10. Sınıf Rasyonel Sayılarda Sıralama, Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme Test Çöz

SORU 1

Aşağıda verilen rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. \(A = \frac{5}{6}\), \(B = \frac{7}{9}\), \(C = \frac{11}{12}\)

A) \(A < B < C\)
B) \(B < A < C\)
C) \(C < A < B\)
D) \(A < C < B\)
E) \(B < C < A\)

Açıklama:

Verilen rasyonel sayıları karşılaştırmak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Sayılar \(A = \frac{5}{6}\), \(B = \frac{7}{9}\) ve \(C = \frac{11}{12}\) 'dir. Paydaların (\(6\), \(9\), \(12\)) en küçük ortak katı (\(EKOK\)) \(36\) 'dır.

\(A = \frac{5}{6} = \frac{5 \times 6}{6 \times 6} = \frac{30}{36}\)
\(B = \frac{7}{9} = \frac{7 \times 4}{9 \times 4} = \frac{28}{36}\)
\(C = \frac{11}{12} = \frac{11 \times 3}{12 \times 3} = \frac{33}{36}\)

Şimdi paydaları eşitlenmiş rasyonel sayıları karşılaştırabiliriz. Payı küçük olan sayı daha küçüktür.

\(28 < 30 < 33\) olduğundan,

\(\frac{28}{36} < \frac{30}{36} < \frac{33}{36}\)

Yani, \(B < A < C\) sıralaması doğru olur.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

📌 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılarda İşlemler ve Sıralama

Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu, rasyonel sayılar konusunu pekiştirmeniz için hazırlandı. Sınavda karşınıza çıkabilecek tüm temel kavramları ve işlem adımlarını detaylı bir şekilde inceleyelim. Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözümü başarının anahtarıdır! 🚀

💡 Rasyonel Sayılar Nedir?

Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için \(a\) ve \(b\) birer tam sayı (\(b \ eq 0\)) olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) ile gösterilir.

Örnekler: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5\) (çünkü \(\frac{5}{1}\) olarak yazılabilir), \(0.75\) (çünkü \(\frac{3}{4}\) olarak yazılabilir).

Önemli Not: Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

📌 Rasyonel Sayılarda Sıralama

Rasyonel sayıları sıralarken dikkat etmemiz gereken birkaç durum vardır:

1. Paydalar Eşit İse: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise durum tam tersidir, payı küçük olan daha büyüktür.

Örnek: \(\frac{3}{5} < \frac{4}{5}\) ve \(-\frac{2}{7} > -\frac{5}{7}\).

2. Paylar Eşit İse: Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise paydası küçük olan daha küçüktür (sayı doğrusunda sola daha uzaktır).

Örnek: \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\) ve \(-\frac{3}{4} < -\frac{3}{2}\).

3. Pay ve Paydalar Eşit Değil İse: Bu durumda ya paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme yoluyla) ya da paylar eşitlenir. Genellikle paydaları eşitlemek daha kolaydır. Eşitlendikten sonra yukarıdaki kurallar uygulanır.

Örnek: \(\frac{1}{3}\) ve \(\frac{2}{5}\) sayılarını sıralayalım. Paydaları \(15\) 'te eşitlersek: \(\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}\) ve \(\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\). Buradan \(\frac{5}{15} < \frac{6}{15}\) yani \(\frac{1}{3} < \frac{2}{5}\) bulunur.

4. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama: Önce sayıları pozitif gibi sıralayın, sonra eşitsizlik işaretini ters çevirin.

Örnek: \(-\frac{2}{3}\) ve \(-\frac{3}{4}\) sayılarını sıralayalım. Pozitif halleri \(\frac{2}{3}\) ve \(\frac{3}{4}\) 'tür. Paydaları \(12\) 'de eşitlersek \(\frac{8}{12}\) ve \(\frac{9}{12}\). Buradan \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12}\) olduğu için, negatif hallerinde \(-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}\) olur.

✅ Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

1. Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır.

Paydalar Eşit İse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}\).
Örnek: \(\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

Paydalar Eşit Değil İse: Paydalar en küçük ortak katta eşitlenir (genişletme işlemi yapılır). Sonra paydası eşit olan kesirler gibi işlem yapılır.

Örnek: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). Paydalar \(6\) 'da eşitlenir. \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

💡 Tam Sayılı Kesirlerde İşlem: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirerek işlem yapmak genellikle daha kolaydır. Örneğin, \(2\frac{1}{3} = \frac{(2 \cdot 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}\).