📌 Geometrik Dönüşümler: Yansıma ve Öteleme
Sevgili öğrenciler, geometrik dönüşümler, bir şeklin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştirmeden uzaydaki yerini değiştiren işlemlerdir. Bu derste, iki temel dönüşüm olan öteleme ve yansıma dönüşümlerini detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
🚀 Öteleme Dönüşümü
💡 Öteleme Nedir?
Öteleme, bir şekli veya noktayı düzlemde belirli bir doğrultu ve yönde, belirli bir mesafe kadar kaydırma işlemidir. Şeklin boyutu ve yönü değişmez, sadece konumu değişir.
✅ Kurallar ve Özellikler
- Bir \(P(x,y)\) noktasının, \(a\) birim \(x\) -ekseni doğrultusunda (sağa veya sola) ve \(b\) birim \(y\) -ekseni doğrultusunda (yukarı veya aşağı) ötelenmesiyle oluşan yeni noktası \(P'(x',y')\) aşağıdaki gibi bulunur:
\(P(x,y) \to P'(x+a, y+b)\) - Eğer \(a>0\) ise sağa, \(a<0\) ise sola öteleme yapılır.
- Eğer \(b>0\) ise yukarı, \(b<0\) ise aşağı öteleme yapılır.
- Öteleme dönüşümü, bir şeklin tüm noktalarına aynı anda ve aynı miktarda uygulanır.
- Şeklin alanı, çevresi ve iç açıları öteleme sonucunda değişmez.
Önemli Not: Öteleme bir izometri dönüşümüdür. Yani şeklin biçimini ve boyutunu korur, sadece yerini değiştirir.
🚀 Yansıma Dönüşümü
💡 Yansıma Nedir?
Yansıma (simetri), bir şeklin veya noktanın belirli bir doğruya (yansıma ekseni) veya bir noktaya (yansıma merkezi) göre ayna görüntüsünü alma işlemidir. Yansıma sonucunda şeklin yönü değişir.
✅ Yansıma Eksenleri ve Kurallar
Bir \(P(x,y)\) noktasının farklı eksenlere göre yansıma kuralları şunlardır:
- \(x\) -eksenine göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(x,-y)\)
- \(y\) -eksenine göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(-x,y)\)
- Orijine (\(O(0,0)\)) göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(-x,-y)\)
- \(y=x\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(y,x)\)
- \(y=-x\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(-y,-x)\)
- \(x=k\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(2k-x,y)\)
- \(y=k\) doğrusuna göre yansıma: \(P(x,y) \to P'(x,2k-y)\)
Önemli Not: Yansıma da bir izometri dönüşümüdür. Şeklin boyutu değişmez, sadece yönü değişir ve ayna görüntüsü oluşur.
📌 Dönüşümlerin Birleşimi (Öteleme ve Yansıma)
Bir noktaya veya şekle birden fazla dönüşüm art arda uygulanabilir. Örneğin, önce öteleme sonra yansıma veya tam tersi yapılabilir. Bu sıralama sonucunu etkileyebilir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Öteleme
Soru: \(A(3,-2)\) noktasının, \(x\) -ekseni doğrultusunda \(4\) birim sağa ve \(y\) -ekseni doğrultusunda \(3\) birim yukarı ötelenmesiyle oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
\(A(x,y) = A(3,-2)\)
\(x\) -ekseni doğrultusunda \(4\) birim sağa öteleme demek, \(x\) koordinatına \(+4\) eklemek demektir. (\(a=4\))
\(y\) -ekseni doğrultusunda \(3\) birim yukarı öteleme demek, \(y\) koordinatına \(+3\) eklemek demektir. (\(b=3\))
Öteleme formülü: \(P(x,y) \to P'(x+a, y+b)\)
\(A(3,-2) \to A'(3+4, -2+3)\)
\(A' = (7,1)\)
Buna göre, \(A'\) noktasının koordinatları \((7,1)\) 'dir.
Örnek 2: Yansıma
Soru: \(B(-1,5)\) noktasının \(y\) -eksenine göre yansıması olan \(B'\) noktasının koordinatlarını ve ardından bu \(B'\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansıması olan \(B''\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Önce \(B(-1,5)\) noktasının \(y\) -eksenine göre yansımasını bulalım.
\(y\) -eksenine göre yansıma kuralı: \(P(x,y) \to P'(-x,y)\)
\(B(-1,5) \to B'(-(-1),5)\)
\(B' = (1,5)\)
Şimdi de \(B'(1,5)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansımasını bulalım.
\(y=x\) doğrusuna göre yansıma kuralı: \(P(x,y) \to P'(y,x)\)
\(B'(1,5) \to B''(5,1)\)
Buna göre, \(B''\) noktasının koordinatları \((5,1)\) 'dir.
Koordinat düzleminde verilen bir \(A(-3, 5)\) noktası, önce \(x\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(4\) birim, \(y\) -ekseni boyunca negatif yönde \(2\) birim öteleniyor. Elde edilen noktanın \(y\) -eksenine göre yansıması alındığında oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 3)\)B) \((-1, -3)\)
C) \((-1, 3)\)
D) \((1, -3)\)
E) \((-3, -1)\)
Koordinat düzleminde \(B(5, -2)\) noktası, önce \(y=x\) doğrusuna göre yansıtılıyor. Daha sonra elde edilen nokta, \(x\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(3\) birim ve \(y\) -ekseni boyunca negatif yönde \(1\) birim öteleniyor. Buna göre son durumda oluşan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Koordinat düzleminde \(C(-2, 6)\) noktası, önce \(x=1\) doğrusuna göre yansıtılıyor. Elde edilen \(C'\) noktası daha sonra \(\vec{v}=(-3, -2)\) öteleme vektörü kadar öteleniyor. Buna göre son durumda oluşan \(C''\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 4)\)B) \((-1, 4)\)
C) \((1, -4)\)
D) \((4, 1)\)
E) \((-4, -1)\)
Noktası \(A(3, -2)\) vektörü \(\vec{v} = (-4, 5)\) ile ötelenerek \(A'\) noktası elde ediliyor. Daha sonra \(A'\) noktası \(y\) -eksenine göre yansıtılarak \(A''\) noktası bulunuyor. Buna göre \(A''\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-1, 3)\)B) \((1, -3)\)
C) \((1, 3)\)
D) \((-1, -3)\)
E) \((3, 1)\)
Köşeleri \(A(2, 1)\), \(B(5, 3)\) ve \(C(1, 4)\) olan bir \(ABC\) üçgeni, \(y=x\) doğrusuna göre yansıtılıyor. Buna göre yansıyan \(A'\) köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 1)\)B) \((1, 2)\)
C) \((-2, -1)\)
D) \((-1, -2)\)
E) \((2, -1)\)
Noktası \(P(-3, 4)\) orijine göre yansıtılarak \(P'\) noktası elde ediliyor. Daha sonra \(P'\) noktası \(2\) birim sağa ve \(1\) birim aşağı öteleniyor. Buna göre son oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, -4)\)B) \((1, 3)\)
C) \((5, -5)\)
D) \((-5, 5)\)
E) \((-1, -3)\)
\(A(-2, 5)\) noktasının \(x\) ekseni boyunca pozitif yönde \(3\) birim ve \(y\) ekseni boyunca negatif yönde \(4\) birim ötelenmesiyle oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 1)\)B) \((-5, 9)\)
C) \((1, 9)\)
D) \((-5, 1)\)
E) \((1, -1)\)
\(B(4, -3)\) noktasının \(y\) eksenine göre yansıması olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((4, 3)\)B) \((-4, -3)\)
C) \((-4, 3)\)
D) \((3, -4)\)
E) \((-3, 4)\)
\(C(2, -1)\) noktasının önce \(x\) eksenine göre yansıması alınıyor, ardından oluşan yeni nokta \(x\) ekseni boyunca negatif yönde \(1\) birim ve \(y\) ekseni boyunca pozitif yönde \(2\) birim öteleniyor. Son durumda oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 3)\)B) \((3, 3)\)
C) \((1, 1)\)
D) \((3, 1)\)
E) \((1, -1)\)
Koordinat düzleminde verilen bir \(A(-2, 5)\) noktası, \(x\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(4\) birim ve \(y\) -ekseni boyunca negatif yönde \(3\) birim öteleniyor. Buna göre, öteleme sonucunda elde edilen \(A'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 2)\)B) \((-6, 8)\)
C) \((2, 8)\)
D) \((-6, 2)\)
E) \((1, 3)\)
Koordinat düzleminde \(B(3, -4)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre yansıması \(B'\) noktasıdır. Buna göre \(B'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-3, 4)\)B) \((3, 4)\)
C) \((-4, 3)\)
D) \((4, -3)\)
E) \((-3, -4)\)
Bir \(C(1, -2)\) noktası önce \(x\) -eksenine göre yansıtılıyor, ardından elde edilen nokta \(y\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(3\) birim öteleniyor. Son durumda oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 1)\)B) \((-1, 1)\)
C) \((1, 5)\)
D) \((-1, 5)\)
E) \((4, -2)\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2185-9-sinif-yansima-ve-oteleme-donusumleri-test-coz-ovfj