📌 11. Sınıf Matematik: Çemberler ve Teğetleri Çalışma Notları 🚀
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu çemberler ve teğetleri konusundaki temel bilgileri pekiştirmenize yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Özellikle çevrel çember, iç teğet çember, dış teğet çember ve teğet çemberler arasındaki açılar gibi kritik konulara odaklanacağız. Başarılar dileriz!
💡 Çevrel Çember
Bir üçgenin köşelerinden geçen çembere çevrel çember denir. Bu çemberin merkezi, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktasıdır ve bu noktaya çevrel merkez denir. Çevrel çemberin yarıçapı genellikle \(R\) ile gösterilir.
- Bir üçgende çevrel çemberin merkezi, dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, dik açılı üçgenlerde hipotenüsün orta noktasında, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde yer alır.
- Sinüs teoremi ile çevrel çemberin yarıçapı arasında önemli bir ilişki vardır: Herhangi bir \(ABC\) üçgeni için, \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\). Buradan \(R = \frac{a}{2\sin A}\) gibi ifadeler elde edilebilir.
- Üçgenin alanı \(A\) ve kenar uzunlukları \(a, b, c\) olmak üzere, çevrel çemberin yarıçapı \(R = \frac{abc}{4A}\) formülüyle de bulunabilir.
💡 İç Teğet Çember
Bir üçgenin tüm kenarlarına teğet olan çembere iç teğet çember denir. Bu çemberin merkezi, üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır ve bu noktaya iç merkez denir. İç teğet çemberin yarıçapı genellikle \(r\) ile gösterilir.
- İç merkez, üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta bulunur. Bu uzaklık iç teğet çemberin yarıçapıdır (\(r\)).
- Üçgenin alanı \(A\), yarıçevre \(s = \frac{a+b+c}{2}\) olmak üzere, iç teğet çemberin yarıçapı \(r = \frac{A}{s}\) formülüyle hesaplanır.
- İç teğet çemberin merkezi, her zaman üçgenin iç bölgesindedir.
💡 Dış Teğet Çember
Bir üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarının uzantılarına teğet olan çembere dış teğet çember denir. Her üçgenin üç farklı dış teğet çemberi vardır. Örneğin, \(a\) kenarına teğet olan dış teğet çemberin merkezi, \(A\) köşesinin iç açıortayı ile \(B\) ve \(C\) köşelerinin dış açıortaylarının kesişim noktasıdır. Yarıçapları genellikle \(r_a, r_b, r_c\) ile gösterilir.
- \(a\) kenarına teğet olan dış teğet çemberin yarıçapı \(r_a = \frac{A}{s-a}\) formülüyle bulunur. Benzer şekilde \(r_b = \frac{A}{s-b}\) ve \(r_c = \frac{A}{s-c}\) 'dir.
- Dış teğet çemberlerin merkezleri üçgenin dışındadır.
💡 Teğet Çemberler ve Aralarındaki Açılar
İki çemberin birbirine göre konumları ve teğetlik durumları, aralarındaki açıları belirlemede önemlidir. Özellikle iki çemberin ortak teğetleri üzerinde durulur.
Dar Açılı Teğet Çemberi
İki çemberin ortak teğetleri arasındaki açı dar açı ise, bu çemberler dar açılı teğet çemberler olarak düşünülebilir. Genellikle iki çemberin birbirine dıştan teğet olması durumunda, ortak teğetler arasında bir açı oluşur. Eğer bu teğetler kesişiyorsa ve kesişim noktasındaki açı dar ise bu durum söz konusudur.
Dik Açılı Teğet Çemberi
📌 Önemli Not: "Dik açılı teğet çemberi" ifadesi genellikle çemberlerin birbirine dik kesiştiği durumu ifade eder. Bu durumda, kesişim noktalarındaki yarıçaplar birbirine diktir. Eğer iki çemberin merkezleri arası uzaklık \(d\), yarıçapları \(r_1\) ve \(r_2\) ise, dik kesişmeleri için \(d^2 = r_1^2 + r_2^2\) bağıntısı geçerlidir.
Geniş Açılı Teğet Çemberi
İki çemberin ortak teğetleri arasındaki açı geniş açı ise, bu çemberler geniş açılı teğet çemberler olarak adlandırılabilir. Bu durum, genellikle çemberlerin birbirini kesmesi veya birinin diğerini içermesi durumunda, teğetler çizilirse (eğer mümkünse) oluşabilecek açılar için geçerlidir. Ancak, "geniş açılı teğet çember" kavramı dik kesişen çemberler kadar yaygın değildir ve daha çok ortak teğetlerin oluşturduğu açıyı tanımlamak için kullanılır.
✅ Ortak Teğetler ve Merkezler Arası Uzaklık İlişkileri:
| Durum | Merkezler Arası Uzaklık (\(d\)) | Ortak Teğet Sayısı |
|---|---|---|
| Çemberler Ayrık (Dışarıda) | \(d > r_1 + r_2\) | \(4\) (iki dış, iki iç) |
| Dıştan Teğet | \(d = r_1 + r_2\) | \(3\) (iki dış, bir iç) |
| Kesişen | \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\) | \(2\) (iki dış) |
| İçten Teğet | \(d = |r_1 - r_2|\) | \(1\) (bir dış) |
| Biri Diğerinin İçinde (Ayrık) | \(d < |r_1 - r_2|\) | \(0\) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: İç Teğet Çember
Bir \(ABC\) üçgeninin kenar uzunlukları \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm ve \(c = 10\) cm'dir. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını (\(r\)) bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle üçgenin yarı çevresini (\(s\)) bulalım: \(s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = \frac{24}{2} = 12\) cm.
- Kenar uzunlukları \(6, 8, 10\) olan bir üçgen, Pisagor bağıntısını (\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)) sağladığı için bir dik üçgendir.
- Dik üçgenin alanı \(A = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) cm \(^2\).
- İç teğet çemberin yarıçapı formülü \(r = \frac{A}{s}\) olduğundan, \(r = \frac{24}{12} = 2\) cm bulunur.
- ✅ Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı \(2\) cm'dir.
Örnek Soru 2: Dik Kesişen Çemberler
Merkezleri arası uzaklık \(d = 10\) cm olan iki çemberin yarıçapları \(r_1 = 6\) cm ve \(r_2 = 8\) cm'dir. Bu iki çemberin birbirine göre konumunu ve kesişim durumunu inceleyiniz.
Çözüm:
- Çemberlerin yarıçapları toplamı \(r_1 + r_2 = 6 + 8 = 14\) cm.
- Çemberlerin yarıçapları farkının mutlak değeri \(|r_1 - r_2| = |6 - 8| = |-2| = 2\) cm.
- Merkezler arası uzaklık \(d = 10\) cm'dir.
- Bu durumda, \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\) yani \(2 < 10 < 14\) eşitsizliği sağlanmaktadır. Bu durum, çemberlerin iki farklı noktada kesiştiği anlamına gelir.
- Ayrıca, \(d^2 = 10^2 = 100\). Yarıçapların kareleri toplamı \(r_1^2 + r_2^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
- \(d^2 = r_1^2 + r_2^2\) bağıntısı sağlandığı için, bu iki çember dik kesişen çemberlerdir.
- 🚀 Sonuç olarak, bu iki çember iki farklı noktada kesişir ve kesişim noktalarında birbirlerine diktirler.
\(ABCD\) bir kirişler dörtgenidir. \(m(\angle DAB) = (3x - 10)^\circ\) ve \(m(\angle BCD) = (2x + 30)^\circ\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(20\)B) \(25\)
C) \(30\)
D) \(32\)
E) \(35\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(|BC| = 12\text{ cm}\) ve \(m(\angle A) = 45^\circ\) olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(6\)B) \(6\sqrt{2}\)
C) \(12\)
D) \(12\sqrt{2}\)
E) \(24\)
\(ABCD\) bir kirişler dörtgenidir. \(AC\) köşegeni çizilmiştir. \(m(\angle DAC) = 35^\circ\) ve \(m(\angle ABC) = 110^\circ\) olduğuna göre, \(m(\angle ACD)\) kaç derecedir?
A) \(35\)B) \(60\)
C) \(70\)
D) \(75\)
E) \(80\)
Bir \(A\) noktasından bir çembere çizilen teğetler çembere sırasıyla \(B\) ve \(C\) noktalarında değmektedir. Eğer \(AB = (3x-1)\) cm ve \(AC = (x+5)\) cm ise \(x\) değeri kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Bir \(ABC\) üçgeninin iç teğet çemberi, \(AB\), \(BC\) ve \(CA\) kenarlarına sırasıyla \(D\), \(E\) ve \(F\) noktalarında teğettir. Eğer \(AD = 4\) cm, \(BE = 5\) cm ve \(CF = 6\) cm ise üçgenin çevresi kaç cm'dir?
A) \(25\)B) \(28\)
C) \(30\)
D) \(32\)
E) \(35\)
Bir \(ABC\) üçgeninin kenar uzunlukları \(a = 8\) cm, \(b = 9\) cm ve \(c = 7\) cm'dir. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı (\(r\)) kaç cm'dir?
A) \(\sqrt{5}\)B) \(\sqrt{6}\)
C) \(2\sqrt{2}\)
D) \(3\)
E) \(2\sqrt{3}\)
Bir \(P\) noktasından \(O\) merkezli bir çembere çizilen teğetler \(PA\) ve \(PB\) 'dir. \(A\) ve \(B\) teğet değme noktalarıdır. Çemberin \(AB\) yayı üzerinde alınan bir \(C\) noktasından çembere çizilen teğet doğru, \(PA\) doğru parçasını \(D\) noktasında ve \(PB\) doğru parçasını \(E\) noktasında kesmektedir. Eğer \(PA = 12 \text{ cm}\) ise, \(\triangle PDE\) 'nin çevresi kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(12\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(24\)
E) \(30\)
Analitik düzlemde verilen \(P(5, 7)\) noktasından \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) çemberine çizilen teğetin uzunluğu kaç birimdir?
A) \(2\sqrt{15}\)B) \(2\sqrt{17}\)
C) \(2\sqrt{21}\)
D) \(4\sqrt{5}\)
E) \(6\)
Denklemleri \(C_1: x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0\) ve \(C_2: x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0\) olan çemberlerin ortak dış teğetinin uzunluğu kaç birimdir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(2\sqrt{5}\)
D) \(\sqrt{21}\)
E) \(5\)
Bir çemberde, dışındaki bir \(P\) noktasından çembere çizilen bir teğet çembere \(A\) noktasında, bir kesen ise çemberi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmektedir. Kesen \(P, B, C\) sırasıyla doğrusaldır. Eğer \(\stackrel{\frown}{AC}\) yayının ölçüsü \(150^\circ\) ve \(\stackrel{\frown}{AB}\) yayının ölçüsü \(50^\circ\) ise, \(\angle APC\) açısı kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(70^\circ\)
E) \(80^\circ\)
Bir çemberde, dışındaki bir \(P\) noktasından çembere çizilen iki kesen çemberi sırasıyla \(A, B\) ve \(C, D\) noktalarında kesmektedir. Bu kesenler \(PAB\) ve \(PCD\) doğrularıdır. Eğer \(\angle APD = 35^\circ\) ve \(\stackrel{\frown}{AD}\) yayının ölçüsü \(110^\circ\) ise, \(\stackrel{\frown}{BC}\) yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(30^\circ\)B) \(35^\circ\)
C) \(40^\circ\)
D) \(45^\circ\)
E) \(50^\circ\)
Bir çemberde, dışındaki bir \(P\) noktasından çembere çizilen \(PA\) ve \(PB\) teğetleri çembere sırasıyla \(A\) ve \(B\) noktalarında değmektedir. Eğer \(\angle APB = 70^\circ\) ise, \(\stackrel{\frown}{AB}\) küçük yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(90^\circ\)B) \(100^\circ\)
C) \(110^\circ\)
D) \(120^\circ\)
E) \(130^\circ\)
Merkezi \(M(a, b)\) olan bir çember \(x\) -eksenine ve \(y\) -eksenine teğettir. Bu çember aynı zamanda \(A(2, 1)\) noktasından geçtiğine göre, çemberin yarıçapı kaç farklı değer alabilir?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Merkezi \(y = x+2\) doğrusu üzerinde bulunan ve \(x\) -eksenine ve \(y\) -eksenine teğet olan bir çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1\)B) \((x+1)^2 + (y-1)^2 = 1\)
C) \((x-2)^2 + (y-4)^2 = 4\)
D) \((x+2)^2 + (y-0)^2 = 4\)
E) \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 1\)
Bir çember \(x\) -eksenine, \(y\) -eksenine ve \(x=6\) doğrusuna teğettir. Bu çemberin yarıçapı kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Bir çembere dışındaki bir \(P\) noktasından çizilen teğetler çembere \(A\) ve \(B\) noktalarında değmektedir. \(\angle APB = 110^\circ\) olduğuna göre, çember üzerindeki küçük \(AB\) yayı üzerinde yer alan bir \(D\) noktası için \(\angle ADB\) kaç derecedir?
A) \(35^\circ\)B) \(70^\circ\)
C) \(110^\circ\)
D) \(145^\circ\)
E) \(180^\circ\)
Bir çembere \(A\) noktasında teğet olan bir doğru ile \(AB\) kirişi arasındaki geniş açı \(130^\circ\) dir. Buna göre, küçük \(AB\) yayını gören merkez açı kaç derecedir?
A) \(50^\circ\)B) \(65^\circ\)
C) \(100^\circ\)
D) \(130^\circ\)
E) \(260^\circ\)
Merkezi \(M(2, -1)\) olan bir çember, \(3x + 4y - 12 = 0\) doğrusuna teğettir. Bu çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1326-11-sinif-cemberde-cevrel-cember-cemberde-ic-teget-cemberde-dis-teget-dar-acili-teget-cemberi-dik-acili-teget-cemberi-ve-genis-acili-teget-cemberi-test-coz-rthz