📌 Parabol
Parabol Tanımı ve Özellikleri
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir fonksiyonun grafiğine parabol denir. Genel gösterimi \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindedir, burada \(a, b, c\) birer reel sayı ve \(a e 0\) olmalıdır.
- Kolların Yönü: Parabolün kolları, \(a\) katsayısının işaretine göre belirlenir.
- Eğer \(a > 0\) ise, parabolün kolları yukarı doğrudur (Gülümseyen yüz 🙂).
- Eğer \(a < 0\) ise, parabolün kolları aşağı doğrudur (Somurtan yüz ☹️).
- Tepe Noktası: Parabolün en yüksek veya en düşük noktasına tepe noktası denir. \(T(r, k)\) ile gösterilir.
💡 Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Parabolün tepe noktasının koordinatları \(T(r, k)\) formülüyle bulunur:
- \(r = -\frac{b}{2a}\) (Simetri ekseninin denklemi: \(x = r\))
- \(k = f(r)\) (Tepe noktasının ordinatı)
Parabol, \(x = r\) doğrusuna göre simetriktir. Yani bu doğru, parabolü iki eşit parçaya böler.
| \(a\) Katsayısının İşareti | Parabolün Kolları | Tepe Noktası |
|---|---|---|
| \(a > 0\) | Yukarı doğru | Minimum nokta |
| \(a < 0\) | Aşağı doğru | Maksimum nokta |
🚀 Karekök Fonksiyon
Tanım Kümesi
Karekök fonksiyonları genellikle \(f(x) = \sqrt{g(x)}\) şeklinde ifade edilir. Bu tür fonksiyonların tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Yani, \(g(x) \ge 0\) olmalıdır. Bu eşitsizliği sağlayan \(x\) değerleri, fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.
- Örneğin, \(f(x) = \sqrt{x-3}\) fonksiyonunun tanım kümesi için \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\) olmalıdır. Yani tanım kümesi \([3, ∞)\) 'dur.
✅ Rasyonel Fonksiyon
Tanım Kümesi ve Asimptotlar
Rasyonel fonksiyonlar, iki polinomun oranı şeklinde yazılan fonksiyonlardır: \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\).
- Tanım Kümesi: Paydayı sıfır yapan \(x\) değerleri fonksiyonu tanımsız yapar. Bu nedenle, \(Q(x) e 0\) olmalıdır. Tanım kümesi, reel sayılardan paydayı sıfır yapan değerlerin çıkarılmasıyla elde edilir.
- Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan ancak payı sıfır yapmayan \(x\) değerleri düşey asimptotları oluşturur. Yani, \(Q(x)=0\) ve \(P(x) e 0\) ise \(x=k\) bir düşey asimptottur.
- Yatay Asimptot: Pay ve paydadaki polinomların derecelerine göre belirlenir.
- Derece(\(P(x)\)) < Derece(\(Q(x)\)) ise yatay asimptot \(y=0\) (x ekseni) olur.
- Derece(\(P(x)\)) \(=\) Derece(\(Q(x)\)) ise yatay asimptot, baş katsayıların oranıdır. Örneğin \(f(x) = \frac{ax^n + ...}{bx^n + ...}\) için \(y = \frac{a}{b}\).
- Derece(\(P(x)\)) > Derece(\(Q(x)\)) ise yatay asimptot yoktur (eğik veya eğri asimptot olabilir ama 10. sınıf müfredatında genellikle yatay asimptot yoktur denir).
💡 Ters Fonksiyon
Ters Fonksiyonun Tanımı ve Bulunması
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir ve örten olması gerekir. Bir \(f: A \to B\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}: B \to A\) şeklinde gösterilir.
- Eğer \((a, b) \in f\) ise, o zaman \((b, a) \in f^{-1}\) 'dir.
- Ters Fonksiyon Bulma Adımları:
- \(y = f(x)\) yazılır.
- \(x\) yalnız bırakılır (yani \(x\) 'i \(y\) cinsinden ifade edilir).
- \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazılarak ters fonksiyon elde edilir.
- Örneğin, \(f(x) = 3x - 5\) fonksiyonunun tersi için:
- \(y = 3x - 5\)
- \(y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3}\)
- \(f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Parabol
Soru: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ve grafik kollarının yönünü belirtiniz.
Çözüm:
Verilen fonksiyon \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) şeklindedir. Burada \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\) değerleridir.
- Kolların Yönü: \(a=1\) olduğu için \(a > 0\) 'dır. Bu durumda parabolün kolları yukarı doğrudur.
- Tepe Noktası (\(T(r, k)\)):
- \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = 2\)
- \(k = f(r) = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
Dolayısıyla, parabolün tepe noktasının koordinatları \(T(2, -1)\) 'dir.
Örnek 2: Ters Fonksiyon
Soru: \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu (\(f^{-1}(x)\)) bulunuz.
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için adımları takip edelim:
- \(y = \frac{2x+1}{x-3}\)
- \(y(x-3) = 2x+1\)
- \(yx - 3y = 2x+1\)
- \(yx - 2x = 3y+1\)
- \(x(y-2) = 3y+1\)
- \(x = \frac{3y+1}{y-2}\)
- Şimdi \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazalım: \(f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\)
Ters fonksiyon \(f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}\) 'dir. Ayrıca, \(f(x)\) 'in tanım kümesi \(x e 3\) ve değer kümesi \(y e 2\) (yatay asimptot \(y=2\) olduğundan) iken, \(f^{-1}(x)\) 'in tanım kümesi \(x e 2\) ve değer kümesi \(y e 3\) olur. Bu da ters fonksiyonun kuralıyla uyumludur.
\(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) parabolünün tepe noktasının koordinatları ve kollarının yönü aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tepe noktası \((2, 1)\), kollar yukarı doğruB) Tepe noktası \((-2, -15)\), kollar aşağı doğru
C) Tepe noktası \((2, 1)\), kollar aşağı doğru
D) Tepe noktası \((-2, -15)\), kollar yukarı doğru
E) Tepe noktası \((1, 2)\), kollar aşağı doğru
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) parabolünün \(x\) -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
\(f(x) = 2x^2 - 8x + 10\) parabolünün alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Tepe noktası \(T(0, 2)\) olan ve \((1, 3)\) noktasından geçen parabolün denklemi \(y = ax^2 + bx + c\) olduğuna göre, \(a + b + c\) toplamı kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(f(x) = \sqrt{2x - 8}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([4, ∞)\)B) \((4, ∞)\)
C) \((-∞, 4]\)
D) \([0, ∞)\)
E) \((-∞, ∞)\)
\(f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 9}\) fonksiyonu için \(f(-5)\) değeri kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(f(x) = \sqrt{x+4} - 1\) fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Başlangıç noktası \((4, -1)\) 'dir.B) Görüntü kümesi \([1, ∞)\) 'dur.
C) \(x\) -eksenini \((-3, 0)\) noktasında keser.
D) \(y\) -eksenini \((0, -1)\) noktasında keser.
E) Tanım kümesi \((-∞, -4]\) 'tür.
\(\sqrt{x+5} = x-1\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(f(x) = \frac{2x+5}{x^2-5x+6}\) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\mathbb{R} \setminus \{2, 3\}\)B) \(\mathbb{R} \setminus \{-2, -3\}\)
C) \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
D) \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)
E) \(\mathbb{R}\)
\(\frac{x^2-4}{x^2+x-6}\) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? (\(x\) değerleri ifadeyi tanımsız yapmamaktadır.)
A) \(\frac{x-2}{x+3}\)B) \(\frac{x+2}{x-3}\)
C) \(\frac{x+2}{x+3}\)
D) \(\frac{x-2}{x-3}\)
E) \(\frac{x+4}{x-6}\)
\(\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-1}\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (\(x
eq -1\) ve \(x
eq 1\))
B) \(\frac{x+5}{x^2-1}\)
C) \(\frac{x-1}{x^2-1}\)
D) \(\frac{1}{x^2-1}\)
E) \(\frac{5}{x^2-1}\)
\(x
eq 3\) ve \(x
eq -3\) olmak üzere, \(f(x) = \frac{x^2-2x-3}{x^2-9}\) rasyonel fonksiyonu için \(f(5)\) değeri kaçtır?
B) \(\frac{6}{8}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{5}{8}\)
E) \(\frac{2}{3}\)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 4x - 7\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(f^{-1}(x)\) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{4}\)B) \(f^{-1}(x) = \frac{x-7}{4}\)
C) \(f^{-1}(x) = 4x+7\)
D) \(f^{-1}(x) = \frac{x}{4} - 7\)
E) \(f^{-1}(x) = 7x - 4\)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = \frac{3x+5}{x-2}\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) aşağıdakilerden hangisidir? (Tanım kümesi ve değer kümesi ters fonksiyon için uygun aralıklardır.)
A) \(f^{-1}(x) = \frac{2x+5}{x-3}\)B) \(f^{-1}(x) = \frac{2x-5}{x+3}\)
C) \(f^{-1}(x) = \frac{-2x+5}{x-3}\)
D) \(f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3x-2}\)
E) \(f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{x+5}\)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 5x - 3\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(f^{-1}(12)\) değeri kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(f: [2, ∞) \to [0, ∞)\) olmak üzere, \(f(x) = \sqrt{x-2}\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(f^{-1}(x) = x^2+2\)B) \(f^{-1}(x) = x^2-2\)
C) \(f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}\)
D) \(f^{-1}(x) = (x+2)^2\)
E) \(f^{-1}(x) = 2x^2\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2194-10-sinif-parabol-karekok-fonksiyon-rasyonel-fonksiyon-ve-ters-fonksiyon-test-coz-etkx