📌 10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Fonksiyonu Çalışma Notu
💡 Karesel Fonksiyon Nedir?
Matematikte, bir fonksiyonun karesel fonksiyon veya ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon olarak adlandırılması için \(a, b, c \in \mathbb{R}\) ve \(a eq 0\) olmak üzere, \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklinde bir ifadeye sahip olması gerekir. Bu tür fonksiyonların grafikleri, parabol adı verilen özel bir eğriyi oluşturur.
Tanım: \(a eq 0\) koşuluyla \(f(x) = ax^2 + bx + c\) formundaki fonksiyonlara karesel fonksiyon denir. Grafiği bir paraboldür.
🚀 Temel Karesel Referans Fonksiyonu: \(f(x) = x^2\)
Bu fonksiyon, tüm karesel fonksiyonların anlaşılması için bir referans noktasıdır. En basit karesel fonksiyondur ve diğer karesel fonksiyonların grafikleri, \(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiğinin çeşitli dönüşümlerle (öteleme, esneme, yansıma) elde edilmesiyle oluşur.
- Grafiği: Tepe noktası orijin (\(0,0\)) olan, kolları yukarı doğru açılan bir paraboldür. \(y\) -eksenine göre simetriktir.
- Tepe Noktası: Parabolün en alt (veya en üst) noktasıdır. \(f(x) = x^2\) için tepe noktası \(T(0,0)\) 'dır.
- Simetri Ekseni: Parabolü iki eşit parçaya ayıran doğrudur. \(f(x) = x^2\) için simetri ekseni \(x=0\) doğrusudur (\(y\) -ekseni).
- Tanım ve Değer Kümesi: Tanım kümesi tüm reel sayılar \(\mathbb{R}\) veya \((-∞, ∞)\) 'dur. Değer kümesi ise \([0, ∞)\) 'dur, çünkü \(x^2\) ifadesi hiçbir zaman negatif olamaz ve en küçük değeri \(x=0\) için \(0\) 'dır.
✅ Karesel Fonksiyonların Genel Formu: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Genel bir karesel fonksiyonun grafiği de paraboldür. \(a, b, c\) katsayıları parabolün şeklini, konumunu ve yönünü belirler.
- Kolların Yönü:
- Eğer \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda fonksiyonun bir en küçük değeri (minimum) vardır.
- Eğer \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu durumda fonksiyonun bir en büyük değeri (maksimum) vardır.
- Tepe Noktası Koordinatları: \(T(r, k)\) olarak gösterilir. Bu noktayı bulmak için aşağıdaki formüller kullanılır:
- \(r = -\frac{b}{2a}\) (Simetri ekseninin denklemi aynı zamanda)
- \(k = f(r)\) veya \(k = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{-\Delta}{4a}\) formülü ile bulunur.
- Simetri Ekseni: \(x = r = -\frac{b}{2a}\) doğrusudur. Parabol bu eksene göre simetriktir.
- Diskriminant (\(\Delta\)): \(\Delta = b^2 - 4ac\) formülü ile hesaplanır ve parabolün \(x\) -eksenini kaç noktada kestiğini gösterir:
- Eğer \(\Delta > 0\) ise parabol \(x\) -eksenini farklı iki noktada keser.
- Eğer \(\Delta = 0\) ise parabol \(x\) -eksenine teğettir (bir noktada keser).
- Eğer \(\Delta < 0\) ise parabol \(x\) -eksenini kesmez.
- \(y\) -eksenini Kestiği Nokta: \(x=0\) için \(f(0)=c\) olduğundan, parabol \(y\) -eksenini \((0, c)\) noktasında keser.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Soru: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını ve simetri eksenini bulunuz.
Çözüm: Verilen fonksiyonda \(a=1, b=-4, c=3\) değerleridir. Tepe noktasının \(r\) koordinatını bulalım:
\(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\).
Şimdi \(k\) koordinatını bulmak için \(r\) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
\(k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\).
Buna göre tepe noktası \(T(2, -1)\) 'dir. Simetri ekseni ise \(x = r\) olduğundan \(x = 2\) doğrusudur.
Örnek Soru 2:
Soru: \(g(x) = -x^2 + 2x + 8\) fonksiyonunun \(x\) -eksenini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm: \(x\) -eksenini kestiği noktaları bulmak için \(g(x) = 0\) denklemini çözmeliyiz:
\(-x^2 + 2x + 8 = 0\)
Denklemi daha kolay çözmek için her iki tarafı \(-1\) ile çarpalım:
\(x^2 - 2x - 8 = 0\)
Şimdi denklemi çarpanlarına ayıralım:
\((x-4)(x+2) = 0\)
Buradan \(x-4=0 \Rightarrow x_1 = 4\) ve \(x+2=0 \Rightarrow x_2 = -2\) bulunur.
Dolayısıyla parabol \(x\) -eksenini \((4,0)\) ve \((-2,0)\) noktalarında keser.
\(f(x) = -2x^2 + 4x - 1\) fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Kolları aşağı doğrudur.B) \(y\) -eksenini \((0, -1)\) noktasında keser.
C) Tepe noktasının apsisi \(1\) 'dir.
D) Maksimum değeri vardır.
E) Simetri ekseni \(x = -1\) 'dir.
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, -4)\)B) \((-3, 32)\)
C) \((6, 5)\)
D) \((0, 5)\)
E) \((3, 5)\)
Tepe noktası \(y\) -ekseninin sağında ve kolları aşağıya doğru olan bir \(y = ax^2 + bx + c\) parabolünün grafiği \(y\) -eksenini pozitif tarafta kesmektedir. Buna göre \(a, b, c\) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(-, +, +\)B) \(-, -, +\)
C) \(+, +, +\)
D) \(+, -, -\)
E) \(-, +, -\)
Tepe noktası \(T(2, 3)\) olan ve \((1, 5)\) noktasından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = 2(x-2)^2 + 3\)B) \(y = (x-2)^2 + 3\)
C) \(y = -2(x-2)^2 + 3\)
D) \(y = 2(x+2)^2 + 3\)
E) \(y = (x-1)^2 + 5\)
Bir malın alış fiyatı \(x\) TL, satış fiyatı \(y\) TL'dir. Alış ve satış fiyatı arasında \(y = -x^2 + 11x - 16\) bağıntısı olduğuna göre, bu maldan elde edilecek kârın en çok kaç TL olduğunu bulunuz.
A) \(5\)B) \(7\)
C) \(9\)
D) \(12\)
E) \(16\)
Karesel referans fonksiyonu \(f(x) = x^2\) için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Tepe noktası \(O(0,0)\) noktasıdır.B) Simetri ekseni \(y\) -eksenidir.
C) Görüntü kümesi \([0, ∞)\) aralığıdır.
D) \(x > 0\) için fonksiyon azalandır.
E) En küçük değeri \(0\) 'dır.
\(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği \(y\) -ekseni boyunca \(3\) birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(g(x) = x^2 - 3\)B) \(g(x) = x^2 + 3\)
C) \(g(x) = (x-3)^2\)
D) \(g(x) = (x+3)^2\)
E) \(g(x) = 3x^2\)
\(f(x) = (x-4)^2\) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları nedir?
A) \((0,4)\)B) \((-4,0)\)
C) \((4,0)\)
D) \((0,-4)\)
E) \((4,4)\)
\(f(x) = -2x^2\) fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tepe noktası \((0, -2)\) 'dir.B) Kolları yukarı doğrudur.
C) En küçük değeri \(0\) 'dır.
D) Simetri ekseni \(x = -2\) doğrusudur.
E) En büyük değeri \(0\) 'dır.
\(f(x) = 2(x+1)^2 - 5\) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları nedir?
A) \((1,-5)\)B) \((-1,5)\)
C) \((2,-5)\)
D) \((-1,-5)\)
E) \((1,5)\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2097-10-sinif-karesel-referans-fonksiyonu-test-coz-x4pi