📌 Eşitsizlikler: Orta Seviye Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri 🚀
Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri,
LGS Matematik konularının önemli bir parçası olan eşitsizlikler, günlük hayatta ve matematik problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Bu konuda başarılı olmak için temel özellikleri iyi anlamak ve çözüm adımlarını doğru uygulamak çok önemlidir. Hazırsanız, eşitsizliklerin orta seviye detaylarına dalalım!
Eşitsizlik Nedir?
İki cebirsel ifadeyi veya sayıyı karşılaştırırken kullanılan \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) sembolleriyle oluşturulan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir. Bir denklemde eşitlik (\(=\)) varken, eşitsizlikler bir büyüklük veya küçüklük ilişkisini ifade eder.
- Küçüktür: \(a < b\) (a, b'den küçüktür)
- Büyüktür: \(a > b\) (a, b'den büyüktür)
- Küçüktür veya Eşittir: \(a \le b\) (a, b'den küçük veya b'ye eşittir)
- Büyüktür veya Eşittir: \(a \ge b\) (a, b'den büyük veya b'ye eşittir)
💡 Eşitsizliklerin Temel Özellikleri ve Çözüm Adımları
Denklemlerden farklı olarak, eşitsizlikleri çözerken dikkat etmemiz gereken bazı kritik kurallar vardır:
- Toplama ve Çıkarma: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa, eşitsizliğin yönü değişmez.
Örnek: Eğer \(x + 3 < 7\) ise, her iki taraftan \(3\) çıkarırsak \(x < 4\) olur.
- Pozitif Sayı ile Çarpma veya Bölme: Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizliğin yönü değişmez.
Örnek: Eğer \(2x \le 10\) ise, her iki tarafı \(2\) ile bölersek \(x \le 5\) olur.
- Negatif Sayı ile Çarpma veya Bölme: 🚨 ÇOK ÖNEMLİ! Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizliğin yönü DEĞİŞİR.
Örnek: Eğer \(-3x > 12\) ise, her iki tarafı \(-3\) ile böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir: \(x < -4\) olur.
✅ Sayı Doğrusunda Gösterim
Eşitsizliklerin çözüm kümelerini sayı doğrusunda göstermek, konuyu görselleştirmek açısından çok faydalıdır:
- \(x > a\) veya \(x < a\) durumlarında \(a\) noktası içi boş daire ile gösterilir (çözüm kümesine dahil değil).
- \(x \ge a\) veya \(x \le a\) durumlarında \(a\) noktası içi dolu daire ile gösterilir (çözüm kümesine dahil).
Örneğin, \(x \ge 3\) eşitsizliğinin çözüm kümesi sayı doğrusunda \(3\) noktasının içi dolu bir daire ile başlayıp sağa doğru sonsuza giden bir ışın şeklinde gösterilir.
🚀 Çok Adımlı Eşitsizlikleri Çözme
Birden fazla işlem içeren eşitsizlikleri çözerken, denklemlerde olduğu gibi adımları takip ederiz, tek fark negatif sayıyla çarpma/bölme durumunda yön değiştirmeyi unutmamaktır.
- Değişkeni bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplarız.
- Gerekirse parantezleri dağıtırız.
- Benzer terimleri birleştiririz.
- Değişkenin katsayısına böleriz (negatifse yön değiştiririz).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Soru: \(3(x - 2) + 5 \le 14\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
Çözüm:
Önce parantezi dağıtırız:
\(3x - 6 + 5 \le 14\)
Benzer terimleri birleştiririz:
\(3x - 1 \le 14\)
Sabit terimi diğer tarafa atarız:
\(3x \le 14 + 1\)
\(3x \le 15\)
Her iki tarafı \(3\) (pozitif sayı) ile böleriz, eşitsizlik yön değiştirmez:
\(x \le \frac{15}{3}\)
\(x \le 5\)
Çözüm Kümesi: \(x\) değerleri \(5\) 'e eşit veya \(5\) 'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda \(5\) noktası içi dolu bir daire ile işaretlenir ve sol taraf taranır.
Örnek Soru 2:
Soru: \(7 - 2x > 15\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Sabit terimi diğer tarafa atarız:
\(-2x > 15 - 7\)
\(-2x > 8\)
Şimdi her iki tarafı \(-2\) (negatif sayı) ile böleceğiz. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirecektir!
\(x < \frac{8}{-2}\)
\(x < -4\)
Çözüm Kümesi: \(x\) değerleri \(-4\) 'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Sayı doğrusunda \(-4\) noktası içi boş bir daire ile işaretlenir ve sol taraf taranır.
Unutmayın, eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma veya bölme kuralı en çok hata yapılan yerdir. Bol pratik yaparak bu konuyu pekiştirebilirsiniz. Başarılar dileriz!
\(3(x-2) + 5 \le x + 7\) eşitsizliğini sağlayan en büyük \(x\) tam sayısı kaçtır?
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7\)
\(\frac{x+1}{2} - \frac{x-1}{3} < 1\) eşitsizliğini sağlayan en büyük \(x\) tam sayısı kaçtır?
A) \(0\)B) \(-1\)
C) \(1\)
D) \(2\)
Bir sınıftaki öğrenci sayısı \(20\) 'den fazla, \(35\) 'ten azdır. Bu sınıfa \(5\) öğrenci daha katılırsa, öğrenci sayısı \(30\) 'dan az olmayacaktır. Buna göre, başlangıçtaki öğrenci sayısı kaç farklı değer alabilir?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
\(-3 \le 2x+1 < 9\) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \(x\) tam sayısı vardır?
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7\)
\(2(x-4) - 3x > 5x + 16\) eşitsizliğini sağlayan en büyük \(x\) tam sayısı kaçtır?
A) \(-3\)B) \(-4\)
C) \(-5\)
D) \(-6\)
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük \(x\) tam sayısı kaçtır? \(3(x - 2) + 7 \le 2x + 12\)
A) \(10\)B) \(11\)
C) \(12\)
D) \(13\)
Bir taksinin açılış ücreti \(15 \text{ TL}\) 'dir ve her kilometre başına \(6 \text{ TL}\) eklenmektedir. Bir yolcu, taksiye ödeyeceği ücretin \(75 \text{ TL}\) 'yi geçmemesini istemektedir. Buna göre, bu yolcu en fazla kaç kilometre yol gidebilir?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan \(x\) değerleri için doğru aralık hangisidir? \(\frac{x}{3} - \frac{1}{2} < \frac{x}{6} + 1\)
A) \(x < 9\)B) \(x > 9\)
C) \(x < 6\)
D) \(x > 6\)
\(x\) bir tam sayı olmak üzere, \(-5 < 2x + 3 \le 11\) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \(x\) değeri vardır?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
Bir depodaki su miktarı en az \(200 \text{ litre}\), en fazla \(500 \text{ litre}\) olmalıdır. Depodan her gün \(30 \text{ litre}\) su kullanılmaktadır. Eğer başlangıçta depoda \(410 \text{ litre}\) su varsa, kaç gün sonra depodaki su miktarı belirtilen aralığın dışına çıkar? (Depo boşalana kadar veya üst limiti aşana kadar geçen gün sayısı)
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
Bir sayının \(3\) katının \(5\) eksiği, aynı sayının \(2\) katının \(10\) fazlasından küçüktür. Bu şartı sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(14\)B) \(15\)
C) \(16\)
D) \(17\)
Bir otobüs, her birinde \(20\) yolcu olan \(3\) sefer yapmıştır. Otobüsün toplam yolcu kapasitesi \(70\) kişiden fazla olmadığına göre, otobüsün alabileceği en fazla kaç boş koltuk kalmıştır?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
Aşağıdaki sayı doğrusunda gösterilen eşitsizlik hangisidir?
(Sayı doğrusu: \(-3\) 'ün içi boş daire ile işaretli ve sağa doğru uzanan bir çizgi, \(2\) 'nin içi dolu daire ile işaretli ve solunda kalan kısmı kapsayan bir çizgi. İki çizginin kesişim bölgesi taranmıştır.)
Yukarıdaki görsel bir sayı doğrusunu temsil etmektedir. Bu sayı doğrusunda \(-3\) noktasının içi boş bir daire ile işaretlenmiş ve sağa doğru bir okla devam etmektedir. \(2\) noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenmiş ve sola doğru bir okla devam etmektedir. Bu iki aralığın kesişim bölgesi (yani \(-3\) ile \(2\) arası) taranmıştır.
B) \(-3 \le x < 2\)
C) \(-3 < x < 2\)
D) \(-3 \le x \le 2\)
\(\frac{x}{3} - 1 \ge \frac{x}{2} + 2\) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(-19\)B) \(-18\)
C) \(-17\)
D) \(-16\)
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(x \text{ cm}\), \(x+2 \text{ cm}\) ve \(x+4 \text{ cm}\) 'dir. Bu üçgenin çevresi \(30 \text{ cm}\) 'den büyük değildir. Buna göre \(x\) 'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1385-8-sinif-lgs-esitsizlikler-orta-seviye-test-coz-97gt