📌 9. Sınıf Matematik Sınav Çalışma Notları 📌
Sevgili öğrenciler, bu çalışma notu \(9\). sınıf matematik dersinde karşılaşacağınız Üçgende Açı Kenar İlişkisi, Geometrik Dönüşümler ve Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik konularını pekiştirmeniz için hazırlanmıştır. Sınavda başarılar dileriz! 🚀
1. Üçgende Açı Kenar İlişkisi
Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarları gören açıların ölçüleri arasında önemli ilişkiler bulunur. Bu ilişkiler, üçgenin şeklini ve özelliklerini anlamamızda bize yardımcı olur.
- Büyük Açı Karşısında Büyük Kenar: Bir üçgende, ölçüsü büyük olan açının karşısında uzun kenar, ölçüsü küçük olan açının karşısında ise kısa kenar bulunur. Tersine, uzun kenarın karşısındaki açı büyük, kısa kenarın karşısındaki açı küçüktür. Örneğin, \(\triangle ABC\) 'de eğer \(\text{m}(\hat{A}) > \text{m}(\hat{B}) > \text{m}(\hat{C})\) ise, kenar uzunlukları arasında \(a > b > c\) ilişkisi vardır.
- Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Yani, kenarları \(a\), \(b\), \(c\) olan bir üçgen için:
- \(|b - c| < a < b + c\)
- \(|a - c| < b < a + c\)
- \(|a - b| < c < a + b\)
- Dik Açılı Üçgenlerde Kenar İlişkisi: Bir dik üçgende en uzun kenar, dik açının karşısındaki kenar olan hipotenüstür. Diğer iki kenara ise dik kenarlar denir. Pisagor teoremi de bu üçgende kenar ilişkisini verir: \(a^2 + b^2 = c^2\) (burada \(c\) hipotenüs).
💡 Unutmayın: Üçgen eşitsizliği, verilen üç kenar uzunluğunun bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmenin temel yoludur.
2. Geometrik Dönüşümler
Geometrik dönüşümler, bir şeklin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren işlemlerdir. Bu dönüşümler genellikle şeklin temel özelliklerini (kenar uzunlukları, açı ölçüleri) korur.
- Öteleme (Kaydırma): Bir şeklin belirli bir doğrultuda ve belirli bir miktarda kaydırılması işlemidir. Şeklin boyutu ve yönü değişmez, sadece konumu değişir. Bir noktanın \((x, y)\) koordinatları, \(a\) birim sağa (veya sola) ve \(b\) birim yukarı (veya aşağı) ötelendiğinde \((x+a, y+b)\) olur.
- Yansıma (Simetri): Bir şeklin bir doğruya (yansıma ekseni) veya bir noktaya (yansıma merkezi) göre ayna görüntüsünün alınmasıdır. Yansıma sonucunda şeklin yönü değişirken, boyutu ve şekli korunur.
- \(x\) -eksenine göre yansıma: \((x, y) \to (x, -y)\)
- \(y\) -eksenine göre yansıma: \((x, y) \to (-x, y)\)
- Orijine göre yansıma: \((x, y) \to (-x, -y)\)
- Dönme (Rotasyon): Bir şeklin belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı (dönme açısı) ile döndürülmesi işlemidir. Şeklin boyutu ve şekli korunur, konumu ve yönü değişebilir. Dönme genellikle saat yönünün tersine pozitif kabul edilir.
- Orijin etrafında \(90^{\circ}\) dönme: \((x, y) \to (-y, x)\)
- Orijin etrafında \(180^{\circ}\) dönme: \((x, y) \to (-x, -y)\)
- Orijin etrafında \(270^{\circ}\) dönme: \((x, y) \to (y, -x)\)
3. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik
Üçgenlerin eşliği ve benzerliği, geometride şekiller arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlayan temel kavramlardır.
3.1. Üçgenlerde Eşlik (\(\cong\))
İki üçgenin eş olması demek, karşılıklı kenarlarının uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olması demektir. Eş üçgenler, üst üste konulduğunda tam olarak çakışır. Eşlik sembolü ' \(\,\cong\) ' şeklindedir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı eşitse, bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşitse, bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarının uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir.
- Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarı eşitse, bu üçgenler eştir.
3.2. Üçgenlerde Benzerlik (\(\sim\))
İki üçgenin benzer olması demek, karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranları (benzerlik oranı) sabit olması demektir. Benzer üçgenler, aynı şekle sahip ancak farklı boyutlarda olabilirler. Benzerlik sembolü ' \(\,\sim\) ' şeklindedir.
Benzerlik oranına benzerlik sabiti denir ve genellikle \(k\) ile gösterilir. Eğer \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ise:
- Karşılıklı açıları eşittir: \(\text{m}(\hat{A}) = \text{m}(\hat{D})\), \(\text{m}(\hat{B}) = \text{m}(\hat{E})\), \(\text{m}(\hat{C}) = \text{m}(\hat{F})\)
- Karşılıklı kenarları orantılıdır: \(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|CA|}{|FD|} = k\)
Benzerlik Kuralları:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları oranı eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarının uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
Benzer Üçgenlerde Alan ve Çevre İlişkisi:
- Çevrelerinin oranı, benzerlik oranına eşittir: \(\frac{\text{Çevre}(\triangle ABC)}{\text{Çevre}(\triangle DEF)} = k\)
- Alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: \(\frac{\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle DEF)} = k^2\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: Üçgende Açı Kenar İlişkisi
Bir \(\triangle ABC\) 'de \(\text{m}(\hat{A}) = 70^{\circ}\) ve \(\text{m}(\hat{B}) = 50^{\circ}\) olduğuna göre, kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Öncelikle üçüncü açının ölçüsünü bulalım: \(\text{m}(\hat{C}) = 180^{\circ} - (\text{m}(\hat{A}) + \text{m}(\hat{B})) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
Şimdi açıları sıralayalım: \(\text{m}(\hat{B}) < \text{m}(\hat{C}) < \text{m}(\hat{A})\) yani \(50^{\circ} < 60^{\circ} < 70^{\circ}\).
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre, kenarları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
- \(\hat{B}\) açısının karşısındaki kenar \(b\) (veya \(|AC|\)).
- \(\hat{C}\) açısının karşısındaki kenar \(c\) (veya \(|AB|\)).
- \(\hat{A}\) açısının karşısındaki kenar \(a\) (veya \(|BC|\)).
Dolayısıyla, kenar uzunlukları arasındaki ilişki \(b < c < a\) şeklindedir. ✅
Örnek Soru 2: Üçgenlerde Benzerlik
Şekildeki \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri benzerdir (\(\,\triangle ABC \sim \triangle DEF\)). Eğer \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 9\) cm, \(|DE| = 4\) cm ve \(\text{m}(\hat{B}) = \text{m}(\hat{E}) = 80^{\circ}\) ise, \(|EF|\) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Üçgenler benzer olduğu için karşılıklı kenarların oranları eşittir.
\(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|}\)
Verilen değerleri yerine yazalım:
\(\frac{6}{4} = \frac{9}{|EF|}\)
Benzerlik oranı \(k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) 'dir.
Şimdi \(|EF|\) uzunluğunu bulmak için denklemi çözelim:
\(\frac{3}{2} = \frac{9}{|EF|}\)
\(3 \cdot |EF| = 2 \cdot 9\)
\(3 \cdot |EF| = 18\)
\(|EF| = \frac{18}{3}\)
\(|EF| = 6\) cm. ✅
Bir \(ABC\) üçgeninde \(\angle A = 60^\circ\) ve \(\angle B = 80^\circ\) olduğuna göre, üçgenin kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\) arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (\(a\), \(\angle A\) karşısındaki kenar, \(b\), \(\angle B\) karşısındaki kenar ve \(c\), \(\angle C\) karşısındaki kenardır.)
A) \(a < b < c\)B) \(c < a < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(a < c < b\)
E) \(c < b < a\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(BC\) kenarının uzunluğu \(a = 7 \text{ cm}\), \(AC\) kenarının uzunluğu \(b = 10 \text{ cm}\) 'dir. Eğer \(\angle C > 90^\circ\) ise, \(AB\) kenarının uzunluğu olan \(c\) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \(3 < c < 17\)B) \(12 < c < 17\)
C) \(\sqrt{149} < c < 17\)
D) \(10 < c < \sqrt{149}\)
E) \(7 < c < 12\)
Yandaki şekilde, \(D\) noktası \(BC\) kenarı üzerindedir. \(\angle BAD = 30^\circ\), \(\angle CAD = 40^\circ\) ve \(\angle ABC = 70^\circ\) olduğuna göre, aşağıdaki kenar uzunlukları sıralamalarından hangisi doğrudur?
A) \(BD < AD = CD < AC\)B) \(AD < BD < CD < AC\)
C) \(CD < BD < AD < AC\)
D) \(AC < AD = CD < BD\)
E) \(BD < CD < AC < AD\)
Koordinat düzleminde verilen \(A(3, -2)\) noktasının \(x\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(5\) birim ve \(y\) -ekseni boyunca pozitif yönde \(3\) birim ötelenmesiyle oluşan yeni nokta \(A'\) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(A'(8, 1)\)B) \(A'(8, -5)\)
C) \(A'(-2, 1)\)
D) \(A'(-2, -5)\)
E) \(A'(6, 1)\)
Analitik düzlemde verilen \(B(-4, 7)\) noktasının \(x\) -eksenine göre yansıması olan \(B'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(B'(4, 7)\)B) \(B'(-4, -7)\)
C) \(B'(4, -7)\)
D) \(B'(7, -4)\)
E) \(B'(-7, 4)\)
Koordinat düzleminde \(C(2, -5)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen \(C'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(C'(5, 2)\)B) \(C'(-5, -2)\)
C) \(C'(-2, 5)\)
D) \(C'(2, 5)\)
E) \(C'(5, -2)\)
Şekilde verilen \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri eş üçgenlerdir. \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(m(\angle ABC) = m(\angle DEF)\) olduğu bilinmektedir. \(m(\angle ABC) = 70^\circ\), \(m(\angle BAC) = 50^\circ\). \(m(\angle EDF) = (2x-30)^\circ\), \(|DF| = (y+4)\) cm ve \(|AC| = 12\) cm olduğuna göre, \(x+y\) kaçtır?
A) \(48\)B) \(50\)
C) \(52\)
D) \(54\)
E) \(56\)
Şekildeki \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(D \in [AB]\) ve \(E \in [AC]\) noktaları sırasıyla \(AB\) ve \(AC\) kenarları üzerindedir. \(DE \parallel BC\) 'dir. \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|DE| = 8\) cm olduğuna göre, \(|BC|\) kaç cm'dir?
A) \(16\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(22\)
E) \(24\)
Şekildeki \(ABC\) ve \(DEC\) üçgenlerinde \(AB \parallel DE\) 'dir. \(|AB| = 9\) cm, \(|DE| = 6\) cm, \(|AC| = 12\) cm olduğuna göre, \(|CE|\) kaç cm'dir?
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(\angle A = 70^\circ\) ve \(\angle B = 50^\circ\) olduğuna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < c < a\)
D) \(c < b < a\)
E) \(c < a < b\)
Bir üçgenin iki kenar uzunluğu \(5\) cm ve \(12\) cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, bu kenar kaç farklı değer alabilir?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(11\)
Yandaki şekilde verilenlere göre, en uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir? (Not: Şekil çizilmemiştir, ancak verilen açılarla birleştirilmiş iki üçgen kastedilmektedir.) \(\triangle ABC\) ve \(\triangle ACD\) üçgenlerinde: \(\angle BAC = 60^\circ\) \(\angle ABC = 70^\circ\) \(\angle CAD = 40^\circ\) \(\angle ACD = 80^\circ\)
A) \(AB\)B) \(BC\)
C) \(AC\)
D) \(CD\)
E) \(AD\)
Koordinat düzleminde \(A(-2, 5)\) noktası, \(\vec{v} = (3, -4)\) vektörü doğrultusunda öteleniyor. Buna göre, yeni \(A'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 1)\)B) \((1, 9)\)
C) \((-5, 1)\)
D) \((-1, 1)\)
E) \((5, -2)\)
Koordinat düzleminde \(B(4, -3)\) noktasının \(x\) -eksenine göre yansıması alındığında oluşan \(B'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((4, 3)\)B) \((-4, -3)\)
C) \((-4, 3)\)
D) \((3, 4)\)
E) \((-3, -4)\)
Koordinat düzleminde \(C(2, -1)\) noktası, orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülüyor. Buna göre, yeni \(C'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 2)\)B) \((-1, -2)\)
C) \((-2, 1)\)
D) \((2, 1)\)
E) \((-2, -1)\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(D \in [AB]\) ve \(E \in [AC]\) olmak üzere \([DE] \parallel [BC]\) 'dir. Eğer \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = 6\) birim ve \(|AE| = 3\) birim ise, \(|EC|\) kaç birimdir?
A) \(4.5\)B) \(3.5\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7.5\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeni ile bir \(\triangle DEF\) üçgeni veriliyor. Eğer \(|AB| = |DE| = 7\) cm, \(|BC| = |EF| = 5\) cm ve \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ\) ise, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\)B) \(|AC| = |DF|\)
C) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (benzerdir)
D) \(m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})\)
E) Hepsi
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde \([DE] \parallel [BC]\) olmak üzere \(D \in [AB]\) ve \(E \in [AC]\) 'dir. Eğer \(|AD| = 3\) birim ve \(|DB| = 2\) birim ise, \(\frac{\text{Alan}(\triangle ADE)}{\text{Alan}(\text{BCED dörtgeni})}\) oranı kaçtır?
A) \(\frac{9}{16}\)B) \(\frac{9}{25}\)
C) \(\frac{3}{5}\)
D) \(\frac{9}{4}\)
E) \(\frac{16}{25}\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2271-9-sinif-ucgende-aci-kenar-iliskisi-geometrik-donusumler-ve-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-test-coz-cu37