Dönüşüm Geometrisi: Öteleme ve Yansıma Dönüşümleri
Geometride bir şeklin veya noktanın konum, yön veya boyutunu değiştiren işlemlere dönüşümler denir. 9. sınıf matematik müfredatında öteleme ve yansıma dönüşümleri temel kavramlar arasında yer alır. Bu bölümde, bu iki önemli dönüşüm türünü kısaca inceleyecek ve örnek sorularla pekiştireceğiz.
Öteleme Dönüşümü
Bir noktanın veya şeklin, yönü ve büyüklüğü değişmeden bir yerden başka bir yere kaydırılması işlemine öteleme dönüşümü denir. Öteleme, bir vektörle \((a, b)\) ifade edilir. Koordinat sisteminde bir \(P(x, y)\) noktasının, \(\vec{v}=(a, b)\) vektörü ile ötelenmesi sonucunda oluşan yeni noktası \(P'(x', y')\) aşağıdaki gibi bulunur:
- \(P(x, y) \xrightarrow{\text{öteleme } \vec{v}=(a, b)} P'(x+a, y+b)\)
Yani, noktanın \(x\) koordinatına vektörün \(x\) bileşeni, \(y\) koordinatına ise vektörün \(y\) bileşeni eklenir. Öteleme dönüşümü bir izometri dönüşümüdür; yani şeklin boyutunu ve açısını değiştirmez, sadece konumunu değiştirir.
Yansıma Dönüşümü
Bir noktanın veya şeklin, bir doğruya (yansıma ekseni) veya bir noktaya (yansıma merkezi) göre simetriğinin alınması işlemine yansıma dönüşümü denir. Yansıma dönüşümünde şeklin yönü değişir ancak boyutu ve şekli korunur. Başlıca yansıma kuralları şunlardır:
- x eksenine göre yansıma: \(P(x, y) \to P'(x, -y)\)
- y eksenine göre yansıma: \(P(x, y) \to P'(-x, y)\)
- Orijine göre yansıma: \(P(x, y) \to P'(-x, -y)\)
- \(y=x\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x, y) \to P'(y, x)\)
- \(y=-x\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x, y) \to P'(-y, -x)\)
Yansıma da tıpkı öteleme gibi bir izometri dönüşümüdür.
Örnek Sorular ve Çözümler
Örnek Soru 1: \(A(-3, 5)\) noktasının \(x\) ekseni boyunca 4 birim sağa ve \(y\) ekseni boyunca 2 birim aşağı ötelenmesiyle oluşan noktanın koordinatları nedir?
Çözüm 1: Bir noktanın \(x\) ekseni boyunca sağa ötelenmesi \(x\) koordinatına ekleme, sola ötelenmesi çıkarma demektir. \(y\) ekseni boyunca yukarı ötelenmesi \(y\) koordinatına ekleme, aşağı ötelenmesi çıkarma demektir. Buna göre, öteleme vektörü \(\vec{v}=(4, -2)\) olur. \(A(-3, 5)\) noktasının ötelenmiş hali \(A'(-3+4, 5-2) = A'(1, 3)\) olarak bulunur. Dolayısıyla yeni noktanın koordinatları \(A'(1, 3)\) 'tür.
Örnek Soru 2: \(B(2, -4)\) noktasının önce \(x\) eksenine göre, ardından \(y=x\) doğrusuna göre yansıması alındığında oluşan son noktanın koordinatları nedir?
Çözüm 2: Öncelikle \(B(2, -4)\) noktasının \(x\) eksenine göre yansımasını alalım. \(x\) eksenine göre yansımada y koordinatının işareti değişir: \(B(2, -4) \xrightarrow{\text{x eksenine göre yansıma}} B'(2, -(-4)) = B'(2, 4)\). Şimdi \(B'(2, 4)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansımasını alalım. \(y=x\) doğrusuna göre yansımada x ve y koordinatları yer değiştirir: \(B'(2, 4) \xrightarrow{\text{y=x doğrusuna göre yansıma}} B''(4, 2)\). Böylece oluşan son noktanın koordinatları \(B''(4, 2)\) olarak bulunur.
\(A(3, -2)\) noktasının \(T(1, 4)\) öteleme vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan noktanın koordinatları nedir?
A) \((4, 2)\)B) \((2, -6)\)
C) \((4, -2)\)
D) \((3, 2)\)
E) \((2, 2)\)
\(K(-1, 5)\) noktasının \(x\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(3\) birim ve \(y\) -ekseni boyunca negatif yönde \(2\) birim ötelenmesiyle elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 3)\)B) \((-4, 7)\)
C) \((2, 7)\)
D) \((-4, 3)\)
E) \((0, 3)\)
Bir \(P(2, -3)\) noktası ötelendikten sonra \(P'(5, 1)\) noktasına gelmiştir. Bu ötelemeyi sağlayan vektör aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, 4)\)B) \((-3, -4)\)
C) \((7, -2)\)
D) \((-3, 4)\)
E) \((3, -4)\)
Köşeleri \(A(1, 2)\), \(B(4, 2)\) ve \(C(1, 5)\) olan bir \(ABC\) üçgeni, \(T(-2, -3)\) öteleme vektörü ile öteleniyor. Buna göre, yeni oluşan \(A'B'C'\) üçgeninin \(A'\) köşesinin koordinatları nedir?
A) \((-1, -1)\)B) \((2, -1)\)
C) \((-1, 1)\)
D) \((3, 2)\)
E) \((1, -1)\)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi öteleme dönüşümü için yanlıştır?
A) Öteleme dönüşümü bir izometridir.B) Öteleme dönüşümü, bir şeklin boyutunu ve şeklini değiştirmez.
C) Öteleme dönüşümü, bir şeklin yönünü (oryantasyonunu) değiştirmez.
D) Öteleme dönüşümü, bir şeklin konumunu değiştirir.
E) Öteleme dönüşümü, bir şeklin alanını ve çevresini değiştirir.
Bir \(M(x, y)\) noktasının \(T(a, b)\) öteleme vektörü ile ötelenmesi sonucu \(M'(x+a, y+b)\) noktası elde edilmiştir. \(M'\) noktasını tekrar \(M\) noktasına getirecek öteleme vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(T(a, b)\)B) \(T(-a, -b)\)
C) \(T(b, a)\)
D) \(T(-b, -a)\)
E) \(T(0, 0)\)
\(P(4, -1)\) noktası önce \(T_1(2, 3)\) öteleme vektörü ile öteleniyor, ardından oluşan yeni nokta \(T_2(-1, -5)\) öteleme vektörü ile tekrar öteleniyor. Son durumda oluşan noktanın koordinatları nedir?
A) \((5, -3)\)B) \((7, -6)\)
C) \((3, -2)\)
D) \((6, -3)\)
E) \((5, 2)\)
Koordinat düzleminde verilen \(A(3, -2)\) noktasının \(x\) -eksenine göre yansıması \(A'\) noktasıdır. Buna göre \(A'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, 2)\)B) \((-3, -2)\)
C) \((2, 3)\)
D) \((-2, 3)\)
E) \((-3, 2)\)
Koordinat düzleminde verilen \(B(-4, 5)\) noktasının \(y\) -eksenine göre yansıması \(B'\) noktasıdır. Buna göre \(B'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-4, -5)\)B) \((4, 5)\)
C) \((5, -4)\)
D) \((-5, -4)\)
E) \((4, -5)\)
Koordinat düzleminde verilen \(C(1, -6)\) noktasının orijine göre yansıması \(C'\) noktasıdır. Buna göre \(C'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-1, 6)\)B) \((1, 6)\)
C) \((-6, 1)\)
D) \((6, -1)\)
E) \((-1, -6)\)
Koordinat düzleminde verilen \(D(7, -3)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansıması \(D'\) noktasıdır. Buna göre \(D'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-7, 3)\)B) \((7, 3)\)
C) \((-3, 7)\)
D) \((-3, -7)\)
E) \((3, -7)\)
Koordinat düzleminde verilen \(E(2, 8)\) noktasının \(y=-x\) doğrusuna göre yansıması \(E'\) noktasıdır. Buna göre \(E'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-8, -2)\)B) \((8, 2)\)
C) \((-2, -8)\)
D) \((2, -8)\)
E) \((-8, 2)\)
Koordinat düzleminde verilen \(F(5, -1)\) noktasının \(y=3\) doğrusuna göre yansıması \(F'\) noktasıdır. Buna göre \(F'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((5, 7)\)B) \((-5, -1)\)
C) \((1, 5)\)
D) \((5, 4)\)
E) \((1, -1)\)
Koordinat düzleminde verilen \(G(-2, 4)\) noktasının \(x=-1\) doğrusuna göre yansıması \(G'\) noktasıdır. Buna göre \(G'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-2, -4)\)B) \((0, 4)\)
C) \((-4, 4)\)
D) \((2, 4)\)
E) \((1, 4)\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/185-9-sinif-oteleme-ve-yansima-donusumu-test-coz-1770137517