📌 Rasyonel Sayılar, Ondalık Gösterimler ve Problemler: Sınav Çalışma Notları
Sevgili 7. Sınıf Öğrencileri,
Bu çalışma notu, matematik sınavınızda rasyonel sayılar, ondalık gösterimler ve bunlarla ilgili problemler konularında başarılı olmanız için özel olarak hazırlandı. Konuları dikkatlice okuyun, örnekleri inceleyin ve bol bol pratik yapın!
🚀 Rasyonel Sayılar Nedir?
- Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \(a/b\) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Yani, \(\frac{a}{b}\) şeklinde ifade edilebilen tüm sayılar rasyonel sayıdır.
- Burada önemli kural: Payda \(b\) asla \(0\) olamaz! (\(b eq 0\))
- Örnekler: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5\) (çünkü \(5 = \frac{5}{1}\)), \(0\) (çünkü \(0 = \frac{0}{1}\)), \(-2\) (çünkü \(-2 = \frac{-2}{1}\)) gibi sayılar rasyonel sayıdır.
- Tüm doğal sayılar (\(N\)), tam sayılar (\(Z\)) aynı zamanda birer rasyonel sayıdır.
💡 Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme
- Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterirken, sayının hangi iki tam sayı arasında olduğuna bakarız.
- Örneğin, \(\frac{3}{4}\) sayısı \(0\) ile \(1\) arasındadır. Bu aralığı paydaya göre (\(4\) eşit parçaya) böleriz ve pay kadar (\(3\). parçayı) işaretleriz.
- Negatif rasyonel sayılar için de aynı mantık geçerlidir. \(-\frac{1}{2}\) sayısı \(-1\) ile \(0\) arasındadır. Bu aralığı \(2\) eşit parçaya böler ve \(1\). parçayı işaretleriz (sıfırdan sola doğru).
✅ Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama
- Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken birkaç yöntem kullanabiliriz:
- Paydaları Eşitleme: Paydaları eşitledikten sonra payı büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür. (Örn: \(\frac{2}{3}\) ve \(\frac{3}{5}\) için paydaları \(15\) 'te eşitleriz: \(\frac{10}{15}\) ve \(\frac{9}{15}\). O zaman \(\frac{10}{15} > \frac{9}{15}\) yani \(\frac{2}{3} > \frac{3}{5}\)).
- Payları Eşitleme: Payları pozitif olarak eşitledikten sonra paydası küçük olan rasyonel sayı daha büyüktür. (Örn: \(\frac{3}{7}\) ve \(\frac{3}{5}\). Paydası küçük olan \(\frac{3}{5}\) daha büyüktür).
- Ondalık Gösterime Çevirme: Sayıları ondalık gösterime çevirerek de kolayca karşılaştırabiliriz. (Örn: \(\frac{1}{4} = 0.25\) ve \(\frac{1}{2} = 0.5\). \(0.5 > 0.25\) olduğundan \(\frac{1}{2} > \frac{1}{4}\)).
- Negatif Sayılara Dikkat: Negatif rasyonel sayılarda durum tersine döner. Sayı \(0\) 'a yaklaştıkça büyür. Örneğin, \(-\frac{1}{2}\) sayısı \(-\frac{3}{4}\) sayısından daha büyüktür, çünkü \(-\frac{1}{2} = -0.5\) ve \(-\frac{3}{4} = -0.75\) ve \(-0.5 > -0.75\).
🚀 Rasyonel Sayılarla İşlemler
Toplama ve Çıkarma
- Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır.
- Paydalar eşit değilse, uygun bir tam sayı ile genişleterek veya sadeleştirerek paydaları eşitleriz.
- Paydalar eşitlendikten sonra, paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynen yazılır.
- Örnek: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}\)
- Örnek: \(\frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{10-1}{8} = \frac{9}{8}\)
Çarpma
- Rasyonel sayılarda çarpma yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
- Varsa sadeleştirme işlemi, çarpmadan önce veya sonra yapılabilir.
- Örnek: \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\)
- Örnek: \(3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4}\)
Bölme
- Rasyonel sayılarda bölme yaparken birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilir ve çarpılır.
- Örnek: \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
💡 Ondalık Gösterimler ve Rasyonel Sayılar Arasındaki İlişki
- Rasyonel Sayıdan Ondalık Gösterime: Payı paydaya bölerek bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirebiliriz.
- Örnek: \(\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75\)
- Ondalık Gösterimden Rasyonel Sayıya: Ondalık sayıyı kesir çizgisi kullanarak rasyonel sayıya çevirebiliriz.
- Örnek: \(0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\)
- Devirli Ondalık Sayılar: Bazı rasyonel sayıların ondalık gösterimi devirli olabilir. Devirli ondalık sayılar da birer rasyonel sayıdır.
- Kuralı Hatırla: Devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken, \((Tamamı - Devretmeyen Kısım) / Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0\) kuralını kullanırız.
- Örnek: \(0.\overline{3} = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
- Örnek: \(1.\overline{2} = \frac{12-1}{9} = \frac{11}{9}\)
- Örnek: \(0.1\overline{2} = \frac{12-1}{90} = \frac{11}{90}\)
✅ Rasyonel Sayı Problemleri
Problemleri çözerken aşağıdaki adımları takip etmek size yardımcı olacaktır:
- 1. Adım: Problemi Anla: Ne isteniyor, hangi bilgiler verilmiş?
- 2. Adım: Plan Yap: Hangi işlemleri hangi sırayla yapman gerekiyor? Bir model çizebilirsin.
- 3. Adım: İşlemleri Yap: Dikkatli ve özenli bir şekilde hesaplamaları yap.
- 4. Adım: Kontrol Et: Cevabının mantıklı olup olmadığını, sorunun tamamını karşılayıp karşılamadığını kontrol et.
Unutma: Problemlerde genellikle kesirlerin kesri, bir bütünün belirli bir kısmının bulunması veya kesirlerle işlemler yapılması istenir. Bir bütünün tamamını \(1\) olarak düşünebilirsin.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Soru: Bir kasadaki \(48\) kg elmanın \(\frac{1}{4}\) 'ü çürümüştür. Kalan elmaların da \(\frac{2}{3}\) 'ü satılmıştır. Geriye kaç kilogram elma kalmıştır?
Çözüm:
- 1. Adım: Çürüyen elma miktarını bulalım.
\(48 \text{ kg}\) elmanın \(\frac{1}{4}\) 'ü çürük ise: \(48 \times \frac{1}{4} = \frac{48}{4} = 12 \text{ kg}\) elma çürümüştür. - 2. Adım: Kalan elma miktarını bulalım.
\(48 \text{ kg} - 12 \text{ kg} = 36 \text{ kg}\) elma kalmıştır. - 3. Adım: Satılan elma miktarını bulalım.
Kalan \(36 \text{ kg}\) elmanın \(\frac{2}{3}\) 'ü satılmış: \(36 \times \frac{2}{3} = \frac{36 \times 2}{3} = \frac{72}{3} = 24 \text{ kg}\) elma satılmıştır. - 4. Adım: Geriye kalan elma miktarını bulalım.
\(36 \text{ kg} - 24 \text{ kg} = 12 \text{ kg}\) elma kalmıştır. - Cevap: Geriye \(12\) kilogram elma kalmıştır.
Örnek Soru 2:
Soru: Ayşe, harçlığının \(0.4\) 'ünü kitaplara, \(\frac{1}{5}\) 'ini defterlere harcamıştır. Ayşe'nin harçlığının kaçta kaçı kalmıştır?
Çözüm:
- 1. Adım: Harcamaları aynı türde ifade edelim (rasyonel sayıya çevirelim).
Kitaplara harcanan: \(0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
Defterlere harcanan: \(\frac{1}{5}\) (Zaten rasyonel sayı) - 2. Adım: Toplam harcanan kısmı bulalım.
Toplam harcanan \(=\) Kitaplar + Defterler \(=\) \(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}\) - 3. Adım: Kalan kısmı bulalım.
Ayşe'nin harçlığının tamamı \(1\) (veya \(\frac{5}{5}\)) olarak kabul edilir.
Kalan kısım \(=\) Tamamı - Harcanan kısım \(=\) \(1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5-3}{5} = \frac{2}{5}\) - Cevap: Ayşe'nin harçlığının \(\frac{2}{5}\) 'i kalmıştır.
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi diğerlerinden daha büyüktür?
A) \(-\frac{2}{3}\)B) \(-0.7\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(-\frac{5}{6}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\left(1 - \frac{1}{4}\right) \div \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)\)
A) \(\frac{3}{4}\)B) \(\frac{9}{10}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{5}{6}\)
Bir sayının \(\frac{2}{5}\) 'i ile kendisinin toplamı \(\frac{14}{15}\) olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
A) \(\frac{2}{3}\)B) \(\frac{1}{3}\)
C) \(\frac{7}{10}\)
D) \(\frac{3}{5}\)
Bir öğrenci, matematik ödevindeki soruların önce \(\frac{3}{8}\) 'ini, daha sonra kalan soruların \(\frac{1}{5}\) 'ini çözmüştür. Eğer öğrencinin çözmesi gereken \(20\) soru kaldığına göre, ödevin tamamı kaç sorudan oluşmaktadır?
A) \(40\)B) \(48\)
C) \(50\)
D) \(60\)
\(120\) litrelik bir deponun \(\frac{5}{6}\) 'sı boştur. Depoya kaç litre su eklenirse deponun \(\frac{2}{3}\) 'ü dolar?
A) \(20\)B) \(30\)
C) \(40\)
D) \(50\)
Bir terzi elindeki kumaşın önce \(\frac{2}{7}\) 'sini, daha sonra kalan kumaşın \(\frac{3}{5}\) 'ini kullanmıştır. Eğer terzinin elinde \(24\) metre kumaş kaldığına göre, başlangıçta terzinin elinde kaç metre kumaş vardı?
A) \(70\)B) \(84\)
C) \(90\)
D) \(105\)
Bir market, bir paket çikolatayı \(2,75\) TL'den satmaktadır. Bir müşteri \(5\) paket çikolata alırsa ve kasiyere \(20\) TL verirse, kaç TL para üstü alması gerekir?
A) \(5,25\) TLB) \(6,75\) TL
C) \(6,25\) TL
D) \(7,00\) TL
Aşağıdaki ondalık sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında hangi seçenek doğru olur? Sayılar: \(0,83\), \(0,803\), \(0,38\), \(0,083\)
A) \(0,083 < 0,38 < 0,803 < 0,83\)B) \(0,38 < 0,083 < 0,803 < 0,83\)
C) \(0,083 < 0,803 < 0,38 < 0,83\)
D) \(0,83 < 0,803 < 0,38 < 0,083\)
Bir fidan \(1,25\) metre boyundadır. Her yıl \(0,15\) metre uzadığına göre, \(3\) yıl sonra bu fidanın boyu kaç metre olur?
A) \(1,70\) metreB) \(1,80\) metre
C) \(1,90\) metre
D) \(2,00\) metre
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi yanlıştır?
A) \(-\frac{1}{3} < -\frac{1}{2}\)B) \(0.25 = \frac{1}{4}\)
C) \(\frac{3}{5} > 0.5\)
D) \(-1.5 < -\frac{4}{3}\) [E] \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
\(\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \div \left( 1 + \frac{1}{6} \right)\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{1}{6}\)B) \(\frac{1}{7}\)
C) \(\frac{7}{6}\)
D) \(\frac{6}{7}\) [E] \(1\)
Ayşe, parasının \(\frac{2}{5}\) 'ini kiraya, kalan parasının \(\frac{1}{3}\) 'ünü ise faturalara harcamıştır. Geriye parasının kaçta kaçı kalmıştır?
A) \(\frac{1}{5}\)B) \(\frac{2}{5}\)
C) \(\frac{3}{5}\)
D) \(\frac{4}{5}\) [E] \(\frac{1}{15}\)
Bir kasadaki elmaların \(\frac{3}{5}\) 'i sağlamdır. Sağlam elmaların \(\frac{1}{4}\) 'ü satıldıktan sonra kasada \(180\) adet sağlam elma kalmıştır. Buna göre başlangıçta kasada toplam kaç elma vardı?
A) \(300\)B) \(360\)
C) \(400\)
D) \(450\) [E] \(500\)
Aşağıdaki ondalık gösterimlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir? \(3.05\), \(3.5\), \(3.005\), \(3.505\)
A) \(3.005 < 3.05 < 3.5 < 3.505\)B) \(3.005 < 3.05 < 3.505 < 3.5\)
C) \(3.05 < 3.005 < 3.5 < 3.505\)
D) \(3.5 < 3.505 < 3.05 < 3.005\)
Bir mağazada tanesi \(12.75\) TL olan tişörtlerden \(4\) tane alan bir müşteri, kasaya \(60\) TL vermiştir. Buna göre müşteri kaç TL para üstü almalıdır?
A) \(8.00\)B) \(8.50\)
C) \(9.00\)
D) \(9.50\)
\(24.307\) ondalık gösteriminin çözümlenmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2 \times 10) + (4 \times 1) + (3 \times \frac{1}{10}) + (7 \times \frac{1}{100})\)B) \((2 \times 10) + (4 \times 1) + (3 \times \frac{1}{10}) + (7 \times \frac{1}{1000})\)
C) \((2 \times 100) + (4 \times 10) + (3 \times \frac{1}{10}) + (7 \times \frac{1}{1000})\)
D) \((2 \times 10) + (4 \times 1) + (3 \times 10) + (7 \times 1000)\)
Ahmet'in \(1.5\) metre uzunluğunda bir ipi vardır. Ahmet bu ipin \(0.4\) metresini kullandıktan sonra, kalan ipin \(0.5\) katını arkadaşına vermiştir. Buna göre Ahmet'in elinde son durumda kaç metre ip kalmıştır?
A) \(0.55\)B) \(0.6\)
C) \(0.65\)
D) \(0.75\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1301-7-sinif-rasyonel-sayilar-ve-problemleri-ondalik-sayilar-test-coz-9ch2