✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test Çöz

SORU 1

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ve \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonları için aşağıdaki seçeneklerden hangisinde \(f\) ve \(g\) fonksiyonları birbirine eşittir?

A) \(f(x) = \frac{x^2}{x}\), \(g(x) = x\)
B) \(f(x) = \sqrt{x^2}\), \(g(x) = x\)
C) \(f(x) = x\), \(g(x) = \sqrt[3]{x^3}\)
D) \(f(x) = x^2\), \(g(x) = (\sqrt{x})^4\)
E) \(f(x) = x\), \(g(x) = |x|\)

A

B

C

D

E

Açıklama:

İki fonksiyonun eşit olması için tanım kümeleri, değer kümeleri ve her \(x\) değeri için fonksiyon kuralları aynı olmalıdır. Verilen tüm fonksiyonların değer kümeleri \(\mathbb{R}\) 'dir.

[A] \(f(x) = \frac{x^2}{x}\) fonksiyonunun tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) 'dır çünkü \(x=0\) için tanımsızdır. \(g(x) = x\) fonksiyonunun tanım kümesi \(\mathbb{R}\) 'dir. Tanım kümeleri farklı olduğundan eşit değillerdir.

[B] \(f(x) = \sqrt{x^2} = |x|\) 'tir. \(g(x) = x\) 'tir. Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|x| = x\) değildir (örneğin, \(x=-1\) için \(|-1|=1
eq -1\)). Bu nedenle eşit değillerdir.

[C] \(f(x) = x\) ve \(g(x) = \sqrt[3]{x^3}\) fonksiyonlarının her ikisinin de tanım kümesi \(\mathbb{R}\) 'dir. \(\sqrt[3]{x^3} = x\) olduğundan, her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f(x) = g(x)\) 'tir. Bu nedenle bu iki fonksiyon eşittir.

[D] \(g(x) = (\sqrt{x})^4\) fonksiyonunun tanım kümesi \(\sqrt{x}\) ifadesinden dolayı \(x \ge 0\) koşulunu gerektirir, yani \([0, ∞)\) 'dur. \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun tanım kümesi \(\mathbb{R}\) 'dir. Tanım kümeleri farklı olduğundan eşit değillerdir.

[E] \(f(x) = x\) ve \(g(x) = |x|\) fonksiyonları [B] şıkkındaki gibi eşit değildir.

Doğru cevap C şıkkıdır.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Soru Listesi 0/15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Cevaplanmış

Boş

🔄 Sınavı Sıfırla

📌 Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu, fonksiyonların temel niteliklerini anlamanıza yardımcı olmak için hazırlandı. Fonksiyonların grafiklerini yorumlamak ve davranışlarını analiz etmek için bu özellikler hayati öneme sahiptir. Hadi başlayalım!

💡 Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi

Bir fonksiyonun çalışma alanını belirleyen iki önemli kavramdır:

Tanım Kümesi (\(D_f\)): Bir \(f\) fonksiyonunda, bağımsız değişken \(x\) 'in alabileceği tüm gerçek sayı değerlerinin kümesidir. Yani, \(f(x)\) 'i tanımlı yapan tüm \(x\) değerleridir. Örneğin, \(f(x) = \frac{1}{x-2}\) fonksiyonunun tanım kümesi \(x-2 eq 0\) olduğundan \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 'dir.
Görüntü Kümesi (\(R_f\)): Tanım kümesindeki her bir \(x\) değeri için fonksiyonun aldığı \(f(x)\) değerlerinin oluşturduğu kümedir. Yani, fonksiyonun çıktılarının kümesidir. Örneğin, \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun görüntü kümesi \(R_f = [0, ∞)\) 'dur, çünkü \(x^2\) daima pozitif veya sıfırdır.

🚀 Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta nasıl davrandığını gösterir:

Artan Fonksiyon: Bir \(I\) aralığında tanımlı bir \(f\) fonksiyonu için, eğer bu aralıktan seçilen her \(x_1 < x_2\) için \(f(x_1) < f(x_2)\) oluyorsa, \(f\) fonksiyonu bu aralıkta artandır. Grafik yukarı doğru tırmanır.
Azalan Fonksiyon: Bir \(I\) aralığında tanımlı bir \(f\) fonksiyonu için, eğer bu aralıktan seçilen her \(x_1 < x_2\) için \(f(x_1) > f(x_2)\) oluyorsa, \(f\) fonksiyonu bu aralıkta azalandır. Grafik aşağı doğru iner.
Sabit Fonksiyon: Bir \(I\) aralığında seçilen her \(x_1, x_2\) için \(f(x_1) = f(x_2) = c\) (bir sabit) oluyorsa, \(f\) fonksiyonu bu aralıkta sabittir. Grafik yatay bir doğrudur.

Unutmayın: Bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını anlamak için genellikle grafiğine bakılır veya türev kavramı (ileriki sınıflarda göreceksiniz) kullanılır. Ancak \(10\). sınıf seviyesinde, genellikle belirli aralıklardaki \(x\) değerlerini ve karşılık gelen \(f(x)\) değerlerini inceleyerek karar veririz.

💡 Tek ve Çift Fonksiyonlar

Bu özellikler fonksiyonların simetrisiyle ilgilidir:

Çift Fonksiyon: Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her \(x\) için \(f(-x) = f(x)\) oluyorsa, bu fonksiyona çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri \(y\) -eksenine göre simetriktir. Örnek: \(f(x) = x^2\), \(f(x) = \cos(x)\).
Tek Fonksiyon: Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her \(x\) için \(f(-x) = -f(x)\) oluyorsa, bu fonksiyona tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Örnek: \(f(x) = x^3\), \(f(x) = \sin(x)\).

Dikkat: Her fonksiyon tek veya çift olmak zorunda değildir. Bazı fonksiyonlar ne tek ne de çifttir. Örneğin, \(f(x) = x^2 + x\) fonksiyonu ne tek ne de çifttir.

✅ Pozitif ve Negatif Değerli Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun \(x\) -eksenine göre konumuyla ilgilidir:

Pozitif Değerli Fonksiyon: Bir \(I\) aralığında, eğer bu aralıktaki her \(x\) için \(f(x) > 0\) oluyorsa, \(f\) fonksiyonu bu aralıkta pozitif değerlidir. Grafik \(x\) -ekseninin üstündedir.
Negatif Değerli Fonksiyon: Bir \(I\) aralığında, eğer bu aralıktaki her \(x\) için \(f(x) < 0\) oluyorsa, \(f\) fonksiyonu bu aralıkta negatif değerlidir. Grafik \(x\) -ekseninin altındadır.
Sıfır Değerli Noktalar (Kökler): \(f(x) = 0\) denklemini sağlayan \(x\) değerleridir. Bu noktalar fonksiyonun \(x\) -eksenini kestiği noktalardır.

🚀 Maksimum ve Minimum Değerler

Bir fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değerlerdir:

Maksimum Değer: Bir fonksiyonun tanım kümesindeki tüm \(x\) değerleri için \(f(x) \le M\) koşulunu sağlayan en büyük \(M\) değeri varsa, bu \(M\) değerine fonksiyonun maksimum değeri denir.
Minimum Değer: Bir fonksiyonun tanım kümesindeki tüm \(x\) değerleri için \(f(x) \ge m\) koşulunu sağlayan en küçük \(m\) değeri varsa, bu \(m\) değerine fonksiyonun minimum değeri denir.

Bu değerler genellikle fonksiyonun tepe veya dip noktalarında (yerel ekstremumlar) veya tanım aralığının uç noktalarında oluşabilir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Artan/Azalan Fonksiyon Analizi

Aşağıda grafiği verilen \(f(x)\) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

Grafik (hayali): ^ y |  /\ | / \ | /  \--+----------> x-3 -1 2 4

Çözüm:

Grafiğe baktığımızda:

\(x = -3\) 'ten \(x = -1\) 'e kadar fonksiyonun değeri artmaktadır. Dolayısıyla \(f(x)\) fonksiyonu \((-3, -1)\) aralığında artandır.
\(x = -1\) 'den \(x = 2\) 'ye kadar fonksiyonun değeri azalmaktadır. Dolayısıyla \(f(x)\) fonksiyonu \((-1, 2)\) aralığında azalandır.
\(x = 2\) 'den \(x = 4\) 'e kadar fonksiyonun değeri tekrar artmaktadır. Dolayısıyla \(f(x)\) fonksiyonu \((2, 4)\) aralığında artandır.

Cevap: Artan olduğu aralıklar \((-3, -1)\) ve \((2, 4)\); Azalan olduğu aralık \((-1, 2)\) 'dir.

Örnek 2: Tek/Çift Fonksiyon Belirleme

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek, hangisi çifttir? Ne tek ne de çift olan var mıdır?

\(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1\)
\(g(x) = x^3 - 5x\)
\(h(x) = x^2 + 2x\)

Çözüm:

\(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1\) için:

\(f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = 3x^4 - 2x^2 + 1\).

Görüldüğü gibi \(f(-x) = f(x)\) 'tir. Bu nedenle \(f(x)\) fonksiyonu çift fonksiyondur.
\(g(x) = x^3 - 5x\) için:

\(g(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x)\).

Görüldüğü gibi \(g(-x) = -g(x)\) 'tir. Bu nedenle \(g(x)\) fonksiyonu tek fonksiyondur.
\(h(x) = x^2 + 2x\) için:

\(h(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x\).

\(h(-x)\) ne \(h(x)\) 'e (\(x^2 + 2x\)) eşittir, ne de \(-h(x)\) 'e (\(-(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x\)) eşittir. Bu nedenle \(h(x)\) fonksiyonu ne tek ne de çifttir.

1)

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ve \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonları için aşağıdaki seçeneklerden hangisinde \(f\) ve \(g\) fonksiyonları birbirine eşittir?

A) \(f(x) = \frac{x^2}{x}\), \(g(x) = x\)
B) \(f(x) = \sqrt{x^2}\), \(g(x) = x\)
C) \(f(x) = x\), \(g(x) = \sqrt[3]{x^3}\)
D) \(f(x) = x^2\), \(g(x) = (\sqrt{x})^4\)
E) \(f(x) = x\), \(g(x) = |x|\)

2)

\(f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{x^2-25}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \([4, ∞)\)
B) \([4, ∞) \setminus \{5\}\)
C) \((4, ∞) \setminus \{5\}\)
D) \((-∞, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, ∞)\)
E) \(\mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}\)

3)

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = |x-2|\) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Fonksiyon birebirdir.
B) Fonksiyon örtendir.
C) Fonksiyon birim fonksiyondur.
D) Fonksiyon içine fonksiyondur.
E) Fonksiyon sabittir.

4)

\(f: [-3, 2) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = -2x+5\) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((-3, 11]\)
B) \([1, 11)\)
C) \((1, 11]\)
D) \([1, 11]\)
E) \((-∞, 11]\)

5)

Aşağıda \(f: [-4, 4] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik, \((-4, 1)\) noktasından başlayıp \((0, 3)\) noktasına doğrusal olarak yükselmekte, ardından \((0, 3)\) noktasından \((2, 0)\) noktasına doğrusal olarak inmekte ve son olarak \((2, 0)\) noktasından \((4, 2)\) noktasına doğrusal olarak yükselmektedir. Tüm uç noktalar ve kırılma noktaları kapalıdır. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Fonksiyonun tanım kümesi \([-4, 4]\) 'tür.
B) Fonksiyonun görüntü kümesi \([0, 3]\) 'tür.
C) \(f(x)=2\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin toplamı \(2\) 'dir.
D) \(f(-2) + f(3) = 3\) 'tür.
E) Fonksiyon birebir değildir.

6)

\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) olmak üzere, \(f(x) = 2x+1\) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Birebirdir ama örten değildir.
B) Örtendir ama birebir değildir.
C) Hem birebir hem örtendir.
D) Sabit fonksiyondur.
E) Birim fonksiyondur.

7)

Gerçek sayılarda tanımlı \(f(x) = x^2+1\) ve \(g(x) = 2x-3\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \((f-g)(x)\) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(x^2-2x-2\)
B) \(x^2-2x+4\)
C) \(x^2+2x-2\)
D) \(-x^2+2x-4\)
E) \(x^2-2x-4\)

8)

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) olmak üzere, \(f(x) = (a-3)x^2 + (b+1)x + c-5\) fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre, \(a+b+c\) değeri kaçtır?

A) \(5\)
B) \(7\)
C) \(9\)
D) \(11\)
E) \(13\)

9)

\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) olmak üzere, \(f(x) = x+2\) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (\(\mathbb{N}\) doğal sayılar kümesini ifade eder.)

A) Birebirdir ama örten değildir.
B) Örtendir ama birebir değildir.
C) Hem birebir hem örtendir.
D) Sabit fonksiyondur.
E) Birim fonksiyondur.

10)

Gerçek sayılarda tanımlı \(f(x) = 3x-1\) ve \(g(x) = x^2+2x\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \((2f-3g)(1)\) değeri kaçtır?

A) \(-11\)
B) \(-9\)
C) \(-7\)
D) \(7\)
E) \(11\)

11)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((-∞, 3]\)
B) \([3, ∞)\)
C) \((-∞, -1]\)
D) \([-1, 5]\)
E) \((5, ∞)\)

12)

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?

A) \(f(x) = x^2 + 4\)
B) \(f(x) = x^3 - x\)
C) \(f(x) = x^2 - 2x\)
D) \(f(x) = |x| + 1\)
E) \(f(x) = 5\)

13)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonunun grafiği incelendiğinde, \((-∞, -2]\) aralığında azalan, \([-2, 1]\) aralığında artan ve \([1, ∞)\) aralığında tekrar azalan bir seyir izlediği görülmektedir. Buna göre, \(f\) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((-∞, -2]\)
B) \([-2, 1]\)
C) \([1, ∞)\)
D) \((-∞, 1]\)
E) \([-2, ∞)\)

14)

Bir \(f\) fonksiyonu, bir \(I\) aralığı üzerinde artan bir fonksiyon ise, \(I\) aralığındaki her \(a\) ve \(b\) gerçel sayısı için \(a < b\) olduğunda aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi daima doğrudur?

A) \(f(a) > f(b)\)
B) \(f(a) < f(b)\)
C) \(f(a) = f(b)\)
D) \(f(a) \ge f(b)\)
E) \(f(a) \le f(b)\)

15)

\(f: [0, 4] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) fonksiyonunun \([0, 4]\) aralığındaki en büyük değeri kaçtır?

A) \(-5\)
B) \(0\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(9\)

QR Code

Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun

https://yazili.eokultv.com/test/1872-10-sinif-gercek-sayilarda-tanimli-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-test-coz-k5i6