✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

9. Sınıf Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Test Çöz

SORU 1

Bir $ABC$ üçgeninde, $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ olmak üzere $DE \parallel BC$ 'dir. Eğer $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 6$ cm ve $|AE| = 3$ cm ise, $|EC|$ kaç cm'dir?

A) $4,5$
B) $5$
C) $6$
D) $7,5$
E) $9$

Açıklama:

$DE \parallel BC$ olduğundan Temel Benzerlik Teoremi'ne göre $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$ oranı geçerlidir. Verilen değerleri yerine yazarsak: $\frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|}$. İçler dışlar çarpımı yaparak $4 \times |EC| = 6 \times 3$ eşitliğini elde ederiz. Bu da $4 \times |EC| = 18$ demektir. Her iki tarafı $4$ 'e böldüğümüzde $|EC| = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$ cm bulunur.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Soru Listesi 0/10

Cevaplanmış

Boş

🔄 Sınavı Sıfırla

📌 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Konu Anlatımı

Sevgili $9.$ sınıf öğrencileri, bu notumuzda geometri dersinin temel taşlarından olan üçgenlerde eşlik ve benzerlik konusunu detaylı bir şekilde ele alacağız. Bu konu, ilerleyen yıllarda göreceğiniz birçok geometri konusunun da temelini oluşturmaktadır. İyi çalışmalar!

💡 Üçgenlerde Eşlik (Kongrüans)

İki üçgenin eş olması, bu üçgenlerin hem açı ölçülerinin hem de kenar uzunluklarının karşılıklı olarak birbirine eşit olması demektir. Yani, eş üçgenler üst üste konulduğunda tam olarak çakışır.

Eşlik sembolü: $ $\cong$ \(
Eğer \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenleri eş ise, $ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ $ şeklinde gösterilir. Bu durumda, karşılıklı açılar eşit ($ $\angle A = \angle D$ $, $ $\angle B = \angle E$ $, $ $\angle C = \angle F$ $) ve karşılıklı kenar uzunlukları eşittir ($ $|AB| = |DE|$ $, $ $|BC| = |EF|$ $, $ $|AC| = |DF|$ \().

Eşlik Aksiyomları (Koşulları):

Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler eştir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ |AB| $=$ |DE| $, $ |AC| $=$ |DF| $ ve $ $\angle A = \angle D$ $ ise, $ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ \(.
Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşitse, bu üçgenler eştir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ $\angle A = \angle D$ $, $ $\angle B = \angle E$ $ ve $ |AB| $=$ |DE| $ ise, $ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ \(.
Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ |AB| $=$ |DE| $, $ |BC| $=$ |EF| $ ve $ |AC| $=$ |DF| $ ise, $ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ \(.

🚀 Üçgenlerde Benzerlik

İki üçgenin benzer olması, bu üçgenlerin karşılıklı açı ölçülerinin eşit, karşılıklı kenar uzunluklarının ise belirli bir oranda (benzerlik oranı) orantılı olması demektir. Benzer üçgenler aynı şekle sahiptir ancak boyutları farklı olabilir.

Benzerlik sembolü: \) $\sim$ \(
Eğer \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenleri benzer ise, $ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ $ şeklinde gösterilir. Bu durumda, karşılıklı açılar eşit ($ $\angle A = \angle D$ $, $ $\angle B = \angle E$ $, $ $\angle C = \angle F$ $) ve karşılıklı kenarlar orantılıdır: $ $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k$ $. Burada $ k \( benzerlik oranıdır.

Benzerlik Aksiyomları (Koşulları):

Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacağından sadece iki açıya bakmak yeterlidir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ $\angle A = \angle D$ $ ve $ $\angle B = \angle E$ $ ise, $ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ \(.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k$ $ ve $ $\angle A = \angle D$ $ ise, $ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ \(.
Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir. Örneğin, \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ üçgenlerinde $ $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k$ $ ise, $ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ \(.

✅ Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi)

Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiği noktadan ayırdığı parçalarla benzer bir üçgen oluşturur.
Eğer \) DE $\parallel$ BC$ $ ise, $ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ $ olur. Bu durumda, $ $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$ \( eşitliği geçerlidir.

✅ Kelebek Benzerliği

İki paralel doğru arasında, bir noktadan kesişen iki doğru parçası ile oluşan şekle kelebek benzerliği denir. Eğer \) AB $\parallel$ CD$ $ ise, $ $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ $ (E noktası kesişim noktasıdır). Bu durumda, $ $\frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|CD|}$ \( eşitliği geçerlidir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir ve benzerlik oranı \) k $=1$ \( olur. Ancak benzer üçgenler her zaman eş olmak zorunda değildir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı yardımcı elemanlar (yükseklik, kenarortay, açıortay) da benzerlik oranı \) k \( ile orantılıdır.
Benzer üçgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına (\) k \() eşittir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (\) k^2 \() eşittir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek Soru 1: Eşlik

Yandaki şekilde \) $\triangle ABC$ $ ve $ $\triangle DEF$ $ verilmiştir. $ |AB| $=$ |DE| $= 5$ $ $ cm, $ |BC| $=$ |EF| $= 7$ $ $ cm ve $ $\angle B = \angle E = 60^\circ$ \( olduğuna göre, bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz.

Çözüm:

Verilen bilgilere göre, iki üçgenin karşılıklı iki kenarı (\) |AB| $ ile $ |DE| $ ve $ |BC| $ ile $ |EF| $) ve bu kenarlar arasındaki açıları ($ $\angle B$ $ ile $ $\angle E$ \() birbirine eşittir.

Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği şartını sağlamaktadır.

Dolayısıyla, \) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ \('dir. Bu üçgenler eştir.

Örnek Soru 2: Benzerlik

Bir \) $\triangle ABC$ $ üçgeninde $ DE $\parallel$ BC$ $ olacak şekilde $ D $\in$ [AB] $ ve $ E $\in$ [AC] $ noktaları alınmıştır. $ |AD| $= 4$ $ $ cm, $ |DB| $= 2$ $ $ cm ve $ |BC| $= 9$ $ $ cm olduğuna göre, $ |DE| \( kaç cm'dir?

Çözüm:

Verilen bilgiye göre \) DE $\parallel$ BC$ \( olduğundan, Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayabiliriz.

Bu durumda, \) $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ \( olur.

Benzerlik oranı \) k $= \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $ \(.

Benzerlik oranını kullanarak \) |DE| \( uzunluğunu bulabiliriz:

\) $\frac{|DE|}{|BC|} = k$ \(

\) $\frac{|DE|}{9} = \frac{2}{3}$ \(

\) $3 \cdot |DE| = 2 \cdot 9$ \(

\) $3 \cdot |DE| = 18$ \(

\) $|DE| = \frac{18}{3}$ \(

\) $|DE| = 6$ $ cm'dir.

Bir $ABC$ üçgeninde, $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ olmak üzere $DE \parallel BC$ 'dir. Eğer $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 6$ cm ve $|AE| = 3$ cm ise, $|EC|$ kaç cm'dir?

A) $4,5$
B) $5$
C) $6$
D) $7,5$
E) $9$

Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açıları eşit ise, bu üçgenler eştir.
B) İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüsü ve bu açılar arasında kalan kenarının uzunluğu eşit ise, bu üçgenler eştir.
C) Karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgenler eştir.
D) İki üçgenin karşılıklı tüm açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eştir.
E) Eş üçgenlerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir.

$AB \parallel DE$ olmak üzere, şekildeki gibi $AC$ ve $BD$ doğruları $C$ noktasında kesişmektedir. Eğer $|AB| = 6$ cm, $|DE| = 9$ cm ve $|AC| = 4$ cm ise, $|CE|$ kaç cm'dir?

A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

İki benzer üçgenin benzerlik oranı $\frac{2}{3}$ 'tür. Eğer küçük üçgenin alanı $20$ cm $^2$ ise, büyük üçgenin alanı kaç cm $^2$ 'dir?

A) $30$
B) $40$
C) $45$
D) $50$
E) $60$

Bir dik üçgen olan $ABC$ 'de $m(\angle BAC) = 90^\circ$ 'dir. $A$ köşesinden $BC$ kenarına $AD$ dikmesi çizilmiştir. Eğer $|BD| = 4$ cm ve $|DC| = 9$ cm ise, $|AD|$ kaç cm'dir?

A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

$\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenlerinde $\angle A = \angle D = 70^\circ$, $\angle B = \angle E = 50^\circ$ dir. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm ve $|DE| = 9$ cm olduğuna göre, $|EF|$ kaç cm'dir?

A) $10$
B) $12$
C) $14$
D) $16$
E) $18$

Bir $ABC$ üçgeninde $DE \parallel BC$ olacak şekilde $D \in AB$ ve $E \in AC$ noktaları işaretlenmiştir. $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 6$ cm ve $|AE| = 3$ cm olduğuna göre, $|EC|$ kaç cm'dir?

A) $4.5$
B) $5$
C) $5.5$
D) $6$
E) $7.5$

Şekildeki $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinde $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$ ve $\angle B = \angle E = 90^\circ$ dir. $|AC| = (3x - 1)$ cm ve $|DF| = (x + 7)$ cm olduğuna göre, $x$ kaçtır?

A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $5$
E) $6$

Şekilde $AB \parallel DC$ olmak üzere $AD$ ve $BC$ doğruları $E$ noktasında kesişmektedir. $|AB| = 5$ cm, $|DC| = 8$ cm ve $|EC| = 12$ cm olduğuna göre, $|BE|$ kaç cm'dir?

A) $6$
B) $7.5$
C) $8$
D) $9$
E) $10$

10)

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ve benzerlik oranı $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{2}{3}$ tür. $\text{Alan}(\triangle ABC) = 24$ cm $^2$ olduğuna göre, $\text{Alan}(\triangle DEF)$ kaç cm $^2$ 'dir?

A) $36$
B) $48$
C) $54$
D) $64$
E) $72$

Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun

https://yazili.eokultv.com/test/1931-9-sinif-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-test-coz-p524