📌 Analitik Geometriye Giriş ve Temel Kavramlar
Sevgili öğrenciler, Analitik Geometri, geometri ile cebiri birleştiren, şekilleri koordinat sistemi üzerinde incelememizi sağlayan çok önemli bir matematik dalıdır. Bu notlar, analitik geometri konularını daha iyi anlamanıza ve sınavlara hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.
🚀 Koordinat Sistemi
- Bir düzlemde, birbirini dik kesen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi denir.
- Yatay eksene \(x\) -ekseni (apsisler ekseni), dikey eksene ise \(y\) -ekseni (ordinatlar ekseni) denir.
- Eksenlerin kesişim noktasına başlangıç noktası (orijin) denir ve \(O(0,0)\) ile gösterilir.
- Bir noktanın koordinatları \(P(x,y)\) şeklinde gösterilir. Burada \(x\) apsisi, \(y\) ise ordinatı ifade eder.
💡 Noktanın Analitiği
1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan iki nokta arasındaki uzaklık (\(|AB|\)) aşağıdaki formülle bulunur:
\(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Özel durum: Bir noktanın orijine uzaklığı \(P(x,y)\) için \(\sqrt{x^2 + y^2}\) 'dir.
2. Doğru Parçasının Orta Noktası
Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan doğru parçasının orta noktasının koordinatları \(M(x_m, y_m)\) aşağıdaki formülle bulunur:
\(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)
3. Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta
Bir \(AB\) doğru parçasını, \(C\) noktası \(\frac{|AC|}{|CB|} = k\) oranında içten bölüyorsa, \(C(x_c, y_c)\) noktası için:
\(x_c = \frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k}\) ve \(y_c = \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k}\)
Dıştan bölme durumunda formüller biraz farklılaşır.
4. Üçgenin Ağırlık Merkezi
Köşe koordinatları \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) ve \(C(x_3, y_3)\) olan bir üçgenin ağırlık merkezi \(G(x_G, y_G)\) aşağıdaki formülle bulunur:
\(G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)\)
✅ Doğrunun Analitiği
1. Doğrunun Eğimi
Bir doğrunun \(x\) -ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı denir. Eğim açısının tanjantına ise eğim (\(m\)) denir.
- İki noktası bilinen doğrunun eğimi \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) için:
- Eğim açısı \(α\) ise \(m = \tan α\).
- \(x\) -eksenine paralel doğruların eğimi \(0\) 'dır. (Örn: \(y=k\) denklemi)
- \(y\) -eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır. (Örn: \(x=k\) denklemi)
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) (Eğer \(x_1 eq x_2\))
2. Doğru Denklemleri
- Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Eğimi \(m\) ve bir noktası \(A(x_1, y_1)\) olan doğru denklemi:
- İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarından geçen doğru denklemi önce eğim bulunarak \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazılabilir veya:
- Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi: \(x\) -eksenini \(a\) noktasında, \(y\) -eksenini \(b\) noktasında kesen doğru denklemi:
- Genel Doğru Denklemi: \(Ax + By + C = 0\) şeklindeki denklemdir. Bu denklemden eğim \(m = -\frac{A}{B}\) olarak bulunur (Eğer \(B eq 0\)).
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
3. Paralel ve Dik Doğrular
- Paralel Doğrular: İki doğru paralel ise eğimleri eşittir. \(d_1 // d_2 \implies m_1 = m_2\).
- Dik Doğrular: İki doğru dik kesişiyorsa eğimlerinin çarpımı \(-1\) 'dir. \(d_1 \perp d_2 \implies m_1 \cdot m_2 = -1\).
4. Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
Bir \(P(x_0, y_0)\) noktasının \(Ax + By + C = 0\) doğrusuna olan uzaklığı \(h\) aşağıdaki formülle bulunur:
\(h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
5. Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Denklemleri \(Ax + By + C_1 = 0\) ve \(Ax + By + C_2 = 0\) olan paralel iki doğru arasındaki uzaklık \(h\) aşağıdaki formülle bulunur:
\(h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
Dikkat: Formülü kullanmadan önce \(x\) ve \(y\) 'nin katsayıları aynı olmalıdır.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Koordinat sisteminde \(A(2, -1)\) ve \(B(5, 3)\) noktaları veriliyor. Buna göre:
- \(|AB|\) uzaklığını bulunuz.
- \(AB\) doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm 1:
-
İki nokta arası uzaklık formülü: \(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2}\)
\(|AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{9 + 16}\)
\(|AB| = \sqrt{25}\)
\(|AB| = 5\) birim.
-
Orta nokta formülü: \(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)
\(M = \left( \frac{2 + 5}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right)\)
\(M = \left( \frac{7}{2}, \frac{2}{2} \right)\)
\(M = \left( \frac{7}{2}, 1 \right)\)
Örnek Soru 2:
Eğimi \(m = 2\) olan ve \(A(1, 4)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm 2:
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
Verilenler: \(m = 2\), \(x_1 = 1\), \(y_1 = 4\).
\(y - 4 = 2(x - 1)\)
\(y - 4 = 2x - 2\)
\(y = 2x - 2 + 4\)
\(y = 2x + 2\)
Doğrunun denklemi \(y = 2x + 2\) veya \(2x - y + 2 = 0\) olarak bulunur.
\(A(2, -3)\) ve \(B(x, 5)\) noktalarının orta noktası \(C(4, y)\) olduğuna göre, \(x+y\) değeri kaçtır?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
\(A(1, 4)\) ve \(B(-2, -5)\) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(3x - y + 1 = 0\)B) \(3x + y - 7 = 0\)
C) \(x - 3y + 11 = 0\)
D) \(x + 3y - 13 = 0\)
E) \(3x - y - 1 = 0\)
\(P(3, -1)\) noktasından geçen ve \(2x - 3y + 5 = 0\) doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(3x + 2y - 7 = 0\)B) \(3x - 2y - 11 = 0\)
C) \(2x + 3y - 3 = 0\)
D) \(3x + 2y - 11 = 0\)
E) \(2x - 3y - 9 = 0\)
Analitik düzlemde verilen \(A(-1, 3)\) ve \(B(2, 7)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(\sqrt{13}\)
E) \(\sqrt{17}\)
Analitik düzlemde \(K(1, -2)\) ve \(L(4, 4)\) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(\frac{1}{2}\)
E) \(-\frac{1}{2}\)
Eğimi \(m = 2\) olan ve \(P(1, 3)\) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = 2x + 1\)B) \(y = 2x - 1\)
C) \(y = x + 2\)
D) \(y = -2x + 5\)
E) \(y = x - 2\)
\(d_1: 3x - 2y + 1 = 0\) doğrusu ile \(d_2: (k+1)x - 4y + 7 = 0\) doğrusu birbirine paralel olduğuna göre, \(k\) kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(4, 2)\) ve \(C(1, 5)\) olan \(ABC\) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) \(3\)B) \(4.5\)
C) \(6\)
D) \(7.5\)
E) \(9\)
Analitik düzlemde verilen \(A(2, -3)\) ve \(B(5, 1)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Analitik düzlemde \(A(-1, 4)\) ve \(B(9, -6)\) noktalarını birleştiren \(AB\) doğru parçasını, \(\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3}\) oranında içten bölen \(C\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 2)\)B) \((3, 0)\)
C) \((2, 1)\)
D) \((3, 1)\)
E) \((1, 0)\)
Köşe koordinatları \(A(1, 5)\), \(B(-2, 3)\) ve \(C(7, 1)\) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 3)\)B) \((1, 3)\)
C) \((3, 2)\)
D) \((2, 2)\)
E) \((3, 3)\)
Analitik düzlemde \(A(1, 2)\) ve \(B(3, 8)\) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = 2x + 1\)B) \(y = 3x - 1\)
C) \(y = 3x + 1\)
D) \(y = 2x - 1\)
E) \(y = x + 1\)
Analitik düzlemde \(2x - 3y + 5 = 0\) doğrusuna dik olan ve \(P(4, 1)\) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(3x + 2y - 10 = 0\)B) \(3x + 2y - 14 = 0\)
C) \(2x + 3y - 11 = 0\)
D) \(3x - 2y - 10 = 0\)
E) \(2x - 3y - 5 = 0\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1471-10-sinif-analitik-inceleme-test-coz-5477