📌 10. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları 🚀
Sevgili 10. Sınıf öğrencileri, bu çalışma notu, yaklaşan matematik sınavınıza hazırlık sürecinde sizlere rehberlik etmek amacıyla özenle hazırlanmıştır. Başlıca Trigonometri, Sayı Kümeleri ve Nicelikler & Değişimler konularını kapsayan bu notlar ile konuları pekiştirecek, önemli noktaları hatırlayacak ve örnek sorularla bilgilerinizi tazeleyeceksiniz. Unutmayın, düzenli tekrar ve bol pratik başarıya giden yolda anahtardır!
💡 Trigonometriye Giriş
Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Özellikle dik üçgenler ve birim çember üzerinde yoğunlaşırız.
- Açı Birimleri:
- Derece (\(^{\circ}\)): Bir tam çember \(360^{\circ}\) 'dir.
- Radyan: Bir tam çember \(2π\) radyandır. Derece ile radyan arasında dönüşüm formülü: \(\frac{D}{180} = \frac{R}{π}\).
- Örnek: \(90^{\circ}\) kaç radyandır? \(\frac{90}{180} = \frac{R}{π} \implies R = \frac{π}{2}\) radyandır.
- Birim Çember: Merkezi orijin (\(0,0\)) olan ve yarıçapı \(1\) birim olan çemberdir. Birim çember üzerindeki bir \(P(x,y)\) noktasının koordinatları, açının trigonometrik değerlerini verir: \(x = \cosα\), \(y = \sinα\).
- Temel Trigonometrik Fonksiyonlar: Bir dik üçgende bir \(α\) açısı için:
- Sinüs (\(\sinα\)): Karşı dik kenar / Hipotenüs
- Kosinüs (\(\cosα\)): Komşu dik kenar / Hipotenüs
- Tanjant (\(\tanα\)): Karşı dik kenar / Komşu dik kenar veya \(\frac{\sinα}{\cosα}\)
- Kotanjant (\(\cotα\)): Komşu dik kenar / Karşı dik kenar veya \(\frac{\cosα}{\sinα}\)
- Trigonometrik Özdeşlikler:
- \(\sin^2α + \cos^2α = 1\) (En temel özdeşlik!)
- \(\tanα \cdot \cotα = 1\)
- \(\secα = \frac{1}{\cosα}\)
- \(\cscα = \frac{1}{\sinα}\)
✅ Sayılar, Nicelikler ve Değişimler
Bu bölüm, sayı kümelerinin özelliklerini ve günlük hayattaki nicelikler arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlar.
- Sayı Kümeleri:
- Doğal Sayılar (\(N\)): \(\{0, 1, 2, 3, ...\}\)
- Tam Sayılar (\(Z\)): \(\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\)
- Rasyonel Sayılar (\(Q\)): \(a, b \in Z\) ve \(b \ e 0\) olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılar. Örnek: \(\frac{1}{2}\), \(0.75\), \(-3\).
- İrrasyonel Sayılar (\(I\)): Rasyonel olmayan, yani \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılamayan sayılar. Ondalık açılımı devirli olmayan ve sonsuza giden sayılar. Örnek: \(\sqrt{2}\), \(π\), \(e\).
- Gerçel (Reel) Sayılar (\(R\)): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi (\(R = Q \cup I\)). Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.
- Oran ve Orantı:
- Oran: İki niceliğin birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır. Birimi olabilir veya olmayabilir. Örnek: \(\frac{3 \text{ kg}}{5 \text{ kg}} = \frac{3}{5}\).
- Orantı: İki veya daha fazla oranın eşitliğidir. \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) veya \(a:b = c:d\). Burada \(a, b, c, d\) orantılı sayılardır.
- Doğru Orantı: İki nicelikten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu nicelikler doğru orantılıdır. \(y = kx\) (k sabittir).
- Ters Orantı: İki nicelikten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu nicelikler ters orantılıdır. \(y = \frac{k}{x}\) veya \(xy = k\) (k sabittir).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1 (Trigonometri):
Bir dik üçgende, dar açılardan biri \(α\) olmak üzere, \(\tanα = \frac{3}{4}\) ise, \(\sinα + \cosα\) değeri kaçtır?
Çözüm:
\(\tanα = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{3}{4}\).
Bu durumda, karşı dik kenarı \(3k\) ve komşu dik kenarı \(4k\) olarak alabiliriz. Pisagor Teoremi'nden hipotenüsü bulalım:
\( (3k)^2 + (4k)^2 = \text{Hipotenüs}^2 \)
\( 9k^2 + 16k^2 = \text{Hipotenüs}^2 \)
\( 25k^2 = \text{Hipotenüs}^2 \)
\( \text{Hipotenüs} = \sqrt{25k^2} = 5k \)
Şimdi \(\sinα\) ve \(\cosα\) değerlerini bulalım:
\(\sinα = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}\)
\(\cosα = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}\)
Son olarak, \(\sinα + \cosα\) değerini hesaplayalım:
\( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} \)
Cevap: \(\frac{7}{5}\).
Örnek 2 (Oran ve Orantı):
\(a, b, c\) sayıları sırasıyla \(2, 3, 5\) ile doğru orantılıdır. Eğer \(a+b+c = 60\) ise, \(b\) kaçtır?
Çözüm:
\(a, b, c\) sayıları sırasıyla \(2, 3, 5\) ile doğru orantılı olduğu için, bir \(k\) sabiti kullanarak şu şekilde yazabiliriz:
\( a = 2k \)
\( b = 3k \)
\( c = 5k \)
Verilen eşitliği kullanalım: \(a+b+c = 60\).
\( 2k + 3k + 5k = 60 \)
\( 10k = 60 \)
\( k = \frac{60}{10} = 6 \)
\(k\) değerini bulduğumuza göre, \(b\) değerini hesaplayabiliriz:
\( b = 3k = 3 \times 6 = 18 \)
Cevap: \(18\).
\(x \in (\frac{π}{2}, π)\) olmak üzere, \(\tan x = -\frac{3}{4}\) olduğuna göre, \(\sin x + \cos x\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(\frac{1}{5}\)B) \(-\frac{1}{5}\)
C) \(\frac{7}{5}\)
D) \(-\frac{7}{5}\)
E) \(\frac{3}{5}\)
Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır? \(\sin(210^\circ) + \cos(300^\circ) - \tan(135^\circ)\)
A) \(1\)B) \(0\)
C) \(-1\)
D) \(\frac{1}{2}\)
E) \(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1 - \sin^2 x}{\cot x \cdot \sin x \cdot \cos x}\) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\sin x\)B) \(\cos x\)
C) \(\tan x\)
D) \(\cot x\)
E) \(1\)
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\sqrt{3}\)B) \(2\sqrt{3}\)
C) \(3\sqrt{3}\)
D) \(4\sqrt{3}\)
E) \(5\sqrt{3}\)
\(\frac{2^x \cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2^{x+5}\)B) \(2^5\)
C) \(2^{x-1}\)
D) \(2^{2x+1}\)
E) \(2^{x+3}\)
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?
A) \(0.75\)B) \(\sqrt{9}\)
C) \(-\frac{2}{3}\)
D) \(3.\overline{14}\)
E) \(\sqrt{8}\)
Bir miktar para, \(2\), \(3\) ve \(5\) sayıları ile doğru orantılı olarak üç kişiye paylaştırılıyor. En az para alan kişi \(120\) TL aldığına göre, dağıtılan toplam para kaç TL'dir?
A) \(400\)B) \(450\)
C) \(500\)
D) \(550\)
E) \(600\)
Eş güçteki \(8\) işçi, bir duvarı \(15\) günde örebilmektedir. Aynı duvarı \(12\) günde örmek için bu işçilere kaç tane daha eş güçte işçi katılması gerekir?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Bir tüccar, aldığı bir malı \(\%20\) kârla \(360\) TL'ye satıyor. Eğer bu malı \(\%10\) zararla satmış olsaydı kaç TL'ye satardı?
A) \(250\)B) \(270\)
C) \(280\)
D) \(300\)
E) \(320\)
Radyan cinsinden verilen \(\frac{47π}{3}\) açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{2π}{3}\)B) \(\frac{π}{3}\)
C) \(\frac{5π}{3}\)
D) \(\frac{4π}{3}\)
E) \(\frac{7π}{3}\)
\(\frac{1 - \sin^2 x}{\cot x \cdot \cos x}\) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? (\(x
eq kπ\), \(x
eq \frac{π}{2} + kπ\), \(k \in \mathbb{Z}\))
B) \(\cos x\)
C) \(\tan x\)
D) \(\cot x\)
E) \(1\)
\(\sin(150^\circ) + \cos(240^\circ) - \tan(315^\circ)\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(1\)B) \(0\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(-\frac{1}{2}\)
E) \(\frac{3}{2}\)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Her doğal sayı bir tam sayıdır.B) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
C) Her irrasyonel sayı bir gerçek sayıdır.
D) Her rasyonel sayı bir irrasyonel sayıdır.
E) Her tam sayı bir gerçek sayıdır.
Rakamları farklı iki basamaklı en büyük asal sayı ile rakamları farklı iki basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?
A) \(100\)B) \(102\)
C) \(106\)
D) \(110\)
E) \(112\)
\(a\), \(b\) ve \(c\) birer tam sayı olmak üzere, \(a \cdot b + c\) ifadesi tek sayıdır. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(a\) tek sayıdır.B) \(b\) çift sayıdır.
C) \(c\) tek sayıdır.
D) \(a \cdot b\) çift ise \(c\) tek sayıdır.
E) \(a \cdot b\) tek ise \(c\) çift sayıdır.
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = 2x - 1\) ve \(g(x) = x^2 + 3\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre, \((f \circ g)(x)\) ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2x^2 + 5\)B) \(2x^2 + 2\)
C) \(4x^2 - 4x + 4\)
D) \(x^2 + 2x + 2\)
E) \(2x^2 + 1\)
\(P(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 5\) polinomunun \(x - 1\) ile bölümünden kalan \(3\) olduğuna göre, \(a\) kaçtır?
A) \(1\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(7\)
E) \(9\)
\(x^2 - (m+2)x + 2m - 1 = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) 'dir. \(x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 10\) olduğuna göre, \(m\) kaçtır?
A) \(1\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(7\)
E) \(9\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1214-10-sinif-trigonometri-sayilar-ve-nicelikler-ve-degisimler-test-coz-yjpv