✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Parabolde Yeni Nesil Köprü ve Basketbol Soruları Soruları Test Çöz

SORU 1

\(y = x^2 - 2x - 3\) parabolü ile \(y = x + 1\) doğrusunun kesişim noktaları \(A\) ve \(B\) olduğuna göre, \(|AB|\) uzunluğu kaç birimdir?

A) \(3\sqrt{2}\)
B) \(4\sqrt{2}\)
C) \(5\sqrt{2}\)
D) \(6\sqrt{2}\)
E) \(7\sqrt{2}\)
Açıklama:

Parabol ve doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim:

\(x^2 - 2x - 3 = x + 1\)

\(x^2 - 3x - 4 = 0\)

Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:

\((x-4)(x+1) = 0\)

Denklemin kökleri \(x_1 = 4\) ve \(x_2 = -1\) olur.

Bu \(x\) değerlerini doğru denkleminde yerine yazarak karşılık gelen \(y\) değerlerini bulalım:

\(x_1 = 4\) için \(y_1 = 4 + 1 = 5\). Böylece kesişim noktalarından biri \(A(4,5)\) olur.

\(x_2 = -1\) için \(y_2 = -1 + 1 = 0\). Böylece kesişim noktalarından diğeri \(B(-1,0)\) olur.

Şimdi \(A(4,5)\) ve \(B(-1,0)\) noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülü ile bulalım:

\(|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (0 - 5)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{25 + 25}\)

\(|AB| = \sqrt{50}\)

\(|AB| = 5\sqrt{2}\) birimdir.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

📌 Parabolde Yeni Nesil Köprü ve Basket Soruları: Sınav Rehberi

💡 Giriş: Parabolün Günlük Hayattaki Uygulamaları

Sevgili 10. Sınıf öğrencileri, parabol konusu matematikte sadece bir grafik olmanın ötesinde, günlük hayatımızda birçok alanda karşımıza çıkan önemli bir matematiksel yapıdır. Özellikle köprü mimarisi, spor (basketbol) ve uydu antenleri gibi alanlarda parabolik şekillerin kullanımını sıkça görürüz. Bu rehberde, sınavlarınızda karşınıza çıkabilecek yeni nesil köprü ve basket soruları üzerinde duracağız. Unutmayın, bu tür sorular sadece matematik bilginizi değil, aynı zamanda problem çözme ve analitik düşünme becerilerinizi de ölçer.

✅ Parabolün Temel Özellikleri ve Denklemi

🚀 Parabolde Yeni Nesil Köprü Soruları

Köprüler genellikle parabolik kemerlere sahiptir. Bu tür sorularda genellikle köprünün yüksekliği, açıklığı veya belirli bir noktadaki yüksekliği sorulur.

🏀 Parabolde Basket Soruları

Basketbol topunun potaya doğru izlediği yol, yer çekimi etkisiyle parabolik bir yörünge çizer. Bu tür sorularda topun çıktığı maksimum yükseklik, potaya ulaşma anındaki yüksekliği veya belirli bir mesafedeki yüksekliği sorulur.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek Soru 1: Köprü Sorusu

Bir köprünün kemeri parabolik bir yapıya sahiptir. Kemerin ayakları arasındaki yatay uzaklık \(80\) metre, kemerin yerden en yüksek noktası ise \(20\) metredir. Bu köprü kemerinin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Köprünün ayaklarını \(x\) -ekseni üzerinde alalım. Tepe noktasını \(y\) -ekseni üzerinde kabul edersek, simetri nedeniyle kökler \(x_1 = -40\) ve \(x_2 = 40\) olur.
Kemerin en yüksek noktası \(20\) metre olduğu için tepe noktası \(T(0, 20)\) 'dir.
Parabol denklemini \(y = a(x-x_1)(x-x_2)\) formunda yazalım:
\(y = a(x - (-40))(x - 40)\)
\(y = a(x + 40)(x - 40)\)
\(y = a(x^2 - 1600)\)
Tepe noktası \(T(0, 20)\) denklemi sağlamalıdır:
\(20 = a(0^2 - 1600)\)
\(20 = -1600a\)
\(a = -\frac{20}{1600} = -\frac{1}{80}\)
O halde köprü kemerinin denklemi:
\(y = -\frac{1}{80}(x^2 - 1600)\)
\(y = -\frac{1}{80}x^2 + \frac{1600}{80}\)
\(y = -\frac{1}{80}x^2 + 20\)
Denklem \(y = -\frac{1}{80}x^2 + 20\) 'dir.

Örnek Soru 2: Basket Sorusu

Bir basketbolcu topu yerden \(2\) metre yükseklikten potaya doğru atıyor. Topun izlediği parabolik yörüngenin denklemi \(y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{2}x + 2\) olarak veriliyor. Topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?

Çözüm:

Parabol denklemi \(y = ax^2 + bx + c\) formunda verilmiş: \(a = -\frac{1}{10}\), \(b = \frac{3}{2}\), \(c = 2\).
Maksimum yükseklik, parabolün tepe noktasının \(y\) -koordinatıdır (\(k\)).
Önce tepe noktasının \(x\) -koordinatını (\(r\)) bulalım:
\(r = -\frac{b}{2a}\)
\(r = -\frac{\frac{3}{2}}{2 \times (-\frac{1}{10})}\)
\(r = -\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{2}{10}}\)
\(r = -\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{5}}\)
\(r = - (\frac{3}{2} \times -5)\)
\(r = - (-\frac{15}{2})\)
\(r = \frac{15}{2} = 7.5\)
Şimdi \(r\) değerini denklemde yerine koyarak \(k\) (maksimum yükseklik) değerini bulalım:
\(k = f(r) = f(\frac{15}{2})\)
\(k = -\frac{1}{10}(\frac{15}{2})^2 + \frac{3}{2}(\frac{15}{2}) + 2\)
\(k = -\frac{1}{10}(\frac{225}{4}) + \frac{45}{4} + 2\)
\(k = -\frac{225}{40} + \frac{45}{4} + 2\)
\(k = -\frac{45}{8} + \frac{90}{8} + \frac{16}{8}\) (paydaları eşitleyelim)
\(k = \frac{-45 + 90 + 16}{8}\)
\(k = \frac{45 + 16}{8}\)
\(k = \frac{61}{8}\)
\(k = 7.625\)
Topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik \(7.625\) metredir.