📌 9. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları 🚀
Sevgili 9. Sınıf öğrencileri, bu çalışma notları sınavlarınıza hazırlanırken size yol göstermesi için hazırlandı. Konuları tekrar ederken ve soru çözerken bu notlardan faydalanmayı unutmayın! Başarılar dileriz! 💡
📝 Köklü Sayılar
💡 Köklü Sayıların Tanımı ve Özellikleri
- Bir \(a\) sayısının \(n\). kuvveti \(x\) ise (\(x^n = a\)), \(x\) sayısına \(a\) 'nın \(n\). dereceden kökü denir ve \(x = \sqrt[n]{a}\) şeklinde gösterilir. Eğer \(n\) çift ise \(a \ge 0\) olmalıdır.
- Kök Dışına Çıkarma: \(\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}\). Eğer \(a \ge 0\) ise \(a\sqrt{b}\).
- Kök İçine Alma: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\) (eğer \(a \ge 0\)).
- Toplama ve Çıkarma: Sadece kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Örneğin, \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).
- Çarpma ve Bölme: Kök dereceleri aynı ise kök içleri çarpılır veya bölünür. \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\) ve \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\).
- Eşlenik Kavramı: Paydayı kökten kurtarmak için kullanılır. \(\sqrt{a}\) 'nın eşleniği \(\sqrt{a}\) 'dır. \((a - \sqrt{b})\) 'nin eşleniği \((a + \sqrt{b})\) 'dir. \((\sqrt{a} - \sqrt{b})\) 'nin eşleniği \((\sqrt{a} + \sqrt{b})\) 'dir. Örnek: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
📊 Fonksiyonlar
💡 Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi
- Bir \(A\) kümesinin her elemanını, bir \(B\) kümesinin yalnızca bir elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. \(f: A \to B\) şeklinde gösterilir.
- Tanım Kümesi: Fonksiyonun başlangıç kümesidir (\(A\)).
- Değer Kümesi: Fonksiyonun hedef kümesidir (\(B\)).
- Görüntü Kümesi: Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümedir (\(f(A)\)). Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir (\(f(A) \subseteq B\)).
- Fonksiyon Olma Şartları:
- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
- Tanım kümesindeki her elemanın sadece bir görüntüsü olmalıdır.
✅ Unutma: Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için dikey doğru testi (grafiklerde) kullanılabilir. Dikey doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon değildir.
📐 Üçgenlerde Temel Kavramlar
📏 Üçgende Kenar Eşitsizliği
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçüktür.
Bir \(ABC\) üçgeninde kenar uzunlukları \(a, b, c\) ise:
- \(|b - c| < a < b + c\)
- \(|a - c| < b < a + c\)
- \(|a - b| < c < a + b\)
💡 İpucu: Bu eşitsizlik, bir üçgenin çizilebilme şartıdır. Verilen üç kenar uzunluğu bu kuralı sağlamıyorsa, o üçgen çizilemez.
📐 Pisagor Teoremi
Sadece dik üçgenlerde geçerlidir. Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
Dik kenarları \(a\) ve \(b\), hipotenüsü \(c\) olan bir dik üçgende:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Özel Dik Üçgenler: \((3k, 4k, 5k)\), \((5k, 12k, 13k)\), \((8k, 15k, 17k)\), \((7k, 24k, 25k)\).
📐 Öklid Bağıntıları
Sadece dik üçgenlerde, dik açıdan hipotenüse dik indirildiğinde kullanılır.
Bir \(ABC\) dik üçgeninde \(A\) köşesinden \(BC\) kenarına \(h_a\) yüksekliği indirildiğinde, \(BC\) kenarını \(p\) ve \(k\) uzunluklarında iki parçaya ayırır.
| Bağıntı Adı | Formül | Açıklama |
|---|---|---|
| Yükseklik Bağıntısı | \(h_a^2 = p \cdot k\) | Yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. |
| Dik Kenar Bağıntısı | \(c^2 = p \cdot (p+k)\) veya \(c^2 = p \cdot a\) | Dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parçanın tamamına çarpımına eşittir. |
| Dik Kenar Bağıntısı | \(b^2 = k \cdot (p+k)\) veya \(b^2 = k \cdot a\) | Diğer dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parçanın tamamına çarpımına eşittir. |
| Alan Bağıntısı | \(b \cdot c = a \cdot h_a\) | Dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşittir. |
📐 Tales Teoremi
Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesenle kesildiğinde, paralel doğrular üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır.
Eğer \(d_1 // d_2 // d_3\) ve bu doğruları kesen \(k_1, k_2\) doğruları varsa, kesenler üzerinde oluşan parçalar arasında oranlar kurulabilir.
- Temel Tales Teoremi: Eğer \(d_1, d_2, d_3\) paralel ise ve \(k_1\) ile \(k_2\) bu doğruları kesiyorsa, \(k_1\) üzerindeki \(AB\) ve \(BC\) parçaları ile \(k_2\) üzerindeki \(DE\) ve \(EF\) parçaları arasında \(\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|}\) oranı vardır.
- Temel Benzerlik Teoremi (Thales'in 2. Teoremi): Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur. Bu durumda kenarlar arasında oranlar oluşur. Örn: \(DE // BC\) ise \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) ve \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}\).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Köklü Sayılar
Soru: \(\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{75} - \sqrt{3}}\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle kök içlerini en sade hallerine getirelim:
- \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
Şimdi bu değerleri işlemde yerine yazalım:
\(\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - \sqrt{3}} = \frac{(2+3)\sqrt{3}}{(5-1)\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\)
Pay ve paydadaki \(\sqrt{3}\) 'ler sadeleşir:
\(\frac{5\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{5}{4}\)
Cevap: \(\frac{5}{4}\)
Örnek 2: Üçgende Kenar Eşitsizliği ve Pisagor
Soru: Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = c = 6\) cm, \(|AC| = b = 8\) cm ve \(|BC| = a\) cm'dir. Eğer \(ABC\) üçgeni bir dik üçgen ise ve \(A\) açısı \(90^{\circ}\) ise, \(a\) kaç cm'dir? Ayrıca, \(a\) değerinin olabileceği tam sayı aralığını (üçgen eşitsizliğine göre) bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle, \(A\) açısı \(90^{\circ}\) olan bir dik üçgen olduğu için Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz. Dik kenarlar \(AB\) ve \(AC\), hipotenüs ise \(BC\) 'dir.
- \(c^2 + b^2 = a^2\)
- \(6^2 + 8^2 = a^2\)
- \(36 + 64 = a^2\)
- \(100 = a^2\)
- \(a = \sqrt{100} = 10\) cm (Uzunluk negatif olamaz.)
Şimdi üçgen eşitsizliğine göre \(a\) değerinin olabileceği aralığı bulalım:
- \(|b - c| < a < b + c\)
- \(|8 - 6| < a < 8 + 6\)
- \(2 < a < 14\)
Yani \(a\) değeri \(2\) cm'den büyük ve \(14\) cm'den küçük olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar \(3, 4, ..., 13\) 'tür.
Cevap: Dik üçgen olduğunda \(a = 10\) cm'dir. Üçgen eşitsizliğine göre \(a\) değerinin olabileceği tam sayı aralığı \((2, 14)\) yani \(\{3, 4, ..., 13\}\) 'tür.
İşleminin sonucu kaçtır? \(\sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{12}\)
A) \(5\sqrt{3}\)B) \(6\sqrt{3}\)
C) \(7\sqrt{3}\)
D) \(8\sqrt{3}\)
E) \(9\sqrt{3}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \((\sqrt{7} - \sqrt{3}) \times (\sqrt{7} + \sqrt{3})\)
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
İfadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? \(\frac{12}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\)
A) \(3(\sqrt{6} + \sqrt{2})\)B) \(3\sqrt{6} + \sqrt{2}\)
C) \(3\sqrt{6} - \sqrt{2}\)
D) \(6(\sqrt{6} + \sqrt{2})\)
E) \(6\sqrt{6} - \sqrt{2}\)
\(a = \sqrt{5}\), \(b = \sqrt[3]{12}\), \(c = \sqrt[4]{50}\) sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(c < a < b\)
E) \(c < b < a\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\frac{\sqrt{72} + \sqrt{50}}{\sqrt{18}}\)
A) \(\frac{11}{3}\)B) \(\frac{10}{3}\)
C) \(3\)
D) \(\frac{8}{3}\)
E) \(\frac{7}{3}\)
\(A = \{1, 2, 3\}\) ve \(B = \{a, b, c, d\}\) kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi \(A\) 'dan \(B\) 'ye bir fonksiyondur?
A) \(f = \{(1, a), (2, b)\}\)B) \(f = \{(1, a), (1, b), (2, c), (3, d)\}\)
C) \(f = \{(1, a), (2, c), (3, c)\}\)
D) \(f = \{(1, d), (2, e), (3, a)\}\)
E) \(f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (3, d)\}\)
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 5\) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \(f(2) + f(-1)\) değeri kaçtır?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(-1\)
D) \(-2\)
E) \(-3\)
\(f(x+2) = 4x + 1\) olarak tanımlanan bir \(f\) fonksiyonu için \(f(1)\) değeri kaçtır?
A) \(-3\)B) \(-2\)
C) \(-1\)
D) \(1\)
E) \(5\)
\(A = \{0, 1, 2\}\) kümesinden \(B = \mathbb{N}\) (doğal sayılar kümesi) kümesine tanımlı bir \(f(x) = x^2 + 1\) fonksiyonu için görüntü kümesi \(f(A)\) nedir?
A) \(\{1, 2, 5\}\)B) \(\{0, 1, 2\}\)
C) \(\{1, 4, 9\}\)
D) \(\{0, 1, 5\}\)
E) \(\{0, 2, 5\}\)
\(f(x) = (a-2)x^2 + (b+1)x + c-3\) fonksiyonu bir birim fonksiyon ise \(a+b+c\) toplamı kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(5\) cm ve \(12\) cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenar uzunluğu \(x\) cm olduğuna göre, \(x\) 'in alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(5 < x < 12\)B) \(7 < x < 17\)
C) \(0 < x < 17\)
D) \(7 \le x \le 17\)
E) \(5 \le x \le 12\)
Kenar uzunlukları \(6\) cm ve \(10\) cm olan bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, bu kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(11\)
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(7\) cm, \(11\) cm ve \((2x-3)\) cm'dir. Buna göre, \(x\) 'in alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
A) \(21\)B) \(24\)
C) \(28\)
D) \(30\)
E) \(33\)
Yandaki \(ABCD\) dörtgeninde \(AB = 6\) cm, \(BC = 8\) cm, \(CD = 7\) cm ve \(DA = 12\) cm'dir. Buna göre, \(AC\) köşegeninin uzunluğu olan \(x\) 'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) \(42\)B) \(45\)
C) \(48\)
D) \(50\)
E) \(54\)
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(8\) cm ve \(15\) cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı olup, üçgenin çevresi \(40\) cm'den küçüktür. Buna göre, üçüncü kenarın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \(14\)B) \(15\)
C) \(16\)
D) \(17\)
E) \(18\)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \(6\) cm ve \(8\) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(9\)B) \(10\)
C) \(11\)
D) \(12\)
E) \(14\)
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü \(2\) cm ve \(8\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır. Bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(DE // BC\) olmak üzere, \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde, \(E\) noktası ise \(AC\) kenarı üzerindedir. \(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) kaç cm'dir?
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \(6\) cm'dir. Bu yükseklik hipotenüsü \(x\) ve \(9\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre, \(x\) kaç cm'dir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Üç paralel doğru, birer kesen tarafından kesilmiştir. Birinci kesen üzerinde doğrular arasında oluşan parçaların uzunlukları \(5\) cm ve \(10\) cm'dir. İkinci kesen üzerinde aynı doğrular arasında oluşan parçalardan ilkinin uzunluğu \(7\) cm ise, ikincisinin uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(12\)B) \(13\)
C) \(14\)
D) \(15\)
E) \(16\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1574-9-sinif-koklu-sayilar-fonksiyonlar-ucgende-kenar-esitsizligi-pisagor-oklid-ve-tales-test-coz-e9td