📌 Eşitsizlikler: LGS Matematik Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri
Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri, LGS Matematik'in önemli konularından biri olan Eşitsizlikler konusuna hoş geldiniz! Bu not, eşitsizlikleri kavramanız, özelliklerini öğrenmeniz ve soru çözme becerilerinizi geliştirmeniz için özel olarak hazırlandı. Hadi başlayalım! 🚀
💡 Eşitsizlik Nedir?
İki cebirsel ifade veya sayının birbirine eşit olmadığını belirten matematiksel ifadelere eşitsizlik denir. Denklemlerin aksine, eşitsizlikler genellikle tek bir çözüm yerine bir çözüm kümesi (aralığı) ifade eder.
- Kullanılan Semboller:
- \(<\) : küçüktür (Örnek: \(x < 5\), \(x\) beşten küçüktür)
- \(>\) : büyüktür (Örnek: \(y > -2\), \(y\) eksi ikiden büyüktür)
- \(\le\) : küçük veya eşittir (Örnek: \(k \le 10\), \(k\) ondan küçük veya ona eşittir)
- \(\ge\) : büyük veya eşittir (Örnek: \(m \ge 0\), \(m\) sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir)
Unutma: Denklemde eşitlik (\(=\)) varken, eşitsizlikte eşit olmama durumu söz konusudur. Bu, çözüm kümesinin bir aralık olmasını sağlar.
✅ Eşitsizliklerin Temel Özellikleri
Eşitsizlikleri çözerken bilmemiz gereken bazı kritik özellikler vardır:
- Toplama ve Çıkarma İşlemi: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa, eşitsizliğin yönü değişmez.
- Örnek: Eğer \(a < b\) ise, \(a + c < b + c\) ve \(a - c < b - c\) olur.
- Sayısal Örnek: \(3 < 7\) ise, \(3 + 2 < 7 + 2 \implies 5 < 9\) ve \(3 - 1 < 7 - 1 \implies 2 < 6\).
- Pozitif Bir Sayıyla Çarpma ve Bölme: Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizliğin yönü değişmez.
- Örnek: Eğer \(a < b\) ve \(c > 0\) ise, \(a \cdot c < b \cdot c\) ve \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\) olur.
- Sayısal Örnek: \(4 < 8\) ise, \(4 \cdot 3 < 8 \cdot 3 \implies 12 < 24\) ve \(\frac{4}{2} < \frac{8}{2} \implies 2 < 4\).
- Negatif Bir Sayıyla Çarpma ve Bölme: Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizliğin yönü mutlaka değişir! Bu, eşitsizliklerdeki en önemli kuraldır.
- Örnek: Eğer \(a < b\) ve \(c < 0\) ise, \(a \cdot c > b \cdot c\) ve \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\) olur.
- Sayısal Örnek: \(2 < 5\) ise, \(2 \cdot (-1) > 5 \cdot (-1) \implies -2 > -5\). (Eşitsizlik yön değiştirdi!)
- Sayısal Örnek: \(6 > 3\) ise, \(\frac{6}{-3} < \frac{3}{-3} \implies -2 < -1\). (Eşitsizlik yön değiştirdi!)
⚙️ Eşitsizlik Çözümü Adımları
Eşitsizlikleri çözerken denklemlere benzer adımlar izlenir, ancak negatif sayıyla çarpma/bölme kuralına dikkat etmek gerekir.
- Değişkeni (genellikle \(x\)) yalnız bırakmaya çalışın.
- Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın.
- Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyip çıkarabilirsiniz (yön değişmez).
- Eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpıp bölebilirsiniz (yön değişmez).
- ÇOK ÖNEMLİ: Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarpıp böldüğünüzde eşitsizliğin yönünü TERS ÇEVİRMEYİ UNUTMAYIN!
📊 Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi
Eşitsizliklerin çözüm kümeleri sayı doğrusunda bir aralık olarak gösterilir. Bu gösterimde açık ve kapalı aralıklar önemlidir:
- \(<\) veya \(>\) sembolleri kullanıldığında (yani eşitlik yoksa), ilgili sayıya açık aralık denir ve sayı doğrusunda içi boş daire ile gösterilir. Bu, o sayının çözüm kümesine dahil OLMADIĞI anlamına gelir.
- \(\le\) veya \(\ge\) sembolleri kullanıldığında (yani eşitlik varsa), ilgili sayıya kapalı aralık denir ve sayı doğrusunda içi dolu daire ile gösterilir. Bu, o sayının çözüm kümesine dahil OLDUĞU anlamına gelir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz:
\(3x - 5 < 10\)
Çözüm:
- Önce sabit terimi karşıya atalım:
\(3x - 5 + 5 < 10 + 5\)
\(3x < 15\) - Şimdi her iki tarafı \(x\) 'in katsayısı olan pozitif \(3\) ile bölelim. Eşitsizlik yön değiştirmez:
\(\frac{3x}{3} < \frac{15}{3}\)
\(x < 5\) - Çözüm kümesi: \(x\) beşten küçük tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda \(5\) noktasının içi boş bir daire ile gösterilir ve \(5\) 'in solundaki tüm bölge taranır.
Sayı doğrusu gösterimi: (Metin tabanlı temsili)
\(<-----\bullet-------\)
\( \quad \quad \quad 5\) (boş nokta)
Örnek Soru 2:
Aşağıdaki eşitsizliği çözerek çözüm kümesini bulunuz:
\(-2(x + 1) \ge 6\)
Çözüm:
- Önce parantezi dağıtalım:
\(-2x - 2 \ge 6\) - Sabit terimi karşıya atalım:
\(-2x \ge 6 + 2\)
\(-2x \ge 8\) - Şimdi her iki tarafı \(x\) 'in katsayısı olan negatif \(-2\) ile bölelim. DİKKAT! Eşitsizlik yön değiştirecek:
\(\frac{-2x}{-2} \le \frac{8}{-2}\)
\(x \le -4\) - Çözüm kümesi: \(x\) eksi dörtten küçük veya eksi dörte eşit tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda \(-4\) noktasının içi dolu bir daire ile gösterilir ve \(-4\) 'ün solundaki tüm bölge taranır.
Sayı doğrusu gösterimi: (Metin tabanlı temsili)
\(<-----\bullet-------\)
\( \quad -4 \quad \quad \) (dolu nokta)
\(3x - 7 \le 2x + 1\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) doğal sayılarının toplamı kaçtır?
A) \(28\)B) \(32\)
C) \(36\)
D) \(40\)
Bir mağazada tanesi \(12 \text{ TL}\) olan defterlerden ve tanesi \(7 \text{ TL}\) olan kalemlerden satılmaktadır. Ayşe, \(100 \text{ TL}\) 'si ile en az \(4\) defter alacak şekilde alışveriş yapmak istiyor. Eğer Ayşe \(4\) defter alırsa, en fazla kaç kalem alabilir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
Bir sayının \(3\) katının \(5\) eksiği, aynı sayının \(2\) katının \(10\) fazlasından küçük değildir. Bu sayının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(12\)B) \(13\)
C) \(14\)
D) \(15\)
Bir sayının \(3\) katının \(5\) fazlası, aynı sayının \(2\) katının \(10\) eksiğinden küçüktür. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?
A) \(14\)B) \(15\)
C) \(16\)
D) \(17\)
Bir otobüs firması, bilet fiyatını kişi başı \(40\) TL olarak belirlemiştir. Ancak, \(10\) kişiden fazla yolcu olması durumunda, \(10\) kişiden sonraki her bir kişi için bilet fiyatında yüzde \(20\) indirim uygulamaktadır. Eğer bir gruptaki kişi sayısı \(x\) ile gösterilirse ve grubun ödeyeceği toplam ücret \(600\) TL'den az ise, gruptaki kişi sayısı en fazla kaç olabilir? (\(x > 10\) olduğunu varsayın.)
A) \(16\)B) \(17\)
C) \(18\)
D) \(19\)
\(\frac{2x - 3}{4} \le \frac{x + 1}{2}\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) doğal sayılarının toplamı kaçtır?
A) \(10\)B) \(12\)
C) \(15\)
D) \(21\)
Bir tarladaki domates fidelerinin boyları \(20\) cm ile \(50\) cm arasındadır. Bu fidelerin boyları her hafta \(5\) cm uzamaktadır. Buna göre, \(3\) hafta sonra bu fidelerin boyları hangi aralıkta olur?
A) \([35, 65)\)B) \((35, 65]\)
C) \((35, 65)\)
D) \([35, 65]\)
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir? \(2x - 7 \le 5\)
A) \(x \le 6\)B) \(x < 6\)
C) \(x \le 1\)
D) \(x < 1\)
Bir taksinin açılış ücreti \(10 \text{ TL}\) 'dir ve her kilometre için \(3 \text{ TL}\) ek ücret almaktadır. Eğer bir yolcu, taksiye ödeyeceği toplam tutarın en fazla \(55 \text{ TL}\) olmasını istiyorsa, bu taksiyle en fazla kaç kilometre yol gidebilir?
A) \(12\)B) \(13\)
C) \(14\)
D) \(15\)
Aşağıdaki sayı doğrularından hangisi \(x < -2\) eşitsizliğinin çözüm kümesini göstermektedir?
A) Sayı doğrusu üzerinde \(-2\) noktasının içi boş bir daire ile işaretlenmiş ve bu dairenin sol tarafındaki tüm sayılar taranmıştır.B) Sayı doğrusu üzerinde \(-2\) noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenmiş ve bu dairenin sol tarafındaki tüm sayılar taranmıştır.
C) Sayı doğrusu üzerinde \(-2\) noktasının içi boş bir daire ile işaretlenmiş ve bu dairenin sağ tarafındaki tüm sayılar taranmıştır.
D) Sayı doğrusu üzerinde \(-2\) noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenmiş ve bu dairenin sağ tarafındaki tüm sayılar taranmıştır.
\(\frac{3x+1}{2} - 4 > 3\) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
Bir teraziye konulan cisimlerin kütleleri arasındaki ilişkiyi gösteren eşitsizlik \(3(x-2) + 5 \le 2x + 10\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(x\) değişkeninin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(10\)B) \(11\)
C) \(12\)
D) \(13\)
Bir mağaza, tanesi \(15\) TL olan tişörtlerden en az \(4\) tane alan müşterilerine toplam fiyattan \(25\) TL indirim yapmaktadır. Bir müşteri, tişörtler için en fazla \(125\) TL ödemek istediğine göre, bu indirimden faydalanarak en fazla kaç tane tişört alabilir?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
\(\frac{x-4}{3} - \frac{x+2}{2} > 1\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-∞, -20)\)B) \((-20, ∞)\)
C) \((-∞, 20)\)
D) \((20, ∞)\)
Sayı doğrusu üzerinde \(-3\) noktasının sağında ve \(5\) noktasının solunda yer alan tam sayılar kümesini ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(-3 < x < 5\)B) \(-3 \le x \le 5\)
C) \(-2 \le x \le 4\)
D) \(x > -3\) veya \(x < 5\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1383-8-sinif-lgs-esitsizlikler-test-coz-2y85