📌 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çalışma Notu
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu rasyonel sayılar konusunu pekiştirmeniz ve sınava hazırlanmanız için özel olarak hazırlandı. Rasyonel sayılar, matematiğin temel taşlarından biridir ve birçok farklı konuda karşımıza çıkar. Hadi başlayalım!
Rasyonel Sayı Nedir?
💡 Rasyonel sayı, \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılara denir. Rasyonel sayılar kümesi genellikle \(\mathbb{Q}\) sembolü ile gösterilir.
- Örnekler: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5\) (çünkü \(5 = \frac{5}{1}\)), \(0\) (çünkü \(0 = \frac{0}{1}\)), \(2.5\) (çünkü \(2.5 = \frac{5}{2}\)) gibi sayılar rasyonel sayılardır.
- Unutmayın: Payda asla \(0\) olamaz! Yani \(b eq 0\) kuralı çok önemlidir.
Rasyonel Sayıların Özellikleri
Rasyonel sayılarla yapılan temel dört işlem ve bazı önemli özellikleri şunlardır:
- Toplama ve Çıkarma: Rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, uygun sayılarla genişletilerek veya sadeleştirilerek eşitlenir.
Örnek: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\) - Çarpma: Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
Örnek: \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\) - Bölme: Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır.
Örnek: \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) - Yoğunluk Özelliği: Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta başka rasyonel sayı bulunur. Bu özelliğe yoğunluk özelliği denir.
- Devirli Ondalık Sayılar: Her devirli ondalık sayı bir rasyonel sayıdır ve \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilir.
Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme
✅ Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formül kullanılır:
\(\frac{\text{Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan) - Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar } 9 \text{ ve devretmeyen basamak sayısı kadar } 0}\)
Örnekler:
- \(0.\overline{3} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
- \(1.2\overline{5} = \frac{125 - 12}{90} = \frac{113}{90}\)
- \(2.\overline{15} = \frac{215 - 2}{99} = \frac{213}{99} = \frac{71}{33}\)
Rasyonel Sayılarla İşlem Önceliği
🚀 Rasyonel sayılarla yapılan işlemlerde de diğer sayılarda olduğu gibi belirli bir işlem önceliği sırası vardır:
- Parantez içi işlemler
- Üslü ifadeler
- Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru yapılır)
- Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru yapılır)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
İşleminin sonucunu bulunuz: \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{8}\)
Çözüm:
Paydaları eşitlemek için \(\frac{1}{2}\) 'yi \(4\) ile, \(\frac{3}{4}\) 'ü \(2\) ile genişletiriz. Ortak payda \(8\) olacaktır.
\(\frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{3 \times 2}{4 \times 2} - \frac{1}{8}\)
\(\frac{4}{8} + \frac{6}{8} - \frac{1}{8}\)
\(\frac{4 + 6 - 1}{8} = \frac{9}{8}\)
Sonuç: \(\frac{9}{8}\)
Örnek Soru 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \((1 - \frac{1}{3}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})\)
Çözüm:
Önce parantez içi işlemleri yapmalıyız.
Birinci parantez: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
İkinci parantez: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
Şimdi bu iki sonucu çarpalım:
\(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\)
Pay ve paydadaki \(3\) 'leri sadeleştirebiliriz:
\(\frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{4} = \frac{2}{4}\)
Sadeleştirme yaparsak:
\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Sonuç: \(\frac{1}{2}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\frac{0,\overline{3} + \frac{1}{6}}{1,2 - 0,7}\)
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(1\)
D) \(\frac{5}{3}\)
E) \(\frac{7}{3}\)
\(\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
A) \(6\)B) \(8\)
C) \(12\)
D) \(15\)
E) \(24\)
Aşağıdaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında, doğru sıralama hangisi olur? \(a = 0,\overline{4}\) \(b = \frac{2}{5}\) \(c = \frac{7}{15}\)
A) \(a < b < c\)B) \(b < a < c\)
C) \(b < c < a\)
D) \(c < a < b\)
E) \(a < c < b\)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? \(\frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{5}{6}\)
A) \(\frac{5}{12}\)B) \(\frac{7}{12}\)
C) \(\frac{11}{12}\)
D) \(\frac{13}{12}\)
E) \(\frac{17}{12}\)
\(1.2\bar{3}\) devirli ondalık sayısının rasyonel sayı olarak karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{11}{9}\)B) \(\frac{11}{90}\)
C) \(\frac{37}{30}\)
D) \(\frac{123}{99}\)
E) \(\frac{111}{90}\)
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi \(\frac{1}{3}\) ile \(\frac{1}{2}\) sayıları arasındadır?
A) \(\frac{5}{12}\)B) \(\frac{1}{4}\)
C) \(\frac{7}{12}\)
D) \(\frac{2}{3}\)
E) \(\frac{1}{6}\)
Bir öğrenci, elindeki \(240\) sayfalık kitabın önce \(\frac{1}{3}\) 'ünü, sonra kalan kısmın \(\frac{2}{5}\) 'ini okumuştur. Bu öğrencinin okuması gereken kaç sayfası kalmıştır?
A) \(64\)B) \(80\)
C) \(96\)
D) \(112\)
E) \(128\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\left(2 - \frac{1}{3}\right) \div \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right)\)
A) \(\frac{5}{4}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{5}{2}\)
D) \(\frac{10}{3}\)
E) \(2\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}\)
A) \(\frac{5}{3}\)B) \(\frac{8}{5}\)
C) \(\frac{13}{8}\)
D) \(\frac{21}{13}\)
E) \(\frac{34}{21}\)
\(a = \frac{7}{12}\), \(b = \frac{5}{8}\), \(c = \frac{11}{18}\) rasyonel sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(c < a < b\)
E) \(b < c < a\)
Bir sayının \(\frac{3}{4}\) 'ü ile \(\frac{1}{6}\) 'sının toplamı \(22\) 'ye eşit ise, bu sayı kaçtır?
A) \(12\)B) \(18\)
C) \(24\)
D) \(36\)
E) \(48\)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? $ \(( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ) \div ( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} )\) \(
A) \) \(\frac{5}{6}\) \(B) \) \(\frac{7}{12}\) \(
C) \) \(\frac{10}{7}\) \(
D) \) \(\frac{12}{5}\) \(
E) \) \(\frac{15}{7}\) $
İşleminin sonucu kaçtır? $ \( 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}} \) \(
A) \) \(\frac{1}{3}\) \(B) \) \(\frac{2}{3}\) \(
C) \) 1 \(
D) \) \(\frac{3}{2}\) \(
E) \) 2$
\(a = \frac{3}{5}\), \(b = \frac{7}{10}\), \(c = \frac{13}{20}\) rasyonel sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(c < a < b\)
E) \(b < c < a\)
Bir miktar paranın \( \frac{2}{5} \) 'i harcandıktan sonra kalan paranın \( \frac{1}{3} \) 'ü daha harcanmıştır. Geriye \(120\) TL kaldığına göre, başlangıçtaki para kaç TL'dir?
A) \(250\)B) \(280\)
C) \(300\)
D) \(320\)
E) \(350\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1305-10-sinif-rasyonel-sayilar-test-coz-eazm