✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Rasyonel sayılarda sıralama, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme Test Çöz

SORU 1

Aşağıda verilen rasyonel sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir? \(x = \frac{3}{5}\), \(y = \frac{7}{10}\), \(z = \frac{1}{2}\)

A) \(z < x < y\)
B) \(x < z < y\)
C) \(y < x < z\)
D) \(z < y < x\)
E) \(x < y < z\)
Açıklama:

Verilen rasyonel sayıları sıralamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Sayılarımız \(x = \frac{3}{5}\), \(y = \frac{7}{10}\) ve \(z = \frac{1}{2}\) 'dir.

Paydalar \(5\), \(10\) ve \(2\) olduğu için bu sayıların en küçük ortak katı \(10\) 'dur. Tüm kesirleri paydası \(10\) olacak şekilde genişletelim:

  • \(x = \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\)
  • \(y = \frac{7}{10}\) (zaten paydası \(10\))
  • \(z = \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}\)

Şimdi sayıları paydaları eşitlenmiş hâlleriyle karşılaştırabiliriz: \(z = \frac{5}{10}\), \(x = \frac{6}{10}\), \(y = \frac{7}{10}\).

Payları karşılaştırdığımızda \(5 < 6 < 7\) olduğu için, rasyonel sayıların sıralaması \(z < x < y\) şeklinde olur.

Doğru cevap A seçeneğidir.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Sıralama

📌 Rasyonel Sayı Nedir?

Kısaca, \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) ile gösterilir.

💡 Rasyonel Sayılarda Sıralama

✅ Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması zorunludur. Paydalar eşit değilse, uygun bir sayı ile genişletme veya sadeleştirme yapılarak eşitlenir.

💡 Kural: \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}\)

💡 Kural: \(\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad - cb}{bd}\)

Örnek: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}\)

Örnek: \(\frac{5}{4} - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{15}{12} - \frac{2}{12} = \frac{15-2}{12} = \frac{13}{12}\)

🚀 Rasyonel Sayılarda Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır. İşlemden önce sadeleştirme yapmak, işlemi kolaylaştırır.

💡 Kural: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)

Örnek: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}\)

Örnek: \(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}\). Sadeleştirme yaparak: \(\frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}\)

🚀 Rasyonel Sayılarda Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken, birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

💡 Kural: \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)

Örnek: \(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10}\)

Örnek: \(\frac{6}{10} \div \frac{9}{5} = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}\). Sadeleştirme yaparak: \(\frac{\cancel{6}^2}{\cancel{10}^2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}^3} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek Soru 1

Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: $ \(\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \div \frac{5}{6} + \frac{1}{4}\) \(

Çözüm:

Önce parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:

\) \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\) \(

Şimdi ifade şu hale geldi: \) \(\frac{1}{6} \div \frac{5}{6} + \frac{1}{4}\) \(

Bölme işlemini yapalım (birinci kesri aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp):

\) \(\frac{1}{6} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac\) { \(1 \cdot \cancel{6}\) ^1}{ \(\cancel{6}\) ^ \(1 \cdot 5\) } \(= \frac{1}{5}\) \(

Son olarak toplama işlemini yapalım:

\) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}\) \(

Sonuç: \) \(\frac{9}{20}\) \(

Örnek Soru 2

Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız: \) A \(= -\frac{3}{4}\) \(, \) B \(= \frac{1}{2}\) \(, \) C \(= -\frac{2}{3}\) \(

Çözüm:

Sayıları sıralamak için paydalarını eşitleyelim. \) 4 \(, \) 2 \(, \) 3 \( sayılarının en küçük ortak katı (\) EKOK \() \) 12 \('dir.

Şimdi sayıları sıralayalım: \) A \(= -\frac{9}{12}\) \(, \) B \(= \frac{6}{12}\) \(, \) C \(= -\frac{8}{12}\) \(.

Negatif sayılar arasında sıfıra daha uzak olan (mutlak değeri büyük olan) daha küçüktür. Pozitif sayı her zaman negatif sayılardan büyüktür.

Bu durumda en küçük sayı \) A \(= -\frac{9}{12}\) \('dir. Sonra \) C \(= -\frac{8}{12}\) \( gelir. En büyük sayı ise \) B \(= \frac{6}{12}\) \('dir.

Sıralama: \) A < C < B \( yani \) \(-\frac{3}{4}\)< \(-\frac{2}{3}\)< \(\frac{1}{2}\) $.