{7}\)
- Paylar Eşit İse: Paydası küçük olan rasyonel sayı daha büyüktür. (Pozitif sayılar için)
Örnek: \(\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{8}\)
- Paydalar Farklı İse: Paydalar eşitlenir ve paydası eşit olan sayılar gibi sıralama yapılır.
Örnek: \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}\) sayılarını sıralayalım. Ortak payda \(12\) dir.
\(\frac{1}{2}_{ (6) } = \frac{6}{12}\)
\(\frac{2}{3}_{ (4) } = \frac{8}{12}\)
\(\frac{3}{4}_{ (3) } = \frac{9}{12}\)
Buna göre sıralama: \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\) - Tam Sayıya Yakınlık: Özellikle bileşik kesirlerde veya bir tam sayıya yakın kesirlerde bu yöntem işe yarar.
Örnek: \(\frac{7}{8}\) ve \(\frac{9}{10}\) sayılarını karşılaştıralım. Her ikisi de \(1\) 'e çok yakındır.
\(1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\)
\(1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\)
Farkı daha küçük olan sayı \(1\) 'e daha yakındır, dolayısıyla daha büyüktür. \(\frac{1}{10} < \frac{1}{8}\) olduğu için \(\frac{9}{10} > \frac{7}{8}\) olur. - Negatif Rasyonel Sayılar: Pozitif hallerine göre sıralama yapılır, sonra eşitsizlik yön değiştirir.
Örnek: \(-\frac{1}{2}\) ve \(-\frac{2}{3}\) sayılarını sıralayalım.
Pozitif halleri: \(\frac{1}{2}\) ve \(\frac{2}{3}\). Paydaları eşitleyelim: \(\frac{3}{6}\) ve \(\frac{4}{6}\).
\(\frac{3}{6} < \frac{4}{6}\) yani \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\).
Negatiflerde eşitsizlik yön değiştirir: \(-\frac{1}{2} > -\frac{2}{3}\).
💡 Unutmayın! Rasyonel sayılarla işlem yaparken işaretlere çok dikkat etmelisiniz. Özellikle çıkarma ve negatif sayılarla çarpma/bölme işlemlerinde hata yapmamak için adımları dikkatlice takip edin.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) \div \frac{5}{8}\)
Çözüm:
Önce parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:
\(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}_{ (2) } = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4}\)
Şimdi bölme işlemini yapalım. Birinci sayıyı aynen yazıp, ikinci sayıyı ters çevirip çarpıyoruz:
\(\frac{1}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5}\)
Çarpma işlemini yaparken sadeleştirme yapabiliriz (\(4\) ile \(8\) sadeleşir):
\(\frac{1}{\cancel{4}^{1}} \cdot \frac{\cancel{8}^{2}}{5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}\)
Cevap: \(\frac{2}{5}\)
Örnek Soru 2:
Sayı doğrusunda \(-\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\) ve \(-\frac{1}{4}\) rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Öncelikle sayıları ondalık veya paydaları eşitleyerek karşılaştırabiliriz. En küçük ortak payda \(2, 3, 4\) için \(12\) 'dir.
- \(-\frac{3}{2}_{ (6) } = -\frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6} = -\frac{18}{12}\)
- \(\frac{5}{3}_{ (4) } = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{20}{12}\)
- \(-\frac{1}{4}_{ (3) } = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}\)
Şimdi bu sayıları sıralayalım: \(-\frac{18}{12}\), \(\frac{20}{12}\), \(-\frac{3}{12}\).
Negatif sayılar pozitif sayılardan her zaman küçüktür. Negatif sayılarda, mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
En küçük sayı \(-\frac{18}{12}\) 'dir (çünkü mutlak değeri en büyüktür ve negatiftir).
Sonraki negatif sayı \(-\frac{3}{12}\) 'dir.
En büyük sayı ise pozitif olan \(\frac{20}{12}\) 'dir.
Sıralama (küçükten büyüğe): \(-\frac{18}{12} < -\frac{3}{12} < \frac{20}{12}\)
Yani, \(-\frac{3}{2} < -\frac{1}{4} < \frac{5}{3}\)
Cevap: \(-\frac{3}{2} < -\frac{1}{4} < \frac{5}{3}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\)
A) \(\frac{11}{12}\)B) \(\frac{7}{12}\)
C) \(\frac{3}{7}\)
D) \(\frac{5}{12}\)
E) \(\frac{1}{2}\)
Aşağıdaki işlemin sonucu nedir? \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{5}{6}\)
A) \(\frac{1}{6}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(1\)
D) \(\frac{5}{6}\)
E) \(\frac{7}{6}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \((\frac{3}{5} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{10} - \frac{2}{3})\)
A) \(\frac{41}{30}\)B) \(\frac{47}{30}\)
C) \(\frac{5}{3}\)
D) \(\frac{53}{30}\)
E) \(\frac{59}{30}\)
\(\frac{5}{6}\) kesrinden \(\frac{1}{4}\) kesri çıkarıldığında sonuç kaç olur?
A) \(\frac{1}{12}\)B) \(\frac{5}{12}\)
C) \(\frac{7}{12}\)
D) \(\frac{3}{8}\)
E) \(\frac{13}{24}\)
\(3\frac{1}{3}\) sayısından \(1\frac{1}{2}\) sayısı çıkarıldığında elde edilen sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(1\frac{5}{6}\)B) \(2\frac{1}{6}\)
C) \(1\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{11}{6}\)
E) \(\frac{17}{6}\)
Bir bidonda \(12\frac{3}{4}\) litre su bulunmaktadır. Bu bidondan önce \(3\frac{1}{2}\) litre, daha sonra \(4\frac{1}{4}\) litre su kullanılmıştır. Bidonda geriye kaç litre su kalmıştır?
A) \(4\frac{1}{4}\)B) \(4\frac{3}{4}\)
C) \(5\)
D) \(5\frac{1}{2}\)
E) \(6\)
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi en küçüktür? \(A = \frac{5}{7}\) \(B = \frac{3}{4}\) \(C = \frac{7}{10}\) \(D = \frac{1}{2}\) \(E = \frac{2}{3}\)
A) \(A\)B) \(B\)
C) \(C\)
D) \(D\)
E) \(E\)
\(a = -\frac{3}{5}\), \(b = -\frac{7}{10}\) ve \(c = -\frac{1}{2}\) rasyonel sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(a < b < c\)B) \(b < a < c\)
C) \(c < a < b\)
D) \(b < c < a\)
E) \(c < b < a\)
\(x = 2\frac{1}{3}\), \(y = \frac{7}{2}\) ve \(z = \frac{17}{6}\) rasyonel sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(x < y < z\)B) \(x < z < y\)
C) \(y < x < z\)
D) \(z < x < y\)
E) \(z < y < x\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\frac{3}{5} \div \left( -\frac{9}{10} \right)\)
A) \(-\frac{2}{3}\)B) \(-\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{3}{2}\)
E) \(-\frac{27}{50}\)
İşleminin sonucunu bulunuz: \(\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{4} \right)\)
A) \(\frac{2}{13}\)B) \(\frac{13}{2}\)
C) \(\frac{1}{26}\)
D) \(\frac{2}{26}\)
E) \(\frac{1}{13}\)
\(x = \frac{2}{3}\) ve \(y = -\frac{4}{9}\) olduğuna göre, \(\frac{x}{y}\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(-\frac{3}{2}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(-\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{2}{3}\)
E) \(-\frac{1}{6}\)
Aşağıdaki çarpma işleminin sonucu kaçtır? \((-\frac{4}{7}) \times (\frac{21}{16})\)
A) \(\frac{3}{4}\)B) \(-\frac{3}{4}\)
C) \(-\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{1}{4}\)
E) \(-\frac{3}{7}\)
\(2\frac{1}{4}\) ile \((-\frac{8}{3})\) rasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?
A) \(-6\)B) \(6\)
C) \(-4\)
D) \(4\)
E) \(-2\)
Bir top, bırakıldığı yüksekliğin her seferinde \(\frac{2}{3}\) 'ü kadar zıplamaktadır. Eğer top \(81\) metreden bırakılırsa, ikinci zıplayışında kaç metre yükselir?
A) \(27\)B) \(36\)
C) \(45\)
D) \(54\)
E) \(60\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1097-10-sinif-rasyonel-sayilarda-toplama-cikarma-siralama-bolme-ve-carpma-test-coz-7vdc