✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Çarpan Ağacı Test Çöz

SORU 1

Bir çarpan ağacında, en alttaki yaprak (asal çarpan) düğümleri sırasıyla $2$, $2$, $3$, $5$ ve $5$ olarak verilmiştir. Bu çarpan ağacının en üstündeki sayının değeri kaçtır?

A) $30$
B) $60$
C) $120$
D) $150$
E) $300$

Açıklama:

Çarpan ağacının en üstündeki sayı, en alttaki yaprak düğümlerinde bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir. Verilen asal çarpanlar $2$, $2$, $3$, $5$ ve $5$ 'tir.

Bu sayıları çarparsak:

$2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 \times 5 = 12 \times 25 = 300$ olur.

Dolayısıyla, çarpan ağacının en üstündeki sayı $300$ 'dür.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Soru Listesi 0/16

Cevaplanmış

Boş

🔄 Sınavı Sıfırla

📌 Çarpan Ağacı: Sayıların Gizemli Dünyasına Yolculuk! 🚀

Merhaba $10$. Sınıf öğrencileri! Bugün matematik dünyasının temel taşlarından biri olan Çarpan Ağacı konusunu derinlemesine inceleyeceğiz. Bu yöntem, sayıların asal çarpanlarını bulmak için görsel ve oldukça etkili bir araçtır. Unutmayın, bu konu EBOB ve EKOK gibi ileri konular için sağlam bir zemin oluşturur!

💡 Çarpan Ağacı Nedir?

Çarpan ağacı, bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmak için kullanılan şematik bir yöntemdir. Bir sayıyı, asal çarpanlarına ayrılana kadar sürekli olarak çarpanlarına ayırarak dallandırma prensibine dayanır. Ağacın en altındaki tüm sayılar, başlangıçtaki sayının asal çarpanlarını oluşturur.

✅ Hatırlatma: Asal sayı, $1$ ve kendisi dışında hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen, $1$ 'den büyük doğal sayılardır. Örnek: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

🚀 Çarpan Ağacı Nasıl Oluşturulur? (Adım Adım Kılavuz)

Bir sayının çarpan ağacını oluşturmak oldukça basittir. İşte adımları:

Adım $1$: Asal çarpanlarına ayırmak istediğiniz sayıyı en üste yazın. Örneğin, $60$ sayısının çarpan ağacını oluşturalım.
Adım $2$: Sayıyı, bölünebildiği en küçük asal sayıya (genellikle $2$) bölün. Sayının altına iki dal çizerek bu asal sayıyı ve bölüm sonucunu yazın. Örneğin, $60$ sayısını $2$ 'ye böldüğümüzde, dalların altına $2$ ve $30$ yazarız.
Adım $3$: Bölüm sonucunu (bu örnekte $30$), asal çarpanlarına ayrılana kadar aynı işlemi tekrarlayın. Yine en küçük asal sayıdan başlayın. $30$ sayısını $2$ 'ye böldüğümüzde, dalların altına $2$ ve $15$ yazarız.
Adım $4$: Dalların ucundaki sayılar asal olana kadar bu işleme devam edin. $15$ sayısı $2$ 'ye bölünmez, bu yüzden bir sonraki en küçük asal sayı olan $3$ 'e bakarız. $15$ sayısını $3$ 'e böldüğümüzde, dalların altına $3$ ve $5$ yazarız.
Adım $5$: Tüm dalların uçları asal sayı olduğunda işlem tamamlanır. Ağacın en altındaki tüm asal sayılar, başlangıçtaki sayının asal çarpanlarıdır. Bu örnekte, $60$ sayısının asal çarpanları $2, 2, 3, 5$ 'tir. Yani $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$.

📌 Çarpan Ağacının Özellikleri ve Faydaları

Her bir dalın ucundaki sayılar, o sayının çarpanlarıdır ve en alt dalların uçları her zaman asal sayılardır.
Çarpan ağacı, bir sayının tüm asal çarpanlarını ve bu çarpanların kaç kez tekrar ettiğini açıkça gösterir.
Büyük sayıların asal çarpanlarını bulmada sistematik bir yol sunar.
EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) bulma işlemlerinde temel bir adımdır. Sayıları asal çarpanlarına ayırdıktan sonra EBOB ve EKOK'u bulmak çok daha kolay hale gelir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek $1$: $72$ sayısının çarpan ağacını oluşturunuz ve asal çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

$72$ sayısını yazalım.
$72$ sayısını $2$ 'ye bölelim: $72 = 2 \times 36$. (Dalların altına $2$ ve $36$ yazılır)
$36$ sayısını $2$ 'ye bölelim: $36 = 2 \times 18$. (Dalların altına $2$ ve $18$ yazılır)
$18$ sayısını $2$ 'ye bölelim: $18 = 2 \times 9$. (Dalların altına $2$ ve $9$ yazılır)
$9$ sayısını $3$ 'e bölelim: $9 = 3 \times 3$. (Dalların altına $3$ ve $3$ yazılır)

Ağacın en altındaki asal çarpanlar: $2, 2, 2, 3, 3$.

Bu durumda, $72$ sayısının asal çarpanları çarpımı $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$ şeklinde ifade edilir.

Örnek $2$: Çarpan ağacı yöntemiyle $105$ sayısının asal çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

$105$ sayısını yazalım.
$105$ sayısı $2$ 'ye bölünmez. En küçük asal çarpan $3$ 'tür. $105 = 3 \times 35$. (Dalların altına $3$ ve $35$ yazılır)
$35$ sayısı $3$ 'e bölünmez. Bir sonraki asal çarpan $5$ 'tir. $35 = 5 \times 7$. (Dalların altına $5$ ve $7$ yazılır)

Ağacın en altındaki asal çarpanlar: $3, 5, 7$.

Bu durumda, $105$ sayısının asal çarpanları çarpımı $3 \times 5 \times 7$ şeklinde ifade edilir. Görüldüğü gibi, $105$ sayısının asal çarpanları $3, 5$ ve $7$ 'dir.

Umarız bu detaylı notlar, çarpan ağacı konusunu tam olarak anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar dileriz!

A) $30$
B) $60$
C) $120$
D) $150$
E) $300$

$180$ sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibi parçalı olarak verilmiştir:

$180 \to 2 \times X$

$X \to Y \times 15$

$Y \to 3 \times Z$

Çarpan ağacındaki tüm yaprak (asal çarpan) düğümlerinin asal sayılar olduğu bilindiğine göre, $Y+Z$ değeri kaçtır?

A) $8$
B) $10$
C) $12$
D) $15$
E) $18$

Aşağıdaki çarpan ağaçlarından hangisi $210$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halini doğru şekilde göstermektedir?

A) $210 \to 2 \times 105 \to 2 \times 3 \times 35 \to 2 \times 3 \times 5 \times 7$

B) $210 \to 3 \times 70 \to 3 \times 7 \times 10 \to 3 \times 7 \times 2 \times 5$

C) $210 \to 5 \times 42 \to 5 \times 6 \times 7 \to 5 \times 2 \times 3 \times 7$

D) $210 \to 10 \times 21 \to 2 \times 5 \times 3 \times 7$

E) Yukarıdakilerin hepsi

Bir $N$ sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir:

$N \to 3 \times X$

$X \to 2 \times Y$

$Y \to 5 \times Z$

$Z \to 2 \times 7$

Çarpan ağacındaki tüm yaprak (asal çarpan) düğümlerinin asal sayılar olduğu bilindiğine göre, $N$ sayısının birbirinden farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

A) $15$
B) $17$
C) $19$
D) $21$
E) $23$

İki sayı olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• $A$ sayısının çarpan ağacının yaprak (asal çarpan) düğümleri $2$, $3$, $5$ ve $7$ 'dir.

• $B$ sayısının çarpan ağacının yaprak (asal çarpan) düğümleri $2$, $2$ ve $3$ 'tür.

Buna göre, $A \times B$ çarpımının birbirinden farklı asal çarpanlarının çarpımı kaçtır?

A) $30$
B) $42$
C) $105$
D) $210$
E) $420$

Aşağıda verilen çarpan ağacında $A$, $B$ ve $C$ birer doğal sayıyı temsil etmektedir. $108 \rightarrow 2 \times A$ $A \rightarrow 3 \times B$ $B \rightarrow 3 \times C$ Buna göre, $C$ sayısının değeri kaçtır?

A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $6$
E) $9$

Bir $K$ doğal sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir: $K \rightarrow 2 \times X$ $X \rightarrow 3 \times Y$ $Y \rightarrow 5 \times Z$ $Z \rightarrow 7 \times 1$ Buna göre, $K$ sayısının değeri kaçtır?

A) $105$
B) $210$
C) $420$
D) $840$
E) $1260$

Aşağıda $M$ sayısının çarpan ağacı verilmiştir. $M \rightarrow 2 \times A$ $A \rightarrow 2 \times B$ $B \rightarrow 3 \times C$ $C \rightarrow 3 \times D$ $D \rightarrow 5$ Buna göre, $M$ sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

A) $10$
B) $12$
C) $15$
D) $17$
E) $20$

Bir çarpan ağacında, bir sayının asal çarpanlarına ayrılması gösterilir. Aşağıdaki çarpan ağacında $P$ sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır: $P \rightarrow 2 \times Q$ $Q \rightarrow 3 \times R$ $R \rightarrow 2 \times S$ $S \rightarrow T \times 5$ $T \rightarrow 7$ Buna göre, $P$ sayısının asal çarpanları kaç tanedir?

A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $5$
E) $6$

10)

Aşağıdaki çarpan ağacında $A$ ve $B$ birer doğal sayıyı temsil etmektedir. $144 \rightarrow A \times 72$ $72 \rightarrow 2 \times 36$ $36 \rightarrow 3 \times B$ Buna göre, $A+B$ toplamının değeri kaçtır?

A) $12$
B) $13$
C) $14$
D) $15$
E) $16$

11)

Aşağıda bir sayının çarpan ağacı gösterilmiştir. $ $A$  $/ \$  $2 \quad B$  $B$  $/ \$  $C \quad 3$  $C$  $/ \$  $2 \quad D$ $ Yukarıdaki çarpan ağacında $ D $ bir asal sayı olduğuna göre, $ A \( sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) \) 12 $
B) $ 18 $
C) $ 24 $
D) $ 30 $
E) $ 36$

12)

Aşağıda $K$ sayısının çarpan ağacı gösterilmiştir. $ $K$  $/ \$  $2 \quad X$  $X$  $/ \$  $3 \quad Y$  $Y$  $/ \$  $Z \quad 5$  Z $ bir asal sayı ve $ K $=210$ $ olduğuna göre, $ X+Y+Z \( toplamı kaçtır?

A) \) 135 $
B) $ 140 $
C) $ 142 $
D) $ 147 $
E) $ 150$

13)

Aşağıda $180$ sayısının çarpan ağacı gösterilmiştir. Buna göre $A+B+C$ değeri kaçtır? $180$ $/ \ \backslash$ $A \ \ 90$ $/ \ \backslash$ $B \ \ 45$ $/ \ \backslash$ $3 \ \ C$

A) $17$
B) $18$
C) $19$
D) $20$
E) $21$

14)

Yukarıda $K$ sayısının çarpan ağacı verilmiştir. $K$ $/ \ \backslash$ $A \ \ B$ $/ \ \backslash \ \ / \ \backslash$ $2 \ \ 3 \ \ 5 \ \ C$ Buna göre, eğer $C$ bir asal sayı ise ve $K$ alabileceği en küçük değeri alırsa, $K$ sayısı kaçtır?

A) $30$
B) $60$
C) $90$
D) $120$
E) $150$

15)

$180$ sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir. $180$ / \ $A$ $B$ / \ / \ $2$ $C$ $D$ $E$ / \ $2$ $F$ Buna göre, $A+B+C+D+E+F$ toplamı kaçtır?

A) $42$
B) $47$
C) $52$
D) $57$
E) $62$

16)

Aşağıda verilen çarpan ağacına göre $A+B+C+D+K$ toplamı kaçtır? $K$ / \ $A$ $B$ / \ / \ $2$ $C$ $2$ $D$ / \ / \ $3$ $5$ $3$ $7$

A) $1320$
B) $1345$
C) $1368$
D) $1390$
E) $1412$

Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun

https://yazili.eokultv.com/test/1386-10-sinif-carpan-agaci-test-coz-18qs