📌 10. Sınıf Matematik Çalışma Notu: Sayılar Teorisi Temelleri
💡 Asal Çarpanlar ve Bölenler Arasındaki İlişki
Her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde tek bir şekilde yazılabilir. Bu ifadeye sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali denir. Örneğin, \(12\) sayısını ele alalım. \(12 = 2^2 \times 3^1\) şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
- Asal Çarpanlar: Bir sayıyı tam bölen asal sayılara denir. \(12\) sayısının asal çarpanları \(2\) ve \(3\) 'tür.
- Pozitif Bölen Sayısı (PBS): Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(A = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}\) ise, pozitif bölen sayısı \((a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)\) formülü ile bulunur.
- Örnek: \(12 = 2^2 \times 3^1\) sayısının PBS'si \((2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6\) 'dır. (Bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\))
- Pozitif Bölenlerin Toplamı: \( (1+p_1+...+p_1^{a_1}) \times (1+p_2+...+p_2^{a_2}) \times ... \times (1+p_k+...+p_k^{a_k}) \) formülü ile bulunur.
- Tam Bölen Sayısı (TBS): Pozitif bölen sayısının iki katıdır. TBS \(= 2 \times\) PBS.
🚀 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne ise EKOK denir. Bu kavramlar, günlük hayatta ve matematikte birçok problemin çözümünde kullanılır.
- EBOB Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
- EKOK Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır.
✅ Önemli Özellikler:
- İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir: \(a \times b = EBOB(a,b) \times EKOK(a,b)\).
- Aralarında asal olan iki sayının EBOB'u \(1\), EKOK'u ise bu sayıların çarpımıdır.
✅ Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma
Büyük sayıların belirli bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için bölünebilme kurallarını kullanmak pratik ve hızlı bir yöntemdir. Özellikle \(2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11\) gibi sayılar için özel kurallar mevcuttur.
💡 Hatırlatma: Bir sayının \(a\) 'ya bölümünden kalan \(k\) ise, bu sayı \(a \times q + k\) şeklinde ifade edilebilir. Burada \(q\) bölümü temsil eder. Kalan her zaman bölenden küçüktür (\(0 \le k < a\)).
- \(2\) ile Bölümünden Kalan: Sayının birler basamağına bakılır. Çift ise kalan \(0\), tek ise kalan \(1\) 'dir.
- \(3\) ile Bölümünden Kalan: Sayının rakamları toplamının \(3\) 'e bölümünden kalana eşittir.
- \(4\) ile Bölümünden Kalan: Sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının \(4\) 'e bölümünden kalana eşittir.
- \(5\) ile Bölümünden Kalan: Sayının birler basamağının \(5\) 'e bölümünden kalana eşittir.
- \(9\) ile Bölümünden Kalan: Sayının rakamları toplamının \(9\) 'a bölümünden kalana eşittir.
- \(10\) ile Bölümünden Kalan: Sayının birler basamağına eşittir.
- \(11\) ile Bölümünden Kalan: Sayının rakamları sağdan sola \(+,-,+,-,...\) şeklinde işaretlenerek toplanır. Elde edilen sonucun \(11\) 'e bölümünden kalana eşittir. (Negatif sonuç çıkarsa \(11\) 'in katları eklenerek pozitif hale getirilir.)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: Asal Çarpanlar ve Bölenler
Bir \(A\) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\) ise, bu sayının pozitif bölen sayısı kaçtır ve tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
- Pozitif Bölen Sayısı (PBS): Üsleri birer artırıp çarparız. \(PBS = (3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24\). Yani \(A\) sayısının \(24\) tane pozitif böleni vardır.
- Tam Bölenlerin Toplamı: Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı \(S\) ise, tam bölenlerinin toplamı her zaman \(0\) 'dır. Çünkü her pozitif bölen için bir de negatif bölen vardır ve bunlar birbirini götürür. \(1 + (-1) + 2 + (-2) + ... = 0\). (Eğer soru pozitif bölenlerin toplamını sorsaydı: \((1+2^1+2^2+2^3) \times (1+3^1+3^2) \times (1+5^1) = 15 \times 13 \times 6 = 1170\) olurdu.) Soru tam bölenlerin toplamını sorduğu için cevap \(0\) 'dır.
Örnek Soru 2: EBOB, EKOK ve Kalan Bulma
Bir sepetteki güller \(8\) 'erli veya \(12\) 'şerli sayıldığında her seferinde \(3\) gül artmaktadır. Sepetteki gül sayısının \(100\) ile \(150\) arasında olduğu bilindiğine göre, sepette kaç gül vardır?
Çözüm:
Sepetteki gül sayısı \(G\) olsun. \(G \equiv 3 \pmod{8}\) ve \(G \equiv 3 \pmod{12}\) ifadeleri bize \(G-3\) sayısının hem \(8\) 'in hem de \(12\) 'nin katı olduğunu gösterir. Yani \(G-3 = EKOK(8, 12) \times k\) (burada \(k\) bir doğal sayıdır).
Önce \(EKOK(8, 12)\) 'yi bulalım:
| Sayı | Asal Çarpanlar |
|---|---|
| \(8\) | \(2^3\) |
| \(12\) | \(2^2 \times 3^1\) |
\(EKOK(8, 12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24\).
O halde, \(G-3 = 24k\) ve \(G = 24k + 3\).
Şimdi \(G\) 'nin \(100\) ile \(150\) arasında olduğu bilgisini kullanalım:
\(100 < 24k + 3 < 150\)
\(97 < 24k < 147\)
\(k\) 'yı bulmak için eşitsizliği \(24\) 'e bölelim:
\(\frac{97}{24} < k < \frac{147}{24}\)
\(4.04... < k < 6.125\)
\(k\) bir doğal sayı olduğu için \(k\) değeri \(5\) veya \(6\) olabilir.
- Eğer \(k = 5\) ise, \(G = 24 \times 5 + 3 = 120 + 3 = 123\).
- Eğer \(k = 6\) ise, \(G = 24 \times 6 + 3 = 144 + 3 = 147\).
Her iki değer de \(100\) ile \(150\) arasındadır. Soru tek bir cevap gerektirmediği için, sepette \(123\) veya \(147\) gül olabilir.
Bir \(N\) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\) şeklindedir. \(a, b, c\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \(N\) sayısının \(48\) tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, \(a+b+c\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
E) \(12\)
\(N = 1800\) sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi \(6\) 'nın katıdır?
A) \(12\)B) \(15\)
C) \(18\)
D) \(21\)
E) \(24\)
İki basamaklı, birbirinden farklı \(A\) ve \(B\) doğal sayılarının asal çarpanları sadece \(2\) ve \(3\) 'tür. Buna göre \(A+B\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \(168\)B) \(172\)
C) \(177\)
D) \(180\)
E) \(182\)
\(A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\) ve \(B = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) sayıları veriliyor. Buna göre, \(Ebob(A,B) + Ekok(A,B)\) toplamı kaçtır?
A) \(2520\)B) \(2532\)
C) \(2544\)
D) \(2556\)
E) \(2568\)
Bir duraktan kalkan iki otobüsten biri \(45\) dakikada bir, diğeri \(60\) dakikada bir sefere çıkmaktadır. İki otobüs ilk kez saat \(07:00\) 'da birlikte sefere çıktıklarına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte sefere çıkarlar?
A) \(09:00\)B) \(09:30\)
C) \(10:00\)
D) \(10:30\)
E) \(11:00\)
Kenar uzunlukları \(96\) metre ve \(120\) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir tarla, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş büyüklükte kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenar uzunluğu tam sayı olduğuna göre, en az kaç adet parsel elde edilir?
A) \(15\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(24\)
E) \(30\)
Bir \(x\) doğal sayısı \(5\) 'e bölündüğünde \(3\), \(7\) 'ye bölündüğünde yine \(3\) kalanını vermektedir. Buna göre, \(x\) 'in alabileceği en küçük üç basamaklı değer kaçtır?
A) \(103\)B) \(108\)
C) \(113\)
D) \(118\)
E) \(123\)
\(123456789101112\) sayısının \(9\) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Dört basamaklı \(7A3B\) sayısı \(10\) ile tam bölünebilmektedir. Ayrıca bu sayı \(3\) ile de tam bölünebilmektedir. Buna göre, bu sayının \(4\) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)
E) \(4\)
Bir \(x\) doğal sayısı \(3\) ile bölündüğünde \(2\) kalanını, \(4\) ile bölündüğünde \(1\) kalanını vermektedir. Buna göre, \(x\) sayısının \(12\) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
\(A = 121212...12\) şeklinde, \(20\) tane \(12\) sayısının yan yana yazılmasıyla oluşan \(40\) basamaklı bir sayıdır. Buna göre \(A\) sayısının \(11\) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) \(1\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(7\)
E) \(9\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2183-10-sinif-bir-dogal-sayi-ile-asal-carpanlari-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler-ebob-ekok-ve-bolunebilme-ozelliklerini-kullanarak-kalan-bulma-test-coz-xlxr