📌 Dairede Açılar Konu Anlatımı: 11. Sınıf Matematik
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu ile dairede açılar konusunu baştan sona tekrar edecek, önemli kavramları ve formülleri pekiştireceksiniz. Sınavda karşınıza çıkabilecek soru tiplerine hazırlıklı olmak için her bir açının tanımını ve özelliklerini iyi anlamak kritik öneme sahiptir. Hadi başlayalım! 🚀
1. Merkez Açı
Tanım: Köşesi dairenin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkez açının kolları arasındaki yay, açının ölçüsüne eşittir.
- 💡 Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Eğer bir merkez açı \(m(\angle AOB) = α\) ise, bu açının gördüğü \(\widehat{AB}\) yayının ölçüsü de \(m(\widehat{AB}) = α\) olur.
2. Çevre Açı
Tanım: Köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıya çevre açı denir.
- 💡 Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Eğer bir çevre açı \(m(\angle ACB) = \beta\) ise, bu açının gördüğü \(\widehat{AB}\) yayının ölçüsü \(m(\widehat{AB}) = 2\beta\) olur. Ya da \(m(\angle ACB) = \frac{1}{2} m(\widehat{AB})\).
- ✅ Aynı yayı gören çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
- ✅ Çapı gören çevre açı \(90^{\circ}\)'dir.
- ✅ Bir çevre açının gördüğü yay, o yayı gören merkez açının ölçüsünün iki katıdır. Yani, \(m(\angle ACB) = \frac{1}{2} m(\angle AOB)\).
3. Kiriş Teğet Açı
Tanım: Köşesi çemberin üzerinde olan, bir kenarı çembere teğet, diğer kenarı ise çemberin bir kirişi olan açıya kiriş teğet açı denir.
- 💡 Bir kiriş teğet açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Eğer teğet \(t\) ve kiriş \(AB\) ise, \(m(\angle TAB) = \gamma\) ise, bu açının gördüğü \(\widehat{AB}\) yayının ölçüsü \(m(\widehat{AB}) = 2\gamma\) olur. Ya da \(m(\angle TAB) = \frac{1}{2} m(\widehat{AB})\).
- ✅ Aynı yayı gören çevre açı ile kiriş teğet açının ölçüleri birbirine eşittir.
4. Dış Açı
Tanım: Köşesi çemberin dışında olan açıya dış açı denir. Dış açılar, çemberi kesen iki doğru, bir teğet bir kesen veya iki teğet tarafından oluşturulabilir.
- İki Kesenin Oluşturduğu Dış Açı: Çemberi \(A, B\) ve \(C, D\) noktalarında kesen iki doğrunun dışarıda kesişmesiyle oluşan dış açı \(m(\angle P)\) için:
\(m(\angle P) = \frac{m(\widehat{BD}) - m(\widehat{AC})}{2}\) - Bir Teğet Bir Kesenin Oluşturduğu Dış Açı: Çembere \(T\) noktasında teğet ve çemberi \(A, B\) noktalarında kesen bir doğrunun dışarıda kesişmesiyle oluşan dış açı \(m(\angle P)\) için:
\(m(\angle P) = \frac{m(\widehat{TB}) - m(\widehat{TA})}{2}\) - İki Teğetin Oluşturduğu Dış Açı: Çembere \(T_1\) ve \(T_2\) noktalarında teğet olan iki doğrunun dışarıda kesişmesiyle oluşan dış açı \(m(\angle P)\) için:
\(m(\angle P) = \frac{m(\widehat{T_1MT_2}) - m(\widehat{T_1KT_2})}{2}\) (Burada \(M\) büyük yay, \(K\) küçük yay üzerindeki noktaları temsil eder.)
Veya daha basit olarak, \(m(\angle P) + m(\widehat{T_1KT_2}) = 180^{\circ}\) 'dir.
💡 Önemli Not: Tüm bu açı türlerinde, açının gördüğü yayın hangisi olduğunu doğru tespit etmek soruyu çözmek için anahtardır. Özellikle dış açılarda, büyük yaydan küçük yayı çıkarmayı unutmayın!
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: Merkez ve Çevre Açı İlişkisi
Soru: Yandaki şekilde \(O\) merkezli çemberde \(m(\angle AOB) = 80^{\circ}\) olduğuna göre, \(m(\angle ACB)\) kaç derecedir?
Çözüm:
- \(O\) merkez olduğu için, \(\angle AOB\) bir merkez açıdır. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Dolayısıyla, \(m(\widehat{AB}) = m(\angle AOB) = 80^{\circ}\) 'dir.
- \(\angle ACB\) ise çevre açıdır ve aynı \(\widehat{AB}\) yayını görmektedir.
- Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.
- Bu durumda, \(m(\angle ACB) = \frac{m(\widehat{AB})}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}\) 'dir.
- Cevap: \(m(\angle ACB) = 40^{\circ}\).
Örnek Soru 2: Dış Açı ve Kiriş Teğet Açı
Soru: Yandaki şekilde \(P\) noktasından çembere çizilen teğet \(T\) noktasında, kesen ise çemberi \(A\) ve \(B\) noktalarında kesmektedir. \(m(\widehat{TA}) = 70^{\circ}\) ve \(m(\widehat{TB}) = 170^{\circ}\) olduğuna göre, \(m(\angle APT)\) kaç derecedir?
Çözüm:
- \(\angle APT\) bir dış açıdır ve bir teğet ile bir kesenin oluşturduğu dış açı türündedir.
- Dış açının formülü: \(m(\angle P) = \frac{m(\widehat{TB}) - m(\widehat{TA})}{2}\) 'dir.
- Verilen yay ölçülerini yerine yazalım: \(m(\angle APT) = \frac{170^{\circ} - 70^{\circ}}{2}\).
- \(m(\angle APT) = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}\) 'dir.
- Cevap: \(m(\angle APT) = 50^{\circ}\).
Bu notları dikkatlice tekrar ederek ve bolca soru çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz. Başarılar dileriz! ✅
Bir çemberde \(A\), \(B\) ve \(C\) noktaları çember üzerindedir. \(\overset{\frown}{BC}\) yayının ölçüsü \(110^\circ\) olduğuna göre, \(\angle BAC\) çevre açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(50^\circ\)B) \(55^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(110^\circ\)
E) \(220^\circ\)
Bir çemberde \(A\), \(B\), \(C\) ve \(D\) noktaları çember üzerindedir. \(\angle ADB = 40^\circ\) olduğuna göre, \(\angle ACB\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(20^\circ\)B) \(30^\circ\)
C) \(40^\circ\)
D) \(80^\circ\)
E) \(100^\circ\)
Çapı \(AB\) olan bir çemberde, \(C\) noktası çember üzerindedir. \(\angle CAB = 32^\circ\) olduğuna göre, \(\angle ABC\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(32^\circ\)B) \(48^\circ\)
C) \(58^\circ\)
D) \(64^\circ\)
E) \(90^\circ\)
Köşeleri bir çember üzerinde olan \(ABCD\) kirişler dörtgeninde \(\angle DAB = 115^\circ\) olduğuna göre, \(\angle BCD\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(65^\circ\)B) \(70^\circ\)
C) \(90^\circ\)
D) \(115^\circ\)
E) \(180^\circ\)
Bir çemberde, \(A\) noktasından çizilen teğet \(AT\) doğrusu ve \(AB\) kirişi verilmiştir. \(C\) noktası çember üzerinde olup \(\overset{\frown}{ACB}\) yayının ölçüsü \(260^\circ\) olduğuna göre, \(\angle TAB\) teğet-kiriş açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(50^\circ\)B) \(60^\circ\)
C) \(70^\circ\)
D) \(80^\circ\)
E) \(100^\circ\)
\(O\) merkezli bir çemberde \(A\) ve \(B\) noktaları çember üzerindedir. Eğer merkez açı \(\angle AOB = 70^\circ\) ise, \(AB\) yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(35^\circ\)B) \(70^\circ\)
C) \(105^\circ\)
D) \(140^\circ\)
E) \(290^\circ\)
\(O\) merkezli bir çemberde \(C\) ve \(D\) noktaları çember üzerindedir. Merkez açı \(\angle COD = (3x-10)^\circ\) ve \(CD\) yayının ölçüsü \(m(\overset{\frown}{CD}) = (2x+20)^\circ\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(10\)B) \(20\)
C) \(30\)
D) \(40\)
E) \(50\)
\(O\) merkezli bir çemberde \(E\), \(F\) ve \(G\) noktaları çember üzerindedir. \(\angle EOF = 100^\circ\) ve \(\angle FOG = 120^\circ\) olduğuna göre, küçük \(EG\) yayının ölçüsü \(m(\overset{\frown}{EG})\) kaç derecedir?
A) \(100^\circ\)B) \(120^\circ\)
C) \(140^\circ\)
D) \(160^\circ\)
E) \(260^\circ\)
\(O\) merkezli bir çemberde \(H\) ve \(I\) noktaları çember üzerindedir. \(\angle HOI = 80^\circ\) olduğuna göre, \(\triangle OHI\) üçgeninde \(\angle OHI\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(70^\circ\)
E) \(80^\circ\)
\(O\) merkezli bir çemberde \(K\), \(L\) ve \(M\) noktaları çember üzerindedir. \(KL\) yayının ölçüsü \(m(\overset{\frown}{KL}) = 2k^\circ\), \(LM\) yayının ölçüsü \(m(\overset{\frown}{LM}) = 3k^\circ\) ve \(MK\) yayının ölçüsü \(m(\overset{\frown}{MK}) = 4k^\circ\) olduğuna göre, \(\angle LOK\) merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(60^\circ\)
C) \(80^\circ\)
D) \(100^\circ\)
E) \(120^\circ\)
Şekildeki çemberde \(d\) doğrusu \(A\) noktasında çembere teğettir. \(AB\) bir kiriş ve \(C\) çember üzerinde bir noktadır. \(m(\angle TAB) = 65^{\circ}\) olduğuna göre, \(m(\angle ACB)\) kaç derecedir?
A) \(55^{\circ}\)B) \(60^{\circ}\)
C) \(65^{\circ}\)
D) \(70^{\circ}\)
E) \(75^{\circ}\)
Bir çemberde \(T\) noktasında teğet olan bir doğru ve \(TA\) kirişi verilmiştir. Çemberin merkezi \(O\) noktasıdır. Eğer \(m(\angle ATO) = 20^{\circ}\) ise, \(m(\angle ATD)\) kaç derecedir? (\(D\) noktası teğet doğrusu üzerinde \(T\) 'den \(A\) 'nın karşı tarafındadır.)
A) \(60^{\circ}\)B) \(65^{\circ}\)
C) \(70^{\circ}\)
D) \(75^{\circ}\)
E) \(80^{\circ}\)
Şekildeki çemberde \(d\) doğrusu \(A\) noktasında çembere teğettir. \(AB\) ve \(AC\) kirişlerdir. \(m(\angle TAB) = 70^{\circ}\) ve \(m(\angle BAC) = 50^{\circ}\) olduğuna göre, \(m(\angle CAD)\) kaç derecedir? (\(D\) noktası teğet doğrusu üzerinde \(A\) 'dan \(B\) 'nin karşı tarafındadır.)
A) \(50^{\circ}\)B) \(55^{\circ}\)
C) \(60^{\circ}\)
D) \(65^{\circ}\)
E) \(70^{\circ}\)
Bir çemberde \(T\) noktasında teğet olan bir doğru ve \(TA\), \(TB\) kirişleri verilmiştir. Teğet doğru üzerindeki bir \(D\) noktası için \(m(\angle ATD) = 60^{\circ}\) ve \(m(\angle TAB) = 40^{\circ}\) olduğuna göre, \(m(\angle ATB)\) kaç derecedir?
A) \(10^{\circ}\)B) \(20^{\circ}\)
C) \(30^{\circ}\)
D) \(40^{\circ}\)
E) \(50^{\circ}\)
Bir çemberde \(A\) noktasında teğet olan \(d\) doğrusu ve \(AB\) kirişi verilmiştir. \(C\) çember üzerinde bir noktadır. \(m(\angle TAB) = (3x-15)^{\circ}\) ve \(m(\angle ACB) = (x+25)^{\circ}\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(15\)B) \(20\)
C) \(25\)
D) \(30\)
E) \(35\)
Bir üçgenin iki iç açısı \(50^\circ\) ve \(65^\circ\) 'dir. Bu üçgenin üçüncü köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(105^\circ\)B) \(110^\circ\)
C) \(115^\circ\)
D) \(120^\circ\)
E) \(125^\circ\)
Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri \(x\), \(2x\), \(3x\), \(4x\) ve \(5x\) 'tir. Buna göre, en küçük dış açının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(20^\circ\)B) \(24^\circ\)
C) \(28^\circ\)
D) \(30^\circ\)
E) \(36^\circ\)
Bir düzgün çokgenin bir iç açısı bir dış açısının \(5\) katına eşittir. Bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
A) \(10\)B) \(12\)
C) \(14\)
D) \(16\)
E) \(18\)
Bir \(\triangle ABC\) 'de \(\angle A\) 'nın ölçüsü \((2x+10)^\circ\), \(\angle B\) 'nin ölçüsü \((3x-20)^\circ\) 'dir. \(\angle C\) 'nin dış açısının ölçüsü \((6x-50)^\circ\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(20\)B) \(30\)
C) \(40\)
D) \(50\)
E) \(60\)
Bir \(\triangle ABC\) 'de \(AC\) kenarının uzantısı üzerinde bir \(D\) noktası alınmıştır. \(\angle BAE\), \(A\) köşesindeki dış açı olmak üzere, \(AF\) ışını \(\angle BAE\) 'nin açıortayıdır. Eğer \(AF \parallel BC\) ve \(\angle ABC = 75^\circ\) ise, \(\angle ACB\) kaç derecedir?
A) \(60^\circ\)B) \(70^\circ\)
C) \(75^\circ\)
D) \(80^\circ\)
E) \(85^\circ\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1558-11-sinif-cevre-aci-merkez-aci-kiris-teget-aci-ve-dis-aci-test-coz-8834