📌 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılarla İşlemler Konu Anlatımı
Sevgili öğrenciler, bu derste rasyonel sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Bu işlemler, lise matematiğinin temel taşlarından olup, ileriki konularda sıkça karşınıza çıkacaktır. Hazırsanız başlayalım! 🚀
➕ Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi
Rasyonel sayılarla toplama işlemi yaparken, paydaların eşit olup olmamasına dikkat etmemiz gerekir.
Paydaları Eşit Rasyonel Sayılarda Toplama
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken, paylar toplanır ve ortak payda aynen yazılır.
- 💡 Örnek: \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7} \)
- 💡 Örnek: \( \frac{5}{9} + (-\frac{1}{9}) = \frac{5-1}{9} = \frac{4}{9} \)
Paydaları Farklı Rasyonel Sayılarda Toplama
Paydaları farklı olan rasyonel sayılar toplanırken, öncelikle paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra, paydaları eşit rasyonel sayılarda toplama işlemi yapılır.
Paydaları eşitlemek için genellikle paydaların en küçük ortak katı (EKOK) bulunur veya uygun sayılarla genişletme yapılır.
- 💡 Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
- Paydaları eşitleyelim: \( \frac{1}{2}_{ (3)} + \frac{1}{3}_{ (2)} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
- 💡 Örnek: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \)
- Paydaları eşitleyelim: \( \frac{2}{5}_{ (2)} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri
- Değişme Özelliği: İki rasyonel sayının toplamı, sayıların sırası değiştiğinde değişmez. \( a+b = b+a \)
- Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla rasyonel sayı toplanırken, sayıların gruplandırılması toplamı değiştirmez. \( (a+b)+c = a+(b+c) \)
- Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı \(0\) 'dır. Bir rasyonel sayıya \(0\) eklendiğinde sayının değeri değişmez. \( a+0 = a \)
- Ters Eleman Özelliği: Her rasyonel sayının toplama işlemine göre bir tersi vardır. Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. \( a + (-a) = 0 \)
➖ Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi
Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, aslında toplama işleminin bir özel halidir. Bir rasyonel sayıdan diğerini çıkarmak demek, çıkan sayının toplama işlemine göre tersini eklemek demektir. \( a-b = a+(-b) \)
Paydaları Eşit Rasyonel Sayılarda Çıkarma
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar çıkarılırken, paylar çıkarılır ve ortak payda aynen yazılır.
- 💡 Örnek: \( \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- 💡 Örnek: \( \frac{2}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} \)
Paydaları Farklı Rasyonel Sayılarda Çıkarma
Paydaları farklı olan rasyonel sayılar çıkarılırken, öncelikle paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra, paydaları eşit rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapılır.
- 💡 Örnek: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \)
- Paydaları eşitleyelim (EKOK(\(4, 6\)) \(=\) \(12\)): \( \frac{3}{4}_{ (3)} - \frac{1}{6}_{ (2)} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \)
✖️ Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi, toplama ve çıkarmadan daha kolaydır çünkü payda eşitleme zorunluluğu yoktur.
Çarpma İşlemi Kuralları
İki rasyonel sayı çarpılırken, paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. Varsa sadeleştirmeler yapılmalıdır.
- 💡 Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)
- 💡 Örnek: \( \frac{1}{2} \times (-\frac{3}{4}) = -\frac{1 \times 3}{2 \times 4} = -\frac{3}{8} \)
- 💡 Örnek (Sadeleştirme): \( \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{3 \times 10}{5 \times 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \) (veya çapraz sadeleştirme ile \( \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{1}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{10}^2}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3} \))
Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri
- Değişme Özelliği: İki rasyonel sayının çarpımı, sayıların sırası değiştiğinde değişmez. \( a \times b = b \times a \)
- Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla rasyonel sayı çarpılırken, sayıların gruplandırılması çarpımı değiştirmez. \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
- Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Rasyonel sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanı \(1\) 'dir. Bir rasyonel sayı \(1\) ile çarpıldığında sayının değeri değişmez. \( a \times 1 = a \)
- Yutan Eleman Özelliği: Rasyonel sayılarda çarpma işleminin yutan elemanı \(0\) 'dır. Bir rasyonel sayı \(0\) ile çarpıldığında sonuç her zaman \(0\) olur. \( a \times 0 = 0 \)
- Ters Eleman Özelliği: Her sıfırdan farklı rasyonel sayının çarpma işlemine göre bir tersi vardır. Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, payı ile paydasının yer değiştirmesiyle bulunur. \( a \times \frac{1}{a} = 1 \) ( \( a eq 0 \) )
- Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. \( a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c) \) ve \( a \times (b-c) = (a \times b) - (a \times c) \)
✅ Unutma: İşaret kurallarına dikkat et! Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitif, farklı işaretli sayıların çarpımı negatiftir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{8} \)
Çözüm:
Öncelikle tüm paydaları eşitleyelim. \(4\), \(2\) ve \(8\) 'in EKOK'u \(8\) 'dir.
- \( \frac{3}{4}_{ (2)} = \frac{6}{8} \)
- \( \frac{1}{2}_{ (4)} = \frac{4}{8} \)
Şimdi işlemi yapalım:
\( \frac{6}{8} + \frac{4}{8} - \frac{5}{8} = \frac{6+4-5}{8} = \frac{10-5}{8} = \frac{5}{8} \)
Sonuç: \( \frac{5}{8} \)
Örnek Soru 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \( (\frac{2}{3} - 1) \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) \)
Çözüm:
Önce parantez içindeki işlemleri yapalım.
Birinci parantez: \( \frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} \)
İkinci parantez: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \)
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
\( (-\frac{1}{3}) \times (\frac{3}{4}) = -\frac{1 \times 3}{3 \times 4} \)
Sadeleştirme yaparsak:
\( -\frac{1}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{4} = -\frac{1}{4} \)
Sonuç: \( -\frac{1}{4} \)
\(\frac{3}{4} + \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{5}{6}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{7}{12}\)
C) \(\frac{5}{4}\)
D) \(\frac{13}{12}\)
E) \(\frac{11}{6}\)
İşleminin sonucu kaçtır? $ \( \frac{5}{6} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \) \(
A) \) \(\frac{1}{12}\) \(B) \) \(\frac{1}{6}\) \(
C) \) \(\frac{1}{4}\) \(
D) \) \(\frac{5}{12}\) \(
E) \) \(\frac{1}{3}\) $
Aşağıdaki çarpma işleminin sonucu kaçtır? \(\left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(-\frac{1}{6}\right)\)
A) \(-\frac{1}{4}\)B) \(\frac{1}{4}\)
C) \(-\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{1}{2}\)
E) \(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{5} + \frac{1}{3}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{4}{8}\)B) \(\frac{13}{15}\)
C) \(\frac{14}{15}\)
D) \(\frac{1}{2}\)
E) \(\frac{2}{5}\)
\(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\frac{23}{12}\)B) \(\frac{19}{12}\)
C) \(\frac{17}{12}\)
D) \(\frac{15}{12}\)
E) \(\frac{13}{12}\)
\(2\frac{1}{4} + 1.25\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(3.5\)B) \(3.75\)
C) \(4\)
D) \(4.25\)
E) \(4.5\)
\(\frac{x}{3} + \frac{x}{2}\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{2x}{5}\)B) \(\frac{x}{5}\)
C) \(\frac{5x}{6}\)
D) \(\frac{x}{6}\)
E) \(\frac{x^2}{6}\)
Bir sürahi suyun \(\frac{1}{4}\) 'ü kullanıldıktan sonra, kalan suyun \(\frac{1}{3}\) 'ü daha kullanılıyor. Başlangıçta sürahinin tamamı dolu olduğuna göre, toplamda sürahinin ne kadarı kullanılmıştır?
A) \(\frac{1}{3}\)B) \(\frac{1}{2}\)
C) \(\frac{2}{3}\)
D) \(\frac{3}{4}\)
E) \(\frac{5}{6}\)
\(\frac{5}{6}\) kesrinden \(\frac{1}{4}\) kesri çıkarıldığında sonuç kaç olur?
A) \(\frac{4}{2}\)B) \(\frac{7}{12}\)
C) \(\frac{6}{10}\)
D) \(\frac{2}{3}\)
E) \(\frac{1}{2}\)
\(3\frac{1}{2}\) tam sayılı kesrinden \(1\frac{2}{5}\) tam sayılı kesri çıkarıldığında sonuç kaç olur?
A) \(\frac{18}{10}\)B) \(2\frac{1}{10}\)
C) \(\frac{21}{10}\)
D) \(1\frac{1}{2}\)
E) \(\frac{19}{10}\)
\(7\) sayısından \(\frac{3}{4}\) kesri çıkarılırsa sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{21}{4}\)B) \(\frac{25}{4}\)
C) \(\frac{4}{25}\)
D) \(\frac{1}{4}\)
E) \(6\frac{1}{4}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \((\frac{7}{8} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{16})\)
A) \(\frac{3}{16}\)B) \(\frac{1}{8}\)
C) \(\frac{1}{16}\)
D) \(\frac{5}{16}\)
E) \(\frac{1}{4}\)
Bir sürahide \(2\frac{1}{2}\) litre limonata bulunmaktadır. Bu limonatanın \(\frac{3}{4}\) litresi içilmiştir. Geriye kaç litre limonata kalmıştır?
A) \(\frac{5}{4}\)B) \(\frac{7}{4}\)
C) \(1\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{9}{4}\)
E) \(2\)
\(\frac{3}{5}\) ile \(\frac{7}{9}\) rasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?
A) \(\frac{10}{14}\)B) \(\frac{21}{45}\)
C) \(\frac{7}{15}\)
D) \(\frac{10}{45}\)
E) \(\frac{21}{14}\)
\(2\frac{1}{4}\) ile \(1\frac{1}{3}\) tam sayılı kesirlerinin çarpımı kaçtır?
A) \(\frac{3}{2}\)B) \(3\)
C) \(\frac{27}{16}\)
D) \(2\)
E) \(\frac{13}{12}\)
\(\left(-\frac{5}{6}\right)\) ile \(\left(\frac{3}{10}\right)\) rasyonel sayılarının çarpımı kaçtır?
A) \(\frac{1}{4}\)B) \(-\frac{1}{20}\)
C) \(-\frac{1}{4}\)
D) \(-\frac{8}{16}\)
E) \(\frac{1}{2}\)
\(0.75\) ondalık gösterimi ile \(\frac{2}{9}\) rasyonel sayısının çarpımı kaçtır?
A) \(\frac{1}{3}\)B) \(\frac{1}{6}\)
C) \(\frac{2}{27}\)
D) \(0.25\)
E) \(\frac{1}{12}\)
Bir su deposunun \(\frac{3}{4}\) 'ü doludur. Depodaki suyun \(\frac{2}{5}\) 'i kullanıldığında, deponun kaçta kaçı boş kalmıştır?
A) \(\frac{3}{10}\)B) \(\frac{9}{20}\)
C) \(\frac{11}{20}\)
D) \(\frac{1}{2}\)
E) \(\frac{7}{10}\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1338-10-sinif-rasyonel-sayilarda-toplama-cikarma-ve-carpma-test-coz-yat8