📌 10. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları: Karesel Fonksiyonlar, Karekök Fonksiyonlar ve Eşitsizlikler
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu, 10. sınıf matematik müfredatının önemli konularından olan karesel fonksiyonlar (paraboller), karekök fonksiyonlar ve eşitsizlikler konularını pekiştirmeniz için hazırlanmıştır. Sınavlarda başarı için bu konuları iyi kavramak çok önemlidir. Haydi başlayalım! 🚀
Karesel Fonksiyonlar (Paraboller)
Tanım ve Genel Form
- Bir fonksiyon ` \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) `, ` \(a, b, c \in \mathbb{R}\) ` ve ` \(a eq 0\) ` olmak üzere, ` \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ` şeklindeki fonksiyonlara karesel fonksiyon denir.
- Karesel fonksiyonların grafiğine parabol adı verilir.
- Katsayı ` \(a\) `'nın işareti parabolün kollarının yönünü belirler:
- Eğer ` \(a > 0\) ` ise parabolün kolları yukarıya doğrudur.
- Eğer ` \(a < 0\) ` ise parabolün kolları aşağıya doğrudur.
Parabolün Tepe Noktası
- Parabolün en önemli noktalarından biri tepe noktasıdır. Tepe noktası ` \(T(r, k)\) ` ile gösterilir.
- Tepe noktasının apsisi ` \(r = -\frac{b}{2a}\) ` formülü ile bulunur.
- Tepe noktasının ordinatı ` \(k = f(r)\) ` formülü ile veya ` \(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\) ` formülü ile bulunur.
Parabolün Eksenleri Kestiği Noktalar
- \(y\) -eksenini kestiği nokta: ` \(x = 0\) ` yazılarak bulunur. ` \(f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c\) `. Yani parabol ` \(y\) -eksenini ` \((0, c)\) ` noktasında keser.
- \(x\) -eksenini kestiği noktalar (Kökler): ` \(f(x) = 0\) ` denkleminin kökleri, parabolün ` \(x\) -eksenini kestiği noktalardır. Bu denklemin diskriminantı ` \(\Delta = b^2 - 4ac\) ` olmak üzere:
- Eğer ` \(\Delta > 0\) ` ise parabol ` \(x\) -eksenini iki farklı noktada keser.
- Eğer ` \(\Delta = 0\) ` ise parabol ` \(x\) -eksenine teğettir (tek kök).
- Eğer ` \(\Delta < 0\) ` ise parabol ` \(x\) -eksenini kesmez.
Fonksiyonun En Büyük / En Küçük Değeri
- Eğer ` \(a > 0\) ` (kollar yukarı) ise fonksiyonun bir en küçük değeri vardır ve bu değer tepe noktasının ordinatı olan ` \(k\) `'ya eşittir.
- Eğer ` \(a < 0\) ` (kollar aşağı) ise fonksiyonun bir en büyük değeri vardır ve bu değer tepe noktasının ordinatı olan ` \(k\) `'ya eşittir.
Karekök Fonksiyonlar
Tanım Kümesi 💡
- Karekök fonksiyonlar, ` \(f(x) = \sqrt{g(x)}\) ` şeklinde ifade edilir.
- Gerçel sayılarda karekökün tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani ` \(g(x) \ge 0\) ` olmalıdır.
- Fonksiyonun tanım kümesi, ` \(g(x) \ge 0\) ` eşitsizliğini sağlayan ` \(x\) ` değerlerinin kümesidir.
Grafik Çizimi ✅
- Karekök fonksiyonların grafikleri genellikle orijinden veya bir noktadan başlayarak tek yöne doğru uzayan eğrilerdir.
- Örneğin, ` \(f(x) = \sqrt{x}\) ` fonksiyonunun tanım kümesi ` \([0, ∞)\) `'dir ve grafiği ` \(x\) -ekseninin pozitif tarafında yukarı doğru artan bir eğridir.
Eşitsizlikler
Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
- Eşitsizlikler, matematikte iki ifadenin birbirine göre büyüklük veya küçüklüğünü ifade eden bağıntılardır (örneğin, ` \(>, <, \ge, \le\) `).
- Çözüm adımları:
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak eşitsizliğin bir tarafını ` \(0\) ` yapın.
- Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayırın (eğer mümkünse).
- İfadenin köklerini (sıfır yapan değerlerini) bulun.
- Kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu oluşturun.
- Her aralıkta ifadenin işaretini belirleyin ve eşitsizliği sağlayan aralıkları çözüm kümesine dahil edin.
- Tek katlı köklerde işaret değişir, çift katlı köklerde işaret değişmez.
Eşitsizlik Sistemleri
- Birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanmasını gerektiren durumlara eşitsizlik sistemleri denir.
- Her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözerek çözüm kümelerini bulun.
- Sistemin çözüm kümesi, bu ayrı ayrı çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.
İşaret İncelemesi 🚀
İşaret incelemesi yaparken, ifadenin en büyük dereceli teriminin katsayısının işaretinden başlayarak (sağdan başlayarak) köklerde işaret değiştirme kuralını uygulamak en yaygın yöntemdir. Tek katlı köklerde işaret değişir, çift katlı köklerde işaret değişmez.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: Karesel Fonksiyonlar
Fonksiyonu ` \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) ` veriliyor. Bu fonksiyonun tepe noktasını ve ` \(x\) -eksenini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm:
- Bu karesel fonksiyonda ` \(a = 1, b = -4, c = 3\) `'tür.
- Tepe Noktası (\(T(r, k)\)):
- ` \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\) `
- ` \(k = f(r) = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\) `
- Tepe noktası: ` \(T(2, -1)\) `.
- \(x\) -eksenini Kestiği Noktalar: ` \(f(x) = 0\) ` denklemini çözelim:
- ` \(x^2 - 4x + 3 = 0\) `
- Çarpanlara ayıralım: ` \((x - 1)(x - 3) = 0\) `
- Kökler: ` \(x_1 = 1\) ` ve ` \(x_2 = 3\) `
- Parabol ` \(x\) -eksenini ` \((1, 0)\) ` ve ` \((3, 0)\) ` noktalarında keser.
Örnek Soru 2: Eşitsizlikler
Eşitsizliğini sağlayan ` \(x\) ` tam sayılarının toplamını bulunuz: ` \((x - 2)(x + 3) \le 0\) `
Çözüm:
- Eşitsizliğin köklerini bulalım:
- ` \(x - 2 = 0 \implies x = 2\) `
- ` \(x + 3 = 0 \implies x = -3\) `
- Kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: ` \(-3, 2\) `.
- İşaret tablosu oluşturalım:
-
\(x\) \(-∞\) \(-3\) \(2\) \(+∞\) \((x-2)(x+3)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) - Eşitsizlik ` \((x - 2)(x + 3) \le 0\) ` olduğundan, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralığı arıyoruz.
- Çözüm kümesi ` \([ -3, 2 ]\) `'dir.
- Bu aralıktaki tam sayılar: ` \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\) `'dir.
- Bu tam sayıların toplamı: ` \((-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -3\) `.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir karesel fonksiyondur?
A) \(f(x) = 3x - 1\)B) \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5\)
C) \(f(x) = \frac{2}{x} + 4\)
D) \(f(x) = 2x^2 + 7x - 3\)
E) \(f(x) = \sqrt{x} + 1\)
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, -4)\)B) \((-3, 4)\)
C) \((3, 4)\)
D) \((-3, -4)\)
E) \((6, 5)\)
\(f(x) = x^2 - 4x - 12\) karesel fonksiyonunun \(x\) -eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) \(-12\)B) \(-4\)
C) \(0\)
D) \(4\)
E) \(12\)
\(y = -x^2 + 2x + 3\) karesel fonksiyonunun grafiği (parabolü) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Kolları aşağı doğrudur.B) \(y\) -eksenini \((0, 3)\) noktasında keser.
C) Tepe noktasının apsisi \(1\) 'dir.
D) \(x\) -eksenini iki farklı noktada keser.
E) En küçük değeri \(4\) 'tür.
Bir futbol topunun yerden yüksekliği \(t\) saniye sonra \(h(t) = -t^2 + 8t + 1\) metre olarak modelleniyor. Bu topun yerden çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
A) \(1\)B) \(8\)
C) \(16\)
D) \(17\)
E) \(33\)
\(f(x) = \sqrt{2x - 6}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([3, ∞)\)B) \((3, ∞)\)
C) \((-∞, 3]\)
D) \((-∞, 3)\)
E) \([0, ∞)\)
\(\sqrt{x + 4} = x - 2\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\{5\}\)B) \(\{0\}\)
C) \(\{0, 5\}\)
D) \(\{-3\}\)
E) \(\emptyset\)
\(f(x) = -\sqrt{x - 3} + 1\) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([1, ∞)\)B) \((-∞, 1]\)
C) \([3, ∞)\)
D) \((-∞, 3]\)
E) \((-∞, ∞)\)
\(f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{7 - x}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([2, 7]\)B) \((2, 7)\)
C) \((-∞, 2] \cup [7, ∞)\)
D) \([2, ∞)\)
E) \((-∞, 7]\)
\(f(x) = \sqrt{4 - x^2}\) fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)
E) \(4\)
\(3x - 5 < x + 7\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-∞, 6)\)B) \((-∞, 1)\)
C) \((1, ∞)\)
D) \((6, ∞)\)
E) \([6, ∞)\)
\(\frac{2x - 1}{3} \ge \frac{x + 2}{2}\) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(11\)
\(x^2 - 5x + 6 > 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 3)\)B) \((-∞, 2) \cup (3, ∞)\)
C) \((-∞, 2)\)
D) \((3, ∞)\)
E) \([2, 3]\)
\(2x + 1 > 5\) ve \(3x - 2 \le 10\) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 4]\)B) \([2, 4)\)
C) \((-∞, 2)\)
D) \((4, ∞)\)
E) \((-∞, 4]\)
\(|2x - 3| \le 7\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([-2, 5]\)B) \((-∞, -2] \cup [5, ∞)\)
C) \([-5, 2]\)
D) \((-∞, 5]\)
E) \([-2, ∞)\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1222-10-sinif-karesel-fonksiyonlar-karekok-fonksiyonlar-ve-esitsizlikler-test-coz-i0ws