✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Karesel Fonksiyonların Günlük Hayat Problemleri Test Çöz

SORU 1

Bir top yukarı doğru atıldığında, yerden yüksekliği \(t\) saniye sonra \(h(t) = -5t^2 + 40t + 10\) metre denklemi ile modellenmektedir. Buna göre, topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?

A) \(80\)
B) \(90\)
C) \(100\)
D) \(110\)
E) \(120\)
Açıklama:

Verilen yükseklik denklemi \(h(t) = -5t^2 + 40t + 10\) bir parabol denklemidir. Bu parabolün tepe noktasının \(y\) koordinatı, topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği verir. Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.

Burada \(a = -5\) ve \(b = 40\) 'tır.

\(r = -\frac{40}{2(-5)} = -\frac{40}{-10} = 4\) saniye.

Bu, topun maksimum yüksekliğe \(4\) saniyede ulaştığı anlamına gelir. Maksimum yüksekliği bulmak için \(t = 4\) değerini \(h(t)\) denkleminde yerine koyarız:

\(h(4) = -5(4)^2 + 40(4) + 10\)

\(h(4) = -5(16) + 160 + 10\)

\(h(4) = -80 + 160 + 10\)

\(h(4) = 80 + 10\)

\(h(4) = 90\) metre.

Dolayısıyla, topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik \(90\) metredir.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

📌 Karesel Fonksiyonlar ve Günlük Hayat Problemleri

10. Sınıf Matematik dersimizin önemli konularından biri olan karesel fonksiyonlar, soyut matematiksel kavramların ötesine geçerek günlük hayatta karşımıza çıkan birçok durumu modellememize olanak tanır. Bu çalışma notu, karesel fonksiyonların temel özelliklerini hatırlatmakla kalmayacak, aynı zamanda bu fonksiyonların gerçek dünya problemlerinde nasıl kullanıldığını ve bu tür problemleri çözerken hangi stratejileri izlememiz gerektiğini detaylı bir şekilde açıklayacaktır. Hazırsanız, parabolik bir yolculuğa çıkalım! 🚀

💡 Karesel Fonksiyon Nedir?

Bir karesel fonksiyon, genel olarak \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde ifade edilen, burada \(a\), \(b\), \(c\) gerçek sayılar ve \(a eq 0\) olan bir fonksiyondur. Karesel fonksiyonların grafikleri, parabol adı verilen U-şekilli eğrilerdir.

✅ Günlük Hayatta Karesel Fonksiyon Uygulamaları

Karesel fonksiyonlar, birçok farklı alandaki fiziksel, ekonomik ve mühendislik problemlerini modellemek için kullanılır. İşte bazı örnekler:

🚀 Problemleri Çözme Stratejileri

Karesel fonksiyon içeren günlük hayat problemlerini çözerken izleyebileceğiniz adımlar şunlardır:

  1. Problemi Anla ve Değişkenleri Tanımla: Soruyu dikkatlice oku. Hangi büyüklükler veriliyor, hangi büyüklük isteniyor? Bağımsız değişken (\(x\)) ve bağımlı değişken (\(y\)) ne olacak?
  2. Karesel Fonksiyonu Oluştur: Problemdeki ilişkileri kullanarak \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde bir fonksiyon yaz. Bu aşama genellikle en zorlu kısımdır ve problemdeki bilgileri matematiksel bir ifadeye dönüştürmeyi gerektirir.
  3. Tepe Noktasını Bul: İstenen maksimum veya minimum değeri bulmak için fonksiyonun tepe noktasının apsisi (\(r = -\frac{b}{2a}\)) ve ordinatı (\(k = f(r)\)) hesapla.
  4. Sonucu Yorumla: Bulduğun tepe noktası değerlerinin problemdeki anlamını açıkla. Örneğin, \(r\) hangi zamanı veya miktarı, \(k\) ise hangi maksimum yüksekliği veya karı temsil ediyor?

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Maksimum Yükseklik Problemi

Soru: Yere dik olarak yukarı fırlatılan bir cismin \(t\) saniye sonraki yüksekliği metre cinsinden \(h(t) = -5t^2 + 40t + 10\) fonksiyonu ile modellenmektedir. Buna göre, cisim yerden en fazla kaç metre yüksekliğe çıkar ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşır?

Çözüm:

Verilen fonksiyon \(h(t) = -5t^2 + 40t + 10\) bir karesel fonksiyondur. Burada \(a = -5\), \(b = 40\), \(c = 10\). Katsayı \(a = -5 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve dolayısıyla bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, tepe noktasının ordinatıdır.

  1. Öncelikle tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım. Bu değer, cismin maksimum yüksekliğe ulaştığı zamanı temsil eder:
    \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-5)} = -\frac{40}{-10} = 4\) saniye.
    Cisim, \(4\) saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşır.
  2. Şimdi de bu \(t = 4\) değerini fonksiyonda yerine koyarak maksimum yüksekliği (\(k\)) bulalım:
    \(h(4) = -5(4)^2 + 40(4) + 10\)
    \(h(4) = -5(16) + 160 + 10\)
    \(h(4) = -80 + 160 + 10\)
    \(h(4) = 90\) metre.
    Cisim yerden en fazla \(90\) metre yüksekliğe çıkar.

Cevap: Cisim \(4\) saniye sonra yerden en fazla \(90\) metre yüksekliğe çıkar.

Örnek 2: Maksimum Alan Problemi

Soru: Bir çiftçi, elindeki \(100\) metre tel ile dikdörtgen şeklinde bir araziyi çevirmek istemektedir. Çiftçi, telin tamamını kullanarak çevirebileceği en büyük alana sahip dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır ve bu maksimum alan kaç metrekaredir?

Çözüm:

Dikdörtgenin kenar uzunlukları \(x\) ve \(y\) olsun. Çevre \(2x + 2y = 100\) metredir.
Alan ise \(A = x \times y\) metrekaredir.

  1. Çevre denkleminden bir kenarı diğer cinsinden ifade edelim:
    \(2x + 2y = 100 \Rightarrow x + y = 50 \Rightarrow y = 50 - x\).
  2. Bu ifadeyi alan denkleminde yerine koyarak alanı tek değişkenli bir karesel fonksiyon olarak yazalım:
    \(A(x) = x(50 - x)\)
    \(A(x) = 50x - x^2\)
    Bu fonksiyonu standart karesel fonksiyon formunda yazarsak \(A(x) = -x^2 + 50x + 0\).
    Burada \(a = -1\), \(b = 50\), \(c = 0\). Katsayı \(a = -1 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değeri vardır.
  3. Maksimum alanı veren \(x\) değerini (tepe noktasının apsisi) bulalım:
    \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \times (-1)} = -\frac{50}{-2} = 25\) metre.
    Bir kenar uzunluğu \(x = 25\) metre olmalıdır.
  4. Diğer kenar uzunluğunu (\(y\)) bulalım:
    \(y = 50 - x = 50 - 25 = 25\) metre.
    Boyutlar \(25\) metreye \(25\) metre olmalıdır, yani bir kare şeklindedir.
  5. Maksimum alanı hesaplayalım:
    \(A(25) = 25 \times (50 - 25) = 25 \times 25 = 625\) metrekare.

Cevap: Çiftçi, \(25\) metreye \(25\) metre boyutlarında bir kare şeklinde arazi çevirirse, maksimum \(625\) metrekare alana sahip olur.