📌 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Konu Özeti
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu rasyonel sayılar konusunu pekiştirmeniz için hazırlanmıştır. Rasyonel sayılar, günlük hayatta ve matematiğin birçok alanında karşımıza çıkan temel bir konudur. Bu not sayesinde rasyonel sayılarda dört işlem ve sıralama becerilerinizi geliştireceksiniz. Hazırsanız başlayalım! 🚀
Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi
İki veya daha fazla rasyonel sayıyı toplarken iki farklı durumla karşılaşırız:
- Paydalar Eşitse: Paydalar eşitse, paylar toplanır ve ortak payda aynen yazılır.
Örnek: \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5}\) - Paydalar Farklıysa: Öncelikle paydalar eşitlenir. Bunun için paydaların en küçük ortak katı (EKOK) bulunur. Daha sonra her bir rasyonel sayı, paydası EKOK olacak şekilde genişletilir ve paylar toplanır.
Örnek: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). Paydaların EKOK'u \(6\) 'dır.
\(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}\)
Böylece: \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}\)
Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi
Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi de toplama işlemine benzerdir:
- Paydalar Eşitse: Paydalar eşitse, birinci sayının payından ikinci sayının payı çıkarılır ve ortak payda aynen yazılır.
Örnek: \(\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9}\) - Paydalar Farklıysa: Tıpkı toplamada olduğu gibi, önce paydalar eşitlenir (EKOK bulunur ve genişletme yapılır). Ardından paylar arasındaki çıkarma işlemi yapılır.
Örnek: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{6}\). Paydaların EKOK'u \(12\) 'dir.
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\)
\(\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}\)
Böylece: \(\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}\)
Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılarda çarpma işlemi çok daha basittir:
- Paylar Kendi Arasında, Paydalar Kendi Arasında Çarpılır: Çarpma işleminde payda eşitlemeye gerek yoktur. Paylar çarpılıp sonucun payına, paydalar çarpılıp sonucun paydasına yazılır. İşlemden önce sadeleştirme yapmak, sonucu daha kolay bulmanızı sağlar.
Örnek: \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}\)
Örnek (Sadeleştirme ile): \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}\) (Burada \(4\) ile \(8\) ve \(3\) ile \(9\) sadeleştirildi.)
Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi
Rasyonel sayılarda bölme işlemi çarpma işlemine dönüştürülerek yapılır:
- Birinci Sayı Aynen Yazılır, İkinci Sayı Ters Çevrilip Çarpılır: Yani, bölünen rasyonel sayı ile bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi çarpılır.
Örnek: \(\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{5 \times 2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\) (Sadeleştirildi)
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Rasyonel sayıları sıralarken farklı yöntemler kullanabiliriz:
- Paydalar Eşitse: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise payı küçük olan daha büyüktür (sayı doğrusunda sıfıra daha yakın olan).
Örnek: \(\frac{3}{7} < \frac{5}{7}\)
Örnek: \(-\frac{4}{9} > -\frac{7}{9}\) - Paylar Eşitse: Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise paydası büyük olan daha büyüktür.
Örnek: \(\frac{5}{8} < \frac{5}{6}\)
Örnek: \(-\frac{3}{5} > -\frac{3}{4}\) - Hem Pay Hem Payda Farklıysa: Bu durumda ya paydalar eşitlenir (EKOK bulunarak) ya da paylar eşitlenir (EKOK bulunarak). Genellikle payda eşitlemek daha yaygın bir yöntemdir.
Örnek: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{6}\) sayılarını sıralayalım. Paydaların EKOK'u \(12\) 'dir.
\(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\)
\(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\)
Sıralama: \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12}\) yani \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}\)
💡 Önemli Not: Negatif rasyonel sayıları sıralarken, pozitif gibi düşünüp sıralama yaptıktan sonra eşitsizlik işaretini ters çevirmeyi unutmayın! Örneğin, \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\) iken, \(-\frac{1}{2} > -\frac{2}{3}\) olur.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: İşlem Önceliği
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\(\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \right)\)
Çözüm:
Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
- \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
Şimdi diğer parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:
- \(\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\)
Şimdi de bulduğumuz sonuçları bölelim:
- \(\frac{5}{6} \div \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{7}\)
- Sadeleştirme yaparsak (\(6\) ile \(12\) sadeleşir): \(\frac{5}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{7}\)
Sonuç: \(\frac{10}{7}\) ✅
Örnek Soru 2: Sıralama
Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\(A = -\frac{3}{5}\), \(B = -\frac{2}{3}\), \(C = -\frac{7}{10}\)
Çözüm:
Negatif sayıları sıralarken, önce pozitif gibi düşünüp sıralayalım, sonra eşitsizlik yönünü ters çevirelim.
\(A' = \frac{3}{5}\), \(B' = \frac{2}{3}\), \(C' = \frac{7}{10}\)
Paydaları eşitleyelim. Paydaların EKOK'u \(5, 3, 10\) için \(30\) 'dur.
- \(A' = \frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}\)
- \(B' = \frac{2}{3} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}\)
- \(C' = \frac{7}{10} = \frac{7 \times 3}{10 \times 3} = \frac{21}{30}\)
Pozitif hallerini sıralarsak: \(\frac{18}{30} < \frac{20}{30} < \frac{21}{30}\) yani \(A' < B' < C'\).
Şimdi negatif hallerine dönelim ve eşitsizliği ters çevirelim:
\(A > B > C\) yani \(-\frac{3}{5} > -\frac{2}{3} > -\frac{7}{10}\)
Küçükten büyüğe sıralama istendiği için:
\(C < B < A\) yani \(-\frac{7}{10} < -\frac{2}{3} < -\frac{3}{5}\) ✅
Aşağıdaki çıkarma işleminin sonucunu bulunuz: \(\frac{7}{8} - \frac{1}{4}\)
A) \(\frac{1}{8}\)B) \(\frac{3}{8}\)
C) \(\frac{5}{8}\)
D) \(\frac{6}{8}\)
E) \(\frac{1}{2}\)
\(5 - \frac{13}{3}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{1}{3}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(1\)
D) \(-\frac{1}{3}\)
E) \(-\frac{2}{3}\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\frac{5}{6} - (\frac{1}{3} - \frac{1}{12})\)
A) \(\frac{1}{4}\)B) \(\frac{1}{2}\)
C) \(\frac{3}{4}\)
D) \(\frac{5}{12}\)
E) \(\frac{7}{12}\)
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{9}\)
C) \(\frac{2}{3}\)
\(2\frac{1}{4} + \left(-\frac{3}{2}\right)\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(-\frac{1}{4}\)B) \(\frac{1}{4}\)
C) \(\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{7}{8}\)B) \(\frac{3}{4}\)
C) \(\frac{13}{16}\)
Aşağıdaki çarpma işleminin sonucunu bulunuz: \(\frac{4}{7} \times \frac{21}{8}\)
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{1}{4}\)
E) \(2\)
\((-1\frac{1}{3}) \times (\frac{6}{5})\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(-\frac{2}{5}\)B) \(-\frac{4}{5}\)
C) \(-\frac{8}{5}\)
D) \(-\frac{12}{5}\)
E) \(-\frac{14}{5}\)
Bir kasada bulunan \(120\) kg elmanın \(\frac{3}{8}\) 'i satılmıştır. Geriye kalan elmaların \(\frac{2}{5}\) 'i çürük çıktığına göre, çürük elmalar kaç kilogramdır?
A) \(24\)B) \(30\)
C) \(36\)
D) \(45\)
E) \(54\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\frac{3}{5} \div \frac{9}{10}\)
A) \(\frac{2}{3}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{3}{5}\)
E) \(\frac{9}{25}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)\)
A) \(\frac{2}{5}\)B) \(\frac{5}{2}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(1\)
E) \(\frac{3}{4}\)
\(x = \frac{2}{3}\) ve \(y = \frac{4}{9}\) olduğuna göre, \(\frac{x}{y}\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(\frac{3}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(2\)
E) \(\frac{1}{3}\)
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi en büyüktür?
A) \(\frac{3}{5}\)B) \(\frac{7}{10}\)
C) \(\frac{13}{20}\)
D) \(\frac{4}{5}\)
E) \(\frac{1}{2}\)
Aşağıda verilen \(a = -\frac{2}{3}\), \(b = -\frac{5}{6}\) ve \(c = -\frac{1}{2}\) rasyonel sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangisidir?
A) \(a < b < c\)B) \(b < a < c\)
C) \(c < a < b\)
D) \(b < c < a\)
E) \(c < b < a\)
\(x = 0.\overline{4}\), \(y = \frac{2}{5}\) ve \(z = \frac{1}{3}\) sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) \(x < y < z\)B) \(y < x < z\)
C) \(z < y < x\)
D) \(y < z < x\)
E) \(z < x < y\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1160-10-sinif-rasyonel-sayilarda-toplama-cikarma-carpma-bolme-ve-siralama-test-coz-soci