✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

12. Sınıf Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Test Çöz

SORU 1

`a`, `b` ve `c` birer gerçel sayıdır. $ $ x = (\frac{3}{5})^a $  $ y = (\frac{3}{5})^b $  $ z = (\frac{3}{5})^c $ $ olmak üzere, `x < y < z` eşitsizliği veriliyor. Buna göre `a`, `b` ve `c` sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) a < b < c
B) c < b < a
C) b < c < a
D) a < c < b
E) c < a < b

Açıklama:
`f(t) $=$ ($\frac{3}{5}$)^t` üstel fonksiyonu, tabanı olan ` $\frac{3}{5}$ ` sayısı `0` ile `1` arasında olduğu için azalan bir fonksiyondur. Bu durumda, fonksiyon değerleri arasındaki sıralamanın tersi, üsler arasındaki sıralama için geçerlidir. `x < y < z` verildiğine göre, `($\frac{3}{5}$)^a < ($\frac{3}{5}$)^b < ($\frac{3}{5}$)^c` olur. Fonksiyon azalan olduğundan, bu eşitsizlik `a > b > c` anlamına gelir. Bu da `c < b < a` şeklinde ifade edilebilir.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Soru Listesi 0/18

Cevaplanmış

Boş

🔄 Sınavı Sıfırla

Üstel Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonlar, $a > 0$ ve $a
eq 1$ olmak üzere, $f(x) = a^x$ şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların tanım kümesi tüm gerçel sayılar ($\mathbb{R}$), değer kümesi ise pozitif gerçel sayılardır ($\mathbb{R}^+$).

👉 Özellikleri: Eğer $a > 1$ ise fonksiyon artan, $0 < a < 1$ ise azalandır. Her zaman $(0,1)$ noktasından geçerler ve yatay asimptotları $y=0$ (x ekseni) doğrusudur.
⚠️ Grafikler: Tabanın 1'den büyük veya küçük olmasına göre farklı şekiller alırlar ancak asla x eksenini kesmezler.

Logaritma Fonksiyonları

Logaritma fonksiyonları, üstel fonksiyonların tersidir. $a > 0$, $a
eq 1$ ve $x > 0$ olmak üzere, $a^y = x \iff y = \log_a x$ şeklinde tanımlanır. Burada $a$ taban, $x$ ise logaritması alınan sayıdır. Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi pozitif gerçel sayılar ($\mathbb{R}^+$), değer kümesi ise tüm gerçel sayılardır ($\mathbb{R}$).

✅ Tanım Koşulları: Logaritmanın tanımlı olabilmesi için taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, logaritması alınan sayı ise pozitif olmalıdır.
👉 Temel Özellikleri: Çarpımın logaritması toplam şeklinde, bölümün logaritması fark şeklinde yazılabilir. Kuvvet logaritmanın önüne çarpan olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı, farklı tabanlardaki logaritmaları birbirine dönüştürmede kullanılır. Örneğin, $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
⚠️ Grafikler: Üstel fonksiyonların $y=x$ doğrusuna göre simetriğidir. Her zaman $(1,0)$ noktasından geçerler ve düşey asimptotları $x=0$ (y ekseni) doğrusudur.

Denklemler ve Eşitsizlikler

Üstel ve logaritmik denklemler, genellikle her iki tarafın aynı tabana getirilmesi veya uygun logaritma/üs alma işlemleriyle çözülür. Eşitsizliklerde ise tabanın 1'den büyük veya küçük olması yön değiştirme açısından kritik öneme sahiptir. Tabanda 0 ile 1 arasında bir sayı varsa eşitsizlik yön değiştirir.

Uygulamalar

Bu fonksiyonlar, bilim ve mühendisliğin birçok alanında kullanılır. Nüfus artışı, radyoaktif bozulma, bileşik faiz hesaplamaları, pH değerleri, deprem büyüklüğü (Richter ölçeği) gibi gerçek hayat senaryolarında üstel ve logaritmik modeller sıkça karşımıza çıkar.

A) a < b < c
B) c < b < a
C) b < c < a
D) a < c < b
E) c < a < b

$ $ 9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0 $ $ denklemini sağlayan `x` gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

A) -3
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

`a > 0`, `a
eq 1` ve `k` bir gerçel sayı olmak üzere, `f(x) $=$ k $\cdot$ a^x` üstel fonksiyonunun grafiği `A(1, 12)` ve `B(2, 48)` noktalarından geçmektedir. Buna göre, `f(3)` değeri kaçtır?

A) 96
B) 144
C) 192
D) 216
E) 256

$ $\log_3(x+6) \cdot \log_x(3) = 2$ $ denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9

$ $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) > -2$ $ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11

$ $\log 2 \approx 0,301$ $ olmak üzere, $ $40^{40}$ $ sayısı kaç basamaklı bir doğal sayıdır?

A) 63
B) 64
C) 65
D) 66
E) 67

$\log 2 = a$ ve $\log 3 = b$ olduğuna göre, $\ln 75$ ifadesinin $a$, $b$ ve $\ln 10$ cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(1 - a + 2b) \cdot \ln 10$
B) $(2 - 2a + b) \cdot \ln 10$
C) $(2 - a + b) \cdot \ln 10$
D) $\frac{2 - 2a + b}{\ln 10}$
E) $\frac{1 - a + 2b}{\ln 10}$

$ $\ln(x^3) = (\log x)^2 \cdot \ln 1000$ $ denklemini sağlayan $ x$ gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

A) 1
B) e
C) 10
D) 10e
E) 100

$x = \log(e^2)$, $y = \ln 10$ ve $z = \log(\ln 10)$ sayıları veriliyor.
Buna göre, $x$, $y$ ve $z$ sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) x < y < z
B) x < z < y
C) z < x < y
D) z < y < x
E) y < z < x

10)

$\log_2 3 = a$ ve $\log_3 5 = b$ olmak üzere, $\log_{15} 6$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{a+1}{a(b+1)}$
B) $\frac{a(b+1)}{a+1}$
C) $\frac{b+1}{a+1}$
D) $\frac{a+b}{ab}$
E) $\frac{ab}{a+b+1}$

11)

$\ln(x+3) + \ln(x-2) = \ln(14)$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \{-5, 4\}
B) \{4\}
C) \{-5\}
D) \{5\}
E) $\emptyset$

12)

$x = \log_2 9$, $y = \log_3 {10}$ ve $z = \log_5 {26}$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) x < y < z
B) y < z < x
C) z < y < x
D) z < x < y
E) y < x < z

13)

$ $\log_{x+2}(x^2 - 3x + 11) = \log_{x+2}(2x+5)$ $ denklemini sağlayan farklı x gerçek sayılarının toplamı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7

14)

$ $3^{x-1} < 2^{x+1}$ \( eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \) (-∞, $\log$ _2 3) $
B) $ ($\log$ _3 2, ∞) $
C) $ ( -∞, $\log$ _{3/2} 6 ) $
D) $ ($\log$ _{3/2} 6, ∞) $
E) $ (1, ∞)$

15)

$ $(\log_3 x)^2 - \log_3 (x^4) = 5$ $ denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

A) 4
B) 9
C) 27
D) 81
E) 243

16)

Bir arkeolojik kazıda bulunan organik bir kalıntının içerdiği radyoaktif maddenin başlangıçtaki miktarının 80 gram olduğu ve bu maddenin yarı ömrünün 1500 yıl olduğu tespit edilmiştir. Buna göre, bu kalıntıda 5 gram radyoaktif madde kaldığında, keşfedildiği andan itibaren kaç yıl geçmiş olur?

A) 4500
B) 5000
C) 6000
D) 7500
E) 9000

17)

Richter ölçeğine göre bir depremin büyüklüğü $M$, depremin yoğunluğu $I$ ve standart bir referans yoğunluğu $I_0$ olmak üzere $M = \log(\frac{I}{I_0})$ formülü ile modellenmektedir. Bir bölgede meydana gelen 7,2 büyüklüğündeki ana depremden bir süre sonra 5,2 büyüklüğünde bir artçı deprem kaydedilmiştir. Buna göre, ana depremin yoğunluğu, artçı depremin yoğunluğunun kaç katıdır?

A) 2
B) 20
C) 100
D) 200
E) 1000

18)

Bir laboratuvar ortamında, bir bakteri popülasyonunun başlangıçtaki sayısı 500'dür. Popülasyonun $t$ saat sonraki sayısı $P(t) = P_0 \cdot e^{kt}$ formülüyle modellenmektedir ($P_0$ başlangıç sayısı, $k$ büyüme sabiti). Popülasyonun 2 saat sonra 2000'e ulaştığı gözlemlenmiştir. Buna göre, başlangıçtan itibaren popülasyonun 8000'e ulaşması için kaç saat geçmesi gerekir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8

Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun

https://yazili.eokultv.com/test/165-12-sinif-ustel-ve-logaritmik-fonksiyonlar-test-coz-0728