📌 Üçgenlerde Eşlik: Kapsamlı Çalışma Notları
Sevgili \(9\). Sınıf öğrencileri, bu çalışma notu üçgenlerde eşlik konusunu derinlemesine anlamanız için hazırlandı. Geometrideki birçok konunun temelini oluşturan bu konuyu iyi kavramak, ileride karşılaşacağınız daha karmaşık problemler için size sağlam bir zemin hazırlayacaktır. Haydi başlayalım! 🚀
💡 Eşlik Nedir?
Geometride eşlik, iki veya daha fazla şeklin birbirinin aynı olması durumunu ifade eder. Yani, bir şekli diğerinin üzerine taşıdığımızda (öteleme, döndürme, yansıtma gibi izometrik dönüşümlerle) tam olarak çakışıyorsa, bu şekiller eştir.
- İki üçgenin eş olması demek, bu üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açı ölçülerinin birbirine eşit olması demektir.
- Eşlik sembolü \(\cong\)'dir. Örneğin, \(\triangle ABC\) üçgeni ile \(\triangle DEF\) üçgeni eş ise, bunu \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) şeklinde gösteririz.
- Bu gösterimde harflerin sırası önemlidir! Eğer \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise:
- \(A\) açısı ile \(D\) açısı eşittir (\(m(\hat{A}) = m(\hat{D})\)).
- \(B\) açısı ile \(E\) açısı eşittir (\(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\)).
- \(C\) açısı ile \(F\) açısı eşittir (\(m(\hat{C}) = m(\hat{F})\)).
- \(|AB|\) kenarı ile \(|DE|\) kenarı eşittir (\(|AB| = |DE|\)).
- \(|BC|\) kenarı ile \(|EF|\) kenarı eşittir (\(|BC| = |EF|\)).
- \(|AC|\) kenarı ile \(|DF|\) kenarı eşittir (\(|AC| = |DF|\)).
✅ Üçgenlerde Eşlik Aksiyomları (Eşlik Kuralları)
İki üçgenin eş olduğunu anlamak için tüm kenar ve açıların eşitliğini tek tek kontrol etmemize gerek yoktur. Belirli eşlik kuralları sayesinde, sadece birkaç elemanın eşitliğini bilmek yeterlidir.
1. K.K.K. (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Aksiyomu
İki üçgenin karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit ise, bu üçgenler eştir.
Eğer \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(|AC| = |DF|\) ise, o zaman \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
2. K.A.K. (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Aksiyomu
İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşit ise, bu üçgenler eştir.
Eğer \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(|AB| = |DE|\), \(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\) ve \(|BC| = |EF|\) ise, o zaman \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
3. A.K.A. (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Aksiyomu
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılar arasında kalan kenarlarının uzunlukları birbirine eşit ise, bu üçgenler eştir.
Eğer \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\), \(|BC| = |EF|\) ve \(m(\hat{C}) = m(\hat{F})\) ise, o zaman \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
4. A.A.K. (Açı-Açı-Kenar) Eşlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu birbirine eşit ise, bu üçgenler eştir.
Eğer \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(m(\hat{A}) = m(\hat{D})\), \(m(\hat{B}) = m(\hat{E})\) ve \(|BC| = |EF|\) ise, o zaman \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir. (Üçüncü açılar da eşit olacağından aslında A.K.A. kuralına indirgenebilir.)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Yandaki şekilde \(A, O, C\) ve \(B, O, D\) noktaları doğrusaldır. \(|AO| = |OC|\) ve \(|BO| = |OD|\) olduğuna göre, \(\triangle AOB\) ile \(\triangle COD\) üçgenlerinin eş olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Verilenler:
- \(|AO| = |OC|\) (Kenar)
- \(|BO| = |OD|\) (Kenar)
- \(m(\angle AOB)\) ve \(m(\angle COD)\) açıları ters açılar olduğu için birbirine eşittir. Yani \(m(\angle AOB) = m(\angle COD)\) (Açı).
Bu durumda, K.A.K. (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Aksiyomu'na göre, iki üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olduğundan \(\triangle AOB \cong \triangle COD\) 'dir.
Eşlikten dolayı, karşılıklı kenarlar ve açılar da eşit olacaktır. Örneğin, \(|AB| = |CD|\) ve \(m(\angle OAB) = m(\angle OCD)\) gibi.
Örnek Soru 2:
Şekilde \(AB // DE\), \(|AB| = |DE|\) ve \(C\) noktası \(AE\) ile \(BD\) doğru parçalarının kesim noktasıdır. \(\triangle ABC\) ile \(\triangle EDC\) üçgenlerinin eş olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Verilenler:
- \(AB // DE\) olduğundan, iç ters açılar eşittir:
- \(m(\angle BAC) = m(\angle DEC)\) (Açı)
- \(m(\angle ABC) = m(\angle EDC)\) (Açı)
- \(|AB| = |DE|\) (Kenar)
Bu durumda, \(\triangle ABC\) üçgeninde \(m(\angle BAC)\), \(|AB|\) kenarı ve \(m(\angle ABC)\) açısı; \(\triangle EDC\) üçgeninde ise \(m(\angle DEC)\), \(|DE|\) kenarı ve \(m(\angle EDC)\) açısı birbirine eşittir. Bu, A.K.A. (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Aksiyomu'nun tanımına uymaktadır. Çünkü eşit olan kenar (\(|AB|\) ve \(|DE|\)), eşit olan iki açı arasında kalmaktadır.
Dolayısıyla, \(\triangle ABC \cong \triangle EDC\) 'dir.
Eşlikten dolayı, \(|AC| = |EC|\) ve \(|BC| = |DC|\) olacaktır.
Aşağıdaki üçgen çiftlerinden hangisi kesinlikle eştir?
A) Kenar uzunlukları \((3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm})\) olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \((3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 6 \text{ cm})\) olan bir üçgen.B) Bir açısı \(30^\circ\), diğer açısı \(60^\circ\) olan bir üçgen ile bir açısı \(30^\circ\), diğer açısı \(90^\circ\) olan bir üçgen.
C) Kenar uzunlukları \((5 \text{ cm}, 7 \text{ cm}, 8 \text{ cm})\) olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \((7 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 5 \text{ cm})\) olan bir üçgen.
D) İki kenarı \(6 \text{ cm}\) ve \(8 \text{ cm}\) olan bir üçgen ile iki kenarı \(6 \text{ cm}\) ve \(8 \text{ cm}\) olan başka bir üçgen.
E) Bir açısı \(50^\circ\) olan ikizkenar bir üçgen ile bir açısı \(80^\circ\) olan ikizkenar bir üçgen.
Şekilde verilen \(ABC\) ve \(DEF\) üçgenlerinde, \(|AB| = |DE| = 7 \text{ cm}\), \(|BC| = |EF| = 10 \text{ cm}\) ve \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 40^\circ\) olduğuna göre, bu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (benzerdir) fakat eş değildirler.B) \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (eştir).
C) \(|AC| = |DF|\) olduğu söylenemez.
D) \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\) olduğu söylenemez.
E) Bu üçgenlerin eş olup olmadığı hakkında yeterli bilgi yoktur.
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\) ve \(D\) noktası \([BC]\) kenarı üzerinde olmak üzere, \(AD\) doğru parçası \(BC\) kenarını dik kesmektedir (\(AD \perp BC\)). Eğer \(|BD| = 5 \text{ cm}\) ise, \(|CD|\) kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(2.5\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(7.5\)
E) \(10\)
Yandaki şekilde \(ABCD\) bir dörtgen, \(AE \perp DC\), \(BF \perp DC\), \(|AE| = |BF|\) ve \(m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{CBF})\) verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(|AD| = |AB|\)B) \(|DE| = |CF|\)
C) \(|DC| = |AB|\)
D) \(m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{BCD})\)
E) \(\triangle ADE \sim \triangle BCF\) (benzerdir)
Şekilde \(ABCD\) bir kare ve \(AEF\) bir üçgendir. \(D, A, B\) noktaları doğrusal değildir. \(C, B, F\) noktaları doğrusal değildir. \(|AD| = |AE|\) ve \(m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{FAB}) = 90^\circ\) olduğuna göre, \(|EF|\) uzunluğu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) \(|EF| = |DB|\)B) \(|EF| = |DF|\)
C) \(|EF| = |AC|\)
D) \(|EF| = |CB|\)
E) \(|EF| = |AF|\)
Şekilde \(AE\) ve \(BD\) doğru parçaları \(C\) noktasında kesişmektedir. \(AC = CD = 6\) cm, \(BC = CE = 8\) cm ve \(\angle BAC = 50^\circ\) olduğuna göre, \(\angle DEC\) kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(70^\circ\)
E) \(80^\circ\)
Şekilde \(AD\) ve \(BC\) doğru parçaları \(E\) noktasında kesişmektedir. \(AB \parallel CD\), \(AE = ED\) ve \(\angle BAE = 40^\circ\) olduğuna göre, \(\angle CDE\) kaç derecedir?
A) \(30^\circ\)B) \(40^\circ\)
C) \(50^\circ\)
D) \(60^\circ\)
E) \(70^\circ\)
Şekilde \(ABCD\) bir dörtgendir. \(AB = 7\) cm, \(BC = 5\) cm, \(CD = 7\) cm, \(DA = 5\) cm ve \(AC = 8\) cm olduğuna göre, \(\angle B\) ve \(\angle D\) açıları arasındaki ilişki nedir?
A) \(\angle B = \angle D\)B) \(\angle B + \angle D = 180^\circ\)
C) \(\angle B = 2\angle D\)
D) \(\angle D = 2\angle B\)
E) \(\angle B = 90^\circ, \angle D = 90^\circ\)
Şekilde \(ABCD\) bir dörtgen ve \(AE \perp BD\), \(CF \perp BD\) 'dir. \(AE = CF\) ve \(BE = FD\) olduğuna göre, \(AB\) ve \(CD\) kenarları arasındaki ilişki nedir?
A) \(AB = CD\)B) \(AB \parallel CD\)
C) \(AB < CD\)
D) \(AB > CD\)
E) \(AB \perp CD\)
Bir \(\triangle ABC\) ve bir \(\triangle DEF\) eş üçgenlerdir. \(AB = 5\) cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\) cm ve \(\angle A = 70^\circ\) olduğuna göre, \(\triangle DEF\) 'nin çevresi kaç cm'dir ve \(\angle D\) kaç derecedir?
A) Çevre \(= 21\) cm, \(\angle D = 70^\circ\)B) Çevre \(= 21\) cm, \(\angle D = 60^\circ\)
C) Çevre \(= 19\) cm, \(\angle D = 70^\circ\)
D) Çevre \(= 19\) cm, \(\angle D = 60^\circ\)
E) Çevre \(= 21\) cm, \(\angle D\) hakkında bilgi yoktur.
Aşağıda kenar uzunlukları ve açıları verilen \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri için hangi eşlik kuralı geçerli olabilir? \(|AB| = 5 \text{ cm}\), \(|BC| = 7 \text{ cm}\), \(\text{m}(\angle B) = 60^\circ\) \(|DE| = 5 \text{ cm}\), \(|EF| = 7 \text{ cm}\), \(\text{m}(\angle E) = 60^\circ\)
A) KKK (Kenar-Kenar-Kenar)B) AKA (Açı-Kenar-Açı)
C) KAK (Kenar-Açı-Kenar)
D) AAK (Açı-Açı-Kenar)
E) Üçgenler eş değildir.
Yandaki şekilde \(AB \parallel DE\), \(|AB| = |DE|\) ve \(|AC| = |CD|\) olarak verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(\triangle ABC \cong \triangle CED\) (KAK kuralına göre)B) \(\triangle ABC \cong \triangle EDC\) (AKA kuralına göre)
C) \(\triangle ABC \cong \triangle CDE\) (KKK kuralına göre)
D) \(\triangle ABC \cong \triangle DEC\) (AAK kuralına göre)
E) Üçgenler eş değildir.
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde \(\text{m}(\angle A) = 70^\circ\), \(\text{m}(\angle B) = 50^\circ\) ve \(|BC| = 10 \text{ cm}\) 'dir. Bir \(\triangle DEF\) üçgeninde ise \(\text{m}(\angle D) = 70^\circ\), \(\text{m}(\angle E) = 50^\circ\) ve \(|EF| = x \text{ cm}\) 'dir. Eğer \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise \(x\) kaçtır?
A) \(5\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(10\)
E) \(12\)
Şekilde \(ABCD\) bir dörtgendir. \(|AB| = |AD|\), \(|BC| = |CD|\) ve \(AC\) köşegeni çizilmiştir. Buna göre, \(\triangle ABC\) ve \(\triangle ADC\) üçgenlerinin eşliği için hangi kural uygulanabilir?
A) KAK (Kenar-Açı-Kenar)B) AKA (Açı-Kenar-Açı)
C) KKK (Kenar-Kenar-Kenar)
D) AAK (Açı-Açı-Kenar)
E) Üçgenler eş değildir.
Bir dik üçgen olan \(\triangle ABC\) 'de \(\text{m}(\angle B) = 90^\circ\) ve \(|AB| = |BC|\) 'dir. \(D\) noktası \(AC\) üzerindedir. \(ED \perp AC\), \(E \in BC\) ve \(|DE| = |AD|\) ise, \(\triangle ADE\) ve \(\triangle CDE\) üçgenleri için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) \(\triangle ADE \cong \triangle CDE\) (KAK kuralına göre)B) \(\triangle ADE \cong \triangle CDE\) (AKA kuralına göre)
C) \(\triangle ADE \cong \triangle CDE\) (KKK kuralına göre)
D) \(\triangle ADE \cong \triangle CDE\) (AAK kuralına göre)
E) Verilen bilgilerle eşlik ispatlanamaz.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/1689-9-sinif-ucgenlerde-eslik-test-coz-089o