📌 10. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları
Sevgili \(10.\) Sınıf öğrencileri, bu çalışma notu, yaklaşan matematik sınavınız için kritik konuları pekiştirmenize yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Her konuyu dikkatlice inceleyerek, önemli noktaları ve çözüm stratejilerini kavramaya özen gösterin. Başarılar dileriz! 🚀
EBOB - EKOK (En Büyük Ortak Bölen - En Küçük Ortak Kat)
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Genellikle parçalama, gruplama veya bölme problemlerinde kullanılır. Örneğin, \(A\) ve \(B\) sayılarının EBOB'u \(EBOB(A, B)\) şeklinde gösterilir.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıdır. Genellikle birleştirme, buluşturma veya periyodik olayların tekrar etme problemlerinde kullanılır. Örneğin, \(A\) ve \(B\) sayılarının EKOK'u \(EKOK(A, B)\) şeklinde gösterilir.
- Önemli Bağıntı: İki pozitif tam sayı için, bu sayıların çarpımı EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir. Yani, \(A \cdot B = EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B)\).
Karesel Fonksiyonlar (Parabol)
Karesel fonksiyonlar, genel olarak \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Burada \(a, b, c\) birer reel sayı ve \(a eq 0\) olmak zorundadır. Grafikleri bir parabol oluşturur.
- Kolları Yönü: Eğer \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı, \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı yönlüdür.
- Tepe Noktası: Parabolün en önemli noktalarından biridir. Koordinatları \(T(r, k)\) olmak üzere, \(r = -\frac{b}{2a}\) ve \(k = f(r)\) veya \(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\) formülü ile bulunur.
- Eksenleri Kestiği Noktalar:
- \(y\) -eksenini kestiği nokta: \(x=0\) için \(y = c\) noktasında keser.
- \(x\) -eksenini kestiği noktalar (Kökler): \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin kökleri \(x_1, x_2\) parabolün \(x\) -eksenini kestiği noktalardır. Diskriminant \((\Delta = b^2 - 4ac)\) durumuna göre:
- \(\Delta > 0\): İki farklı gerçek kök, parabol \(x\) -eksenini iki farklı noktada keser.
- \(\Delta = 0\): Bir gerçek (çift katlı) kök, parabol \(x\) -eksenine teğettir.
- \(\Delta < 0\): Gerçek kök yok, parabol \(x\) -eksenini kesmez.
Bölünebilme Kuralları ve Kalan
Bölme işlemi \(A = B \cdot Q + K\) şeklinde ifade edilir. Burada \(A\) bölünen, \(B\) bölen, \(Q\) bölüm ve \(K\) kalandır. Önemli kural \(0 \le K < B\) 'dir.
- \(2\) ile Bölünebilme: Sayının son rakamı çift (\(,0, 2, 4, 6, 8\)) olmalıdır.
- \(3\) ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı \(3\) 'ün katı olmalıdır.
- \(4\) ile Bölünebilme: Sayının son iki basamağı \(00\) veya \(4\) 'ün katı olmalıdır.
- \(5\) ile Bölünebilme: Sayının son rakamı \(0\) veya \(5\) olmalıdır.
- \(6\) ile Bölünebilme: Sayı hem \(2\) hem de \(3\) ile bölünebilmelidir.
- \(9\) ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı \(9\) 'un katı olmalıdır.
- \(10\) ile Bölünebilme: Sayının son rakamı \(0\) olmalıdır.
💡 Modüler Aritmetik: Kalanlarla işlem yaparken modüler aritmetik oldukça kullanışlıdır. Örneğin, \(a \equiv b \pmod{m}\) ifadesi, \(a\) 'nın \(m\) 'ye bölümünden kalanın \(b\) olduğunu gösterir.
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkileri belirleyen temel teoremlerdir.
- Sinüs Teoremi: Bir üçgende her kenarın uzunluğunun, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran üçgenin çevrel çemberinin çapına (\(2R\)) eşittir.
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)
- Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
Koşullu Olasılık
Bir olayın gerçekleşme olasılığının, başka bir olayın zaten gerçekleştiği bilgisi altında hesaplanmasıdır. \(P(A|B)\) şeklinde gösterilir ve " \(B\) olayı gerçekleşmişken \(A\) olayının gerçekleşme olasılığı" olarak okunur.
Formülü: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
- Burada \(P(A \cap B)\), \(A\) ve \(B\) olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığıdır.
- \(P(B)\), \(B\) olayının gerçekleşme olasılığıdır (\(P(B) eq 0\) olmalıdır).
Sayma Stratejileri
Farklı durumların veya seçeneklerin sayısını belirlemek için kullanılan yöntemlerdir.
- Toplama Yoluyla Sayma: Ayrık olaylar için kullanılır. Bir olayın \(n\) farklı şekilde, başka bir olayın \(m\) farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, bu olaylardan birinin veya diğerinin gerçekleşme sayısı \(n+m\) 'dir.
- Çarpma Yoluyla Sayma: Ardışık veya bağımlı olaylar için kullanılır. Bir olay \(n\) farklı şekilde, bu olayı takip eden ikinci bir olay \(m\) farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, bu iki olayın birlikte gerçekleşme sayısı \(n \cdot m\) 'dir.
- Permütasyon (Sıralama): \(n\) farklı nesnenin \(r\) tanesinin sıralanış sayısıdır. Sıra önemlidir. \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)
- Kombinasyon (Seçme): \(n\) farklı nesnenin \(r\) tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğidir. Sıra önemli değildir. \(C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
Fonksiyon Nitel Özellikleri
Fonksiyonların grafiklerinden veya kurallarından anlaşılan temel davranışlarıdır.
- Tanım Kümesi: Fonksiyonun girdi olarak alabileceği tüm \(x\) değerlerinin kümesidir.
- Görüntü Kümesi: Tanım kümesindeki her bir \(x\) değeri için fonksiyonun ürettiği \(f(x)\) değerlerinin kümesidir.
- Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntü kümesinde farklı bir görüntüsü varsa. (\(x_1 eq x_2 \implies f(x_1) eq f(x_2)\))
- Örten Fonksiyon: Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşitse. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa.
- İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyondur. Değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa.
- Artan Fonksiyon: Tanım aralığında \(x\) değerleri arttıkça \(f(x)\) değerleri de artıyorsa. (\(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\))
- Azalan Fonksiyon: Tanım aralığında \(x\) değerleri arttıkça \(f(x)\) değerleri azalıyorsa. (\(x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\))
- Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit değere eşleyen fonksiyon. (\(f(x) = c\))
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: EBOB - EKOK
Soru: Boyutları \(24\) cm ve \(36\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az kaç fidana ihtiyaç vardır?
Çözüm:
Fidan sayısının en az olması için fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu da \(24\) ve \(36\) sayılarının EBOB'unu bulmayı gerektirir.
- \(24 = 2^3 \cdot 3\)
- \(36 = 2^2 \cdot 3^2\)
\(EBOB(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\).
Yani fidanlar arası mesafe \(12\) cm olmalıdır.
Tarlanın çevresi \(= 2 \cdot (uzunluk + genişlik) = 2 \cdot (24 + 36) = 2 \cdot 60 = 120\) cm.
İhtiyaç duyulan fidan sayısı \(= \frac{Çevre}{EBOB} = \frac{120}{12} = 10\).
Cevap: \(10\) fidan.
Örnek Soru 2: Karesel Fonksiyonlar
Soru: \(f(x) = x^2 - 4x + k\) parabolünün tepe noktası \(x\) -ekseni üzerinde olduğuna göre, \(k\) değeri kaçtır?
Çözüm:
Bir parabolün tepe noktası \(x\) -ekseni üzerinde ise, bu parabol \(x\) -eksenine teğettir. Bu durum, parabolün denkleminin tek (çift katlı) bir köke sahip olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla diskriminant \((\Delta)\) sıfıra eşit olmalıdır.
Verilen fonksiyon \(f(x) = x^2 - 4x + k\).
Burada \(a=1\), \(b=-4\), \(c=k\).
Diskriminant formülü: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
\(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (k)\)
\(\Delta = 16 - 4k\)
Tepe noktası \(x\) -ekseni üzerinde olduğu için \(\Delta = 0\) olmalıdır.
\(16 - 4k = 0\)
\(16 = 4k\)
\(k = \frac{16}{4}\)
\(k = 4\)
Cevap: \(k = 4\).
İki doğal sayının EBOB'u \(15\), EKOK'u \(300\) 'dür. Bu sayılardan biri \(60\) olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
A) \(45\)B) \(75\)
C) \(90\)
D) \(105\)
E) \(120\)
Bir marangoz, boyutları \(90\) cm ve \(120\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir ahşap levhayı, hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte en az sayıda kare parçalara ayırmak istiyor. Buna göre, bir kare parçanın bir kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır?
A) \(15\)B) \(20\)
C) \(30\)
D) \(45\)
E) \(60\)
Bir duraktan kalkan iki otobüsten biri \(45\) dakikada bir, diğeri \(60\) dakikada bir sefere çıkmaktadır. Bu iki otobüs ilk kez saat \(08:30\) 'da birlikte sefere çıktıklarına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte sefere çıkarlar?
A) \(10:00\)B) \(10:30\)
C) \(11:00\)
D) \(11:30\)
E) \(12:00\)
\(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 2)\)B) \((2, 1)\)
C) \((-2, -15)\)
D) \((2, 0)\)
E) \((-1, -8)\)
\(x\) -eksenini \(x = -1\) ve \(x = 3\) noktalarında kesen ve \((0, 6)\) noktasından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = -2x^2 + 4x + 6\)B) \(y = 2x^2 - 4x - 6\)
C) \(y = -2x^2 - 4x + 6\)
D) \(y = 2x^2 + 4x + 6\)
E) \(y = -2x^2 + 2x + 6\)
Çevresi \(20\) birim olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
A) \(16\)B) \(20\)
C) \(25\)
D) \(30\)
E) \(36\)
Dört basamaklı \(5A2B\) sayısı \(12\) 'ye tam bölünebilmektedir. Buna göre, \(A+B\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \(13\)B) \(14\)
C) \(15\)
D) \(16\)
E) \(17\)
Bir \(k\) doğal sayısı \(6\) ile bölündüğünde \(4\) kalanını, \(8\) ile bölündüğünde \(6\) kalanını vermektedir. Buna göre, \(k\) sayısının \(24\) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) \(16\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(22\)
E) \(23\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(m(\widehat{BAC}) = 45^\circ\), \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\) ve \(|BC| = 6\sqrt{2}\) birimdir. Buna göre, \(|AC|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(6\sqrt{2}\)B) \(6\sqrt{3}\)
C) \(8\)
D) \(12\)
E) \(12\sqrt{2}\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = 5\) birim, \(|AC| = 8\) birim ve \(m(\widehat{BAC}) = 60^\circ\) olduğuna göre, \(|BC|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
İki basamaklı doğal sayılar arasından rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının \(3\) 'e tam bölünebildiği bilindiğine göre, bu sayının aynı zamanda \(5\) 'e tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{1}{3}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{1}{5}\)
E) \(\frac{1}{6}\)
Bir sınıftaki öğrencilerin % \(60\) 'ı erkektir. Erkek öğrencilerin % \(50\) 'si matematik dersinden başarılı olmuştur. Kız öğrencilerin % \(50\) 'si de matematik dersinden başarılı olmuştur. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{3}{5}\)
D) \(\frac{3}{4}\)
E) \(\frac{4}{5}\)
\(5\) farklı kitap bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir, eğer belirli \(2\) kitap daima yan yana olmak zorundaysa?
A) \(24\)B) \(36\)
C) \(48\)
D) \(60\)
E) \(120\)
Bir sınıfta \(6\) erkek ve \(4\) kız öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan \(3\) erkek ve \(2\) kız öğrenciden oluşan \(5\) kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) \(90\)B) \(100\)
C) \(110\)
D) \(120\)
E) \(130\)
Tanım kümesi \(A = [-3, 3]\) ve değer kümesi \(B = [-2, 2]\) olan bir \(f: A \to B\) fonksiyonunun grafiği, koordinat düzleminde \((-3, 2)\), \((0, -2)\) ve \((3, 2)\) noktalarından geçmektedir. Fonksiyonun grafiği \(x \in [-3, 0]\) aralığında azalan ve \(x \in [0, 3]\) aralığında artan bir eğri biçimindedir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) \(f\) fonksiyonu birebirdir.B) \(f\) fonksiyonu artandır.
C) \(f\) fonksiyonu azalandır.
D) \(f\) fonksiyonu örtendir.
E) \(f\) fonksiyonu çift fonksiyondur.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1567-10-sinif-ebob-ve-ekok-karesel-fonksiyonlar-bolunebilme-ve-kalan-sinus-ve-kosinus-teoremleri-kosullu-olasilik-sayma-stratejileri-ve-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-test-coz-8811