📌 9. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları 🚀
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu 9. Sınıf Matematik dersinde karşılaşacağınız önemli konuları tekrar etmenize yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Sınavda başarılar dileriz!
1. Üslü Sayılar
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterimidir. Bir \(a\) sayısının \(n\) defa kendisiyle çarpımı \(a^n\) şeklinde ifade edilir.
- Tanım: \(a^n = a \times a \times a \times ... \times a\) (\(n\) tane \(a\) 'nın çarpımı)
- Özellikler:
- Herhangi bir sayının \(1\). kuvveti kendisine eşittir: \(a^1 = a\)
- Sıfır hariç her sayının \(0\). kuvveti \(1\) 'dir: \(a^0 = 1\) (\(a \ eq 0\))
- Negatif üs, sayıyı ters çevirir: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
- Üslü Sayılarda Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Üsler aynı ise tabanlar çarpılır: \(a^m \times b^m = (a \times b)^m\).
- Üslü Sayılarda Bölme: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Üsler aynı ise tabanlar bölünür: \(\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m\).
- Üssün Üssü: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
- Örnek: \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\). Veya \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).
2. Üçgende Açılar
Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) ve dış açıları toplamı \(360^\circ\) 'dir.
- İç Açılar Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı \(180^\circ\) 'dir. Yani \(\text{m}(\hat{A}) + \text{m}(\hat{B}) + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ\).
- Dış Açılar Toplamı: Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı \(360^\circ\) 'dir.
- Bir Dış Açı: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Örneğin, \(C\) köşesindeki dış açı \(\text{m}(\hat{A}) + \text{m}(\hat{B})\) 'ye eşittir.
- İkizkenar Üçgen: İki kenarı eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
- Eşkenar Üçgen: Tüm kenarları eşit olan üçgendir. Tüm iç açıları \(60^\circ\) 'dir.
💡 Üçgenlerde açılarla ilgili problemlerde genellikle verilen bilgileri şekil üzerine doğru bir şekilde yerleştirmek ve bilinmeyen açılara değişken (\(x, y\) gibi) atamak çözüm için ilk adımdır.
3. Üçgende Benzerlik
İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir.
- Benzerlik Sembolü: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) şeklinde gösterilir.
- Benzerlik Oranı (k): Karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir. \(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|CA|}{|FD|} = k\).
- Benzerlik Teoremleri:
- Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise üçüncü açıları da eşit olacağından üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları orantılı ise üçgenler benzerdir.
- Thales Teoremi (Temel Orantı Teoremi): Bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu doğru parçası üçgenin kenarlarını orantılı parçalara ayırır. Örneğin, \(\triangle ABC\) 'de \(DE \parallel BC\) ise \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}\) olur.
4. Karekök
Karesi verilen sayıya eşit olan pozitif sayıya karekök denir. Karekök sembolü \(\sqrt{ }\) ile gösterilir.
- Tanım: \(x^2 = a\) ise \(x = \sqrt{a}\) veya \(x = -\sqrt{a}\) 'dır. Burada \(\sqrt{a}\) pozitif karekökü ifade eder. Örneğin, \(\sqrt{25} = 5\) çünkü \(5^2 = 25\).
- Özellikler:
- Karekök içindeki ifade negatif olamaz: \(\sqrt{a}\), \(a \ge 0\) olmalıdır.
- Çarpma: \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\) (\(a, b \ge 0\))
- Bölme: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (\(a \ge 0, b > 0\))
- Kök dışına çıkarma: \(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\) (\(a \ge 0\))
- Toplama/Çıkarma: Kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir: \(a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}\).
- Paydayı Rasyonel Yapma: Paydada köklü ifade varsa, genellikle eşleniği ile çarpılarak payda rasyonel yapılır. Örneğin, \(\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\).
- Örnek: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\). Veya \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Üslü Sayı ve Karekök
Soru: İşleminin sonucunu bulunuz: \((\frac{1}{2})^{-3} + \sqrt{75} - 2\sqrt{3}\)
Çözüm:
- Önce \((\frac{1}{2})^{-3}\) ifadesini hesaplayalım. Negatif üs, tabanı ters çevirir: \((\frac{1}{2})^{-3} = (2^1)^3 = 2^3 = 8\)
- Şimdi \(\sqrt{75}\) ifadesini sadeleştirelim. \(75 = 25 \times 3\): \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
- Şimdi tüm ifadeyi bir araya getirelim: \(8 + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\)
- Benzer köklü ifadeleri toplayıp çıkaralım: \(8 + (5-2)\sqrt{3} = 8 + 3\sqrt{3}\)
Cevap: \(8 + 3\sqrt{3}\)
Örnek 2: Üçgende Açılar ve Benzerlik
Soru: Yan tarafta verilen \(\triangle ABC\) 'de \(\text{m}(\hat{A}) = 90^\circ\), \(\text{m}(\hat{B}) = 50^\circ\) 'dir. \(BC\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası alınıyor ve \(AD\) doğru parçası çiziliyor. Eğer \(\triangle ABD\) ikizkenar üçgen ise (\(|AB| = |AD|\)), \(\text{m}(\hat{DAC})\) kaç derecedir?
Çözüm:
- Öncelikle \(\triangle ABC\) 'nin üçüncü açısını, \(\text{m}(\hat{C})\) 'yi bulalım: \(\text{m}(\hat{A}) + \text{m}(\hat{B}) + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ\) \(90^\circ + 50^\circ + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ\) \(140^\circ + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ\) \(\text{m}(\hat{C}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\)
- Şimdi \(\triangle ABD\) ikizkenar üçgen olduğu için \(|AB| = |AD|\), bu durumda bu kenarların karşısındaki açılar eşit olmalıdır: \(\text{m}(\hat{ADB}) = \text{m}(\hat{B}) = 50^\circ\)
- \(\triangle ABD\) 'nin iç açıları toplamından \(\text{m}(\hat{BAD})\) 'yi bulalım: \(\text{m}(\hat{BAD}) + \text{m}(\hat{B}) + \text{m}(\hat{ADB}) = 180^\circ\) \(\text{m}(\hat{BAD}) + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ\) \(\text{m}(\hat{BAD}) + 100^\circ = 180^\circ\) \(\text{m}(\hat{BAD}) = 80^\circ\)
- Bize sorulan \(\text{m}(\hat{DAC})\) açısıdır. \(\text{m}(\hat{A})\) açısı, \(\text{m}(\hat{BAD})\) ve \(\text{m}(\hat{DAC})\) açılarının toplamıdır: \(\text{m}(\hat{A}) = \text{m}(\hat{BAD}) + \text{m}(\hat{DAC})\) \(90^\circ = 80^\circ + \text{m}(\hat{DAC})\) \(\text{m}(\hat{DAC}) = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ\)
Cevap: \(10^\circ\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(3^2 + (-2)^3\).
A) \(1\)B) \(-1\)
C) \(17\)
D) \(-17\)
E) \(0\)
Aşağıdaki üslü ifadeyi en sade şekilde yazınız: \(2^5 \times 2^{-3} \times 2^4\).
A) \(2^6\)B) \(2^4\)
C) \(2^8\)
D) \(2^2\)
E) \(2^{12}\)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + 2^{-1}\).
A) \(9.5\)B) \(9\)
C) \(8.5\)
D) \(8\)
E) \(10\)
Eğer \(x = 3^4\) ve \(y = (3^2)^3\) ise, \(\frac{y}{x}\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(3^2\)B) \(3^{-2}\)
C) \(3^6\)
D) \(3^4\)
E) \(3^{-1}\)
Eğer \(5^{2x-1} = 125\) ise, \(x\) değeri kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{ABC}) = 50^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{ACB})\) kaç derecedir?
A) \(50^\circ\)B) \(60^\circ\)
C) \(70^\circ\)
D) \(80^\circ\)
E) \(90^\circ\)
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(AB\) kenarı \(D\) noktasına kadar uzatılmıştır. Eğer \(m(\widehat{BAC}) = 65^\circ\) ve \(m(\widehat{CBD}) = 120^\circ\) ise, \(m(\widehat{BCA})\) kaç derecedir?
A) \(45^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(55^\circ\)
D) \(60^\circ\)
E) \(65^\circ\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = |AC|\) ve \(m(\widehat{BAC}) = 80^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{ABC})\) kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(70^\circ\)
E) \(80^\circ\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(B\) ve \(C\) açılarının iç açıortayları \(D\) noktasında kesişmektedir. Eğer \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\) ise, \(m(\widehat{BDC})\) kaç derecedir?
A) \(110^\circ\)B) \(115^\circ\)
C) \(120^\circ\)
D) \(125^\circ\)
E) \(130^\circ\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(D\) noktası \(BC\) kenarı üzerindedir. \(|AD| = |DC|\) ve \(m(\widehat{ADC}) = 110^\circ\) dir. Eğer \(m(\widehat{BAD}) = 20^\circ\) ise, \(m(\widehat{ABC})\) kaç derecedir?
A) \(70^\circ\)B) \(80^\circ\)
C) \(90^\circ\)
D) \(100^\circ\)
E) \(110^\circ\)
Şekilde \(DE \parallel BC\) ve \(AD = 3 \text{ cm}\), \(DB = 2 \text{ cm}\), \(DE = 4 \text{ cm}\) olarak verilmiştir. Buna göre \(BC\) uzunluğu kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(\frac{20}{3}\)
D) \(7\)
E) \(8\)
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle EDC\) üçgenlerinde \(\angle C\) ortak açı ve \(\angle BAC = \angle EDC\) olarak verilmiştir. \(AC = 8 \text{ cm}\), \(BC = 10 \text{ cm}\) ve \(DC = 4 \text{ cm}\) olduğuna göre, \(EC\) uzunluğu kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(3\)B) \(3.2\)
C) \(3.5\)
D) \(4\)
E) \(4.2\)
Şekilde \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\) olmak üzere, bu üç paralel doğru iki kesenle kesilmiştir. Kesenlerin paralel doğrular arasında oluşturduğu parçaların uzunlukları \(AB = 4 \text{ cm}\), \(BC = 6 \text{ cm}\), \(DE = (x+1) \text{ cm}\) ve \(EF = 2x \text{ cm}\) olarak verilmiştir. Buna göre \(x\) kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(DE \parallel BC\) ve \(D \in AB\), \(E \in AC\) 'dir. \(\text{Alan}(\triangle ADE) = 16 \text{ cm}^2\) ve \(\text{Alan}(DECB \text{ yamuğu}) = 9 \text{ cm}^2\) olduğuna göre, \(\frac{AD}{DB}\) oranı kaçtır?
A) \(\frac{1}{4}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(1\)
D) \(2\)
E) \(4\)
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle EDC\) üçgenlerinde \(\angle C\) ortak açıdır. \(AC = 10 \text{ cm}\), \(BC = 12 \text{ cm}\), \(CD = 6 \text{ cm}\) ve \(CE = 5 \text{ cm}\) olarak verilmiştir. Eğer \(AB = 14 \text{ cm}\) ise, \(DE\) uzunluğu kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
\(\sqrt{128}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(6\sqrt{2}\)B) \(8\sqrt{2}\)
C) \(10\sqrt{2}\)
D) \(12\sqrt{2}\)
E) \(16\sqrt{2}\)
\(\sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{75}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(2\sqrt{3}\)B) \(3\sqrt{3}\)
C) \(4\sqrt{3}\)
D) \(5\sqrt{3}\)
E) \(6\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} \times \sqrt{9}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(3\)B) \(6\)
C) \(9\)
D) \(12\)
E) \(18\)
\(\frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{10}{\sqrt{5}}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\)B) \(2\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\)
C) \(3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}\)
D) \(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\)
E) \(\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\)
\(a = 2\sqrt{3}\), \(b = 3\sqrt{2}\) ve \(c = \sqrt{10}\) olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(c < a < b\)
E) \(c < b < a\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1649-9-sinif-uslu-sayilar-ucgende-acilar-ucgende-benzerlik-ve-karekok-test-coz-emnr