9. Sınıf Matematik Çalışma Notları: Geometrik Şekiller, Eşlik ve Benzerlik
Sevgili öğrenciler, bu notlarımızda \(9.\) sınıf matematik dersinin önemli konularından geometrik şekilleri, üçgenlerde eşlik ve benzerlik kavramlarını detaylıca inceleyeceğiz. Bu konular, ileriki matematik derslerinizin temellerini oluşturur. Başarılar dileriz! 🚀
📌 Geometrik Şekiller
Temel Geometrik Kavramlar
- Nokta: Boyutsuz bir konum belirleyicisidir. \(A\), \(B\) gibi büyük harflerle gösterilir.
- Doğru: Her iki yöne de sonsuza uzanan, genişliği olmayan düz bir çizgidir. \(d\) gibi küçük harflerle veya \(AB\) doğrusu olarak gösterilir.
- Işın: Bir başlangıç noktası olan ve tek yöne sonsuza uzanan doğru parçasıdır. \([AB\) veya \([BA\) gibi gösterilir.
- Doğru Parçası: Bir başlangıç ve bir bitiş noktası olan doğru parçasıdır. \([AB]\) veya \(AB\) ile gösterilir. Uzunluğu \(|AB|\) ile belirtilir.
- Düzlem: İki boyutu olan, kalınlığı olmayan sonsuz bir yüzeydir. Genellikle \(α\), \(\beta\) gibi Yunan harfleriyle gösterilir.
Çokgenler
En az üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. Kenar sayısına göre adlandırılırlar (örneğin, \(3\) kenarlıya üçgen, \(4\) kenarlıya dörtgen).
- \(n\) kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı: \( (n-2) \times 180^{\circ} \).
- \(n\) kenarlı bir çokgenin dış açılarının toplamı: \( 360^{\circ} \).
✅ Üçgenlerde Eşlik
İki geometrik şeklin, boyutları ve şekilleri tamamen aynı ise bu şekillere eş şekiller denir. Üçgenlerde eşlik, bir üçgenin diğerinin kopyası olması durumudur. Eşlik sembolü \( \cong \) ile gösterilir. Örneğin, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \).
Eşlik Kuralları
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eş ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eş ise bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları eş ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarı eş ise bu üçgenler eştir.
💡 Eş üçgenlerde, karşılıklı kenarların uzunlukları ve karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.
🚀 Üçgenlerde Benzerlik
İki geometrik şeklin, şekilleri aynı fakat boyutları farklı ise bu şekillere benzer şekiller denir. Bir üçgenin diğerinin büyütülmüş veya küçültülmüş hali olması durumudur. Benzerlik sembolü \( \sim \) ile gösterilir. Örneğin, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
Benzerlik Kuralları
- Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının oranları eşit ise bu üçgenler benzerdir. Bu orana benzerlik oranı (\( k \)) denir.
💡 Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları oranı sabittir (benzerlik oranı \(k\)), karşılıklı açı ölçüleri ise eşittir. Alanlarının oranı ise benzerlik oranının karesine (\( k^2 \)) eşittir.
Eşlik ve Benzerlik Arasındaki Fark
| Özellik | Eşlik | Benzerlik |
|---|---|---|
| Şekil | Aynı | Aynı |
| Boyut | Aynı | Farklı (orantılı) |
| Açı | Eşit | Eşit |
| Benzerlik Oranı | \( k=1 \) | \( k eq 1 \) (genellikle) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek \(1\):
Yandaki şekilde \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenleri verilmiştir. Eğer \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm ve \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm ise bu üçgenler arasında nasıl bir ilişki vardır?
Çözüm: Verilen bilgilere göre, \( |AB| = |DE| = 5 \) cm, \( |BC| = |EF| = 7 \) cm ve \( |AC| = |DF| = 9 \) cm'dir. Her iki üçgenin de tüm kenar uzunlukları karşılıklı olarak eşittir. Bu durumda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği kuralına göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) diyebiliriz. Bu üçgenler eştir.
Örnek \(2\):
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde \( m(\hat{A}) = 50^{\circ} \) ve \( m(\hat{B}) = 70^{\circ} \) olsun. Bir başka \( \triangle DEF \) üçgeninde ise \( m(\hat{D}) = 50^{\circ} \) ve \( m(\hat{E}) = 70^{\circ} \) olsun. Bu iki üçgen arasında nasıl bir ilişki vardır?
Çözüm: \( \triangle ABC \) üçgeninde \( m(\hat{A}) = 50^{\circ} \) ve \( m(\hat{B}) = 70^{\circ} \) ise \( m(\hat{C}) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) olur. Benzer şekilde \( \triangle DEF \) üçgeninde \( m(\hat{D}) = 50^{\circ} \) ve \( m(\hat{E}) = 70^{\circ} \) ise \( m(\hat{F}) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) olur. Görüldüğü üzere, \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 50^{\circ} \), \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 70^{\circ} \) ve \( m(\hat{C}) = m(\hat{F}) = 60^{\circ} \) 'dir. Karşılıklı tüm açıları eşit olduğu için bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerliği kuralına göre benzerdir. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri eş üçgenlerdir. \(|AB| = 8\) cm, \(|BC| = 10\) cm ve \(m(\widehat{B}) = 70^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(m(\widehat{E})\) açısının ölçüsü kaç derecedir ve \(|EF|\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(m(\widehat{E}) = 70^\circ\), \(|EF| = 10\) cmB) \(m(\widehat{E}) = 70^\circ\), \(|EF| = 8\) cm
C) \(m(\widehat{E}) = 80^\circ\), \(|EF| = 10\) cm
D) \(m(\widehat{E}) = 80^\circ\), \(|EF| = 8\) cm
E) \(m(\widehat{E}) = 70^\circ\), \(|EF| = 18\) cm
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE \parallel BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \([AB]\) üzerinde ve \(E\) noktası \([AC]\) üzerindedir. \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = 6\) birim ve \(|AE| = 3\) birim olduğuna göre, \(|EC|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(3.5\)B) \(4.5\)
C) \(5.5\)
D) \(6.5\)
E) \(7.5\)
Bir dik üçgen olan \(\triangle ABC\) 'de, \(m(\widehat{BAC}) = 90^\circ\) ve \([AH] \perp [BC]\) 'dir. \(|BH| = 4\) birim ve \(|HC| = 9\) birim olduğuna göre, \(|AH|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Bir düzgün onikigenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(120\)B) \(135\)
C) \(140\)
D) \(150\)
E) \(160\)
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(m(\widehat{BAC}) = 2x\), \(m(\widehat{ABC}) = x + 10^\circ\) ve \(m(\widehat{BCA}) = 3x - 10^\circ\) olduğuna göre, \(x\) kaç derecedir?
A) \(20\)B) \(25\)
C) \(30\)
D) \(35\)
E) \(40\)
Şekilde \(d_1 // d_2\) dir. Bu iki paralel doğruyu kesen bir doğru verilmiştir. Kesen doğrunun \(d_1\) ile yaptığı açılardan biri \(125^\circ\) dir. Bu açı, kesenin sol üst tarafında ve \(d_1\) doğrusunun üzerinde yer almaktadır. Aynı kesen doğrunun \(d_2\) ile yaptığı açılardan biri \(x\) derecedir. Bu açı, kesenin sağ alt tarafında ve \(d_2\) doğrusunun altında yer almaktadır. Buna göre \(x\) kaç derecedir?
A) \(45\)B) \(55\)
C) \(65\)
D) \(75\)
E) \(85\)
Bir üçgenin iç açıları \(x\), \(x+10^\circ\) ve \(x+20^\circ\) dir. Buna göre en büyük iç açı kaç derecedir?
A) \(50\)B) \(60\)
C) \(70\)
D) \(80\)
E) \(90\)
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgenin iki kenarı \(5 \text{ cm}\) ve \(9 \text{ cm}\) dir. Buna göre üçüncü kenarın uzunluğu kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(11\)
Bir düzgün çokgenin bir iç açısı bir dış açısından \(100^\circ\) daha büyüktür. Bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(12\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = |AC|\) dir. \(B\) açısının ölçüsü \(70^\circ\) olduğuna göre \(A\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(30\)B) \(40\)
C) \(50\)
D) \(60\)
E) \(70\)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi, \(\triangle ABC\) üçgeni ile \(\triangle DEF\) üçgeninin eş olduğunu göstermek için yeterli değildir?
A) \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\), \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})\) ve \(|AB| = |DE|\)B) \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(|AC| = |DF|\)
C) \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})\)
D) \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\), \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})\) ve \(|BC| = |EF|\)
E) \(|AB| = |DE|\), \(|AC| = |DF|\) ve \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\)
\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) olmak üzere, kenar uzunlukları \(|AB| = 4\) cm, \(|BC| = 6\) cm, \(|DE| = 6\) cm ve \(|EF| = 9\) cm olarak verilmiştir. Buna göre, bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{3}{2}\)
D) \(\frac{4}{3}\)
E) \(\frac{5}{2}\)
Birbirine benzer olan \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinin benzerlik oranı \(k = \frac{2}{3}\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(\frac{\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle DEF)}\) oranı kaçtır?
A) \(\frac{2}{3}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{4}{9}\)
D) \(\frac{9}{4}\)
E) \(\frac{1}{3}\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(D \in [AB]\) ve \(E \in [AC]\) olmak üzere, \(DE \parallel BC\) paraleldir. Eğer \(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 2\) cm ve \(|DE| = 6\) cm ise, \(|BC|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(12\)
E) \(15\)
Dik üçgen şeklindeki bir \(\triangle ABC\) 'de, \(\angle B = 90^\circ\) ve \(BH \perp AC\) 'dir. Eğer \(|AH| = 4\) cm ve \(|HC| = 9\) cm ise, \(|BH|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(10\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1175-9-sinif-geometrik-sekiller-eslik-ve-benzerlik-test-coz-hpse