📌 Kareköklü Sayılar: LGS İçin Temel Rehberin!
Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri, LGS yolculuğunuzda kareköklü sayılar konusu, matematik bölümünün kilit taşlarından biridir. Bu notlar, konuyu en iyi şekilde anlamanıza ve pekiştirmenize yardımcı olmak için hazırlandı. Haydi başlayalım! 🚀
💡 Karekök Nedir?
Bir sayının karekökü, o sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Sembolü " \(\sqrt{\quad}\) " şeklindedir. Örneğin, alanı \(25\text{ cm}^2\) olan bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için \(25\) 'in karekökünü alırız. Bu da \(\sqrt{25} = 5\) demektir. Çünkü \(5 \times 5 = 5^2 = 25\) 'tir.
- Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Örneğin, \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\) gibi sayılar tam kare sayılardır. Bu sayıların karekökleri birer tam sayıdır.
- Tam Kare Olmayan Sayılar: Karekökü bir tam sayı olmayan sayılardır. Örneğin, \(\sqrt{2}, \sqrt{7}, \sqrt{10}\) gibi sayılar tam kare değildir ve değerleri yaklaşık olarak bulunur.
✅ Kareköklü Bir Sayıyı \(a\sqrt{b}\) Şeklinde Yazma
Tam kare olmayan bir sayının karekökünü, bir kısmı kök dışına çıkacak şekilde \(a\sqrt{b}\) formunda yazabiliriz. Bunun için kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırırız ve tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarırız.
Kural: \(\sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b}\)
Örnek:
- \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
✅ \(a\sqrt{b}\) Şeklindeki Bir Sayıyı Kök İçine Alma
Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için, o sayının karesini alıp kök içindeki sayıyla çarparız.
Kural: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\)
Örnek:
- \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
- \(2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}\)
➕➖ Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Kareköklü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için, kök içindeki sayılarının aynı olması gerekir. Kök içleri aynı ise, kök dışındaki katsayılar toplanır veya çıkarılır, kök içi aynen yazılır.
Kural: \(a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}\) ve \(a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}\)
Örnek:
- \(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
- \(8\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (8-3)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
- \(\sqrt{18} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) (Önce kök dışına çıkarma yapıldı!)
✖️➗ Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri
Kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde kök içindeki sayıların aynı olması gerekmez. Kök dışındakiler kendi arasında, kök içindekiler kendi arasında çarpılır veya bölünür.
Çarpma Kuralı: \(a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y}\)
Bölme Kuralı: \(\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}}\)
Örnek:
- \(3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{5} = (3 \cdot 4)\sqrt{2 \cdot 5} = 12\sqrt{10}\)
- \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
- \(\frac{10\sqrt{15}}{5\sqrt{3}} = \frac{10}{5}\sqrt{\frac{15}{3}} = 2\sqrt{5}\)
📈 Ondalık İfadelerin Karekökü
Ondalık gösterimleri karekök içine alırken önce kesir olarak yazarız, sonra pay ve paydanın ayrı ayrı karekökünü alırız.
Kural: \(\sqrt{0.ab} = \sqrt{\frac{ab}{100}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{ab}}{10}\)
Örnek:
- \(\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3\)
- \(\sqrt{1.44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1.2\)
📚 Gerçek (Reel) Sayılar
Sayı kümeleri ve kareköklü sayılar arasındaki ilişkiyi bilmek önemlidir.
- Rasyonel Sayılar (Q): \(a/b\) şeklinde yazılabilen sayılardır (\(b eq 0\)). Tam sayılar, doğal sayılar, ondalık sayılar (sonlu veya devirli) rasyonel sayılardır. Örneğin: \(5, -3, 0, \frac{1}{2}, 0.75, 1.\overline{3}\).
- İrrasyonel Sayılar (I): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani \(a/b\) şeklinde yazılamayan, virgülden sonrası düzensiz bir şekilde sonsuza giden sayılardır. Tam kare olmayan sayıların karekökleri (\(\sqrt{2}, \sqrt{7}\)), \(π\) (pi sayısı) irrasyonel sayılara örnektir.
- Gerçek (Reel) Sayılar (R): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki her noktaya karşılık gelen bir gerçek sayı vardır.
| Sayı Türü | Örnek | Açıklama |
|---|---|---|
| Doğal Sayılar (N) | \(0, 1, 2, ...\) | Sayma sayıları ve \(0\). |
| Tam Sayılar (Z) | \(... -2, -1, 0, 1, 2, ...\) | Doğal sayılar ve negatifleri. |
| Rasyonel Sayılar (Q) | \(\frac{1}{3}, -0.5, 7\) | \(a/b\) şeklinde yazılabilenler. |
| İrrasyonel Sayılar (I) | \(\sqrt{3}, π\) | Rasyonel olmayanlar. |
| Gerçek Sayılar (R) | Tüm yukarıdakiler | Sayı doğrusundaki tüm sayılar. |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
İşleminin sonucunu bulunuz: \(\sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{75}\)
Çözüm:
Öncelikle her bir kareköklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:
- \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
Şimdi ifadeleri yerine yazıp toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:
\(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (4+3-5)\sqrt{3} = (7-5)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
Sonuç: \(2\sqrt{3}\)
Örnek Soru 2:
Alanı \(0.81\text{ m}^2\) olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresini hesaplayınız.
Çözüm:
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Bir kenar uzunluğuna \(a\) diyelim. Alan \(A = a^2\) olduğundan, \(a = \sqrt{A}\) olacaktır.
\(a = \sqrt{0.81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0.9\) metre.
Karenin bir kenar uzunluğu \(0.9\) metredir.
Karenin çevresi, \(4\) kenar uzunluğunun toplamıdır: Çevre \(= 4 \times a\).
Çevre \(= 4 \times 0.9 = 3.6\) metre.
Sonuç: Karenin çevresi \(3.6\) metredir.
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir irrasyonel sayıdır?
A) \(\sqrt{16}\)B) \(\sqrt{0.25}\)
C) \(\sqrt{1.44}\)
D) \(\sqrt{20}\)
Alanı \(72 \text{ cm}^2\) olan bir karenin bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?
A) \(3\sqrt{8}\)B) \(6\sqrt{2}\)
C) \(2\sqrt{18}\)
D) \(4\sqrt{3}\)
\((\sqrt{12} + \sqrt{3}) \times \sqrt{27}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(27\)B) \(18\)
C) \(9\sqrt{3}\)
D) \(6\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}} + \sqrt{0.09}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(9.3\)B) \(9.03\)
C) \(9.6\)
D) \(10.3\)
Bir kenar uzunluğu \(\sqrt{12800} \text{ cm}\) olan kare şeklindeki bir tarlanın çevresine \(2\) sıra tel çekilecektir. Buna göre kaç metre tel gereklidir? (\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\))
A) \(3.2\sqrt{2}\)B) \(6.4\sqrt{2}\)
C) \(12.8\sqrt{2}\)
D) \(1.6\sqrt{2}\)
İşleminin sonucu kaçtır? \(\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{12}\)
A) \(6\sqrt{3}\)B) \(7\sqrt{3}\)
C) \(8\sqrt{3}\)
D) \(9\sqrt{3}\)
Alanı \(128 \text{ cm}^2\) olan bir karenin bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?
A) \(4\sqrt{2}\)B) \(6\sqrt{2}\)
C) \(8\sqrt{2}\)
D) \(16\sqrt{2}\)
Aşağıdaki sayılardan hangisi \(2\sqrt{18}\) sayısına eşit değildir?
A) \(3\sqrt{8}\)B) \(6\sqrt{2}\)
C) \(\sqrt{72}\)
D) \(4\sqrt{2}\)
Sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? \(5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{5}\), \(\sqrt{48}\)
A) \(\sqrt{48} < 3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)B) \(3\sqrt{5} < \sqrt{48} < 5\sqrt{2}\)
C) \(5\sqrt{2} < \sqrt{48} < 3\sqrt{5}\)
D) \(\sqrt{48} < 5\sqrt{2} < 3\sqrt{5}\)
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir irrasyonel sayıdır?
A) \(\sqrt{0.36}\)B) \(\sqrt{1.21}\)
C) \(\sqrt{196}\)
D) \(\sqrt{20}\)
Sayı doğrusu üzerinde \(\sqrt{108}\) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğu doğru verilmiştir?
A) \(10\) ile \(11\)B) \(11\) ile \(12\)
C) \(12\) ile \(13\)
D) \(13\) ile \(14\)
\(\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{48}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(3\sqrt{3}\)B) \(4\sqrt{3}\)
C) \(5\sqrt{3}\)
D) \(6\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{1.44} \times \sqrt{0.81}}{\sqrt{0.36}}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(1.2\)B) \(1.8\)
C) \(2.4\)
D) \(3.6\)
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir irrasyonel sayıdır?
A) \(\sqrt{169}\)B) \(0.333...\)
C) \(2\sqrt{5}\)
D) \(\frac{7}{2}\)
Alanı \(192 \text{ m}^2\) olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir?
A) \(4\sqrt{3}\)B) \(8\sqrt{3}\)
C) \(12\sqrt{3}\)
D) \(16\sqrt{3}\)
Aşağıdaki kareköklü ifadelerden hangisi \(7\sqrt{2}\) sayısına eşittir?
A) \(\sqrt{14}\)B) \(\sqrt{49}\)
C) \(\sqrt{98}\)
D) \(\sqrt{196}\)
\(\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(6\sqrt{2}\)B) \(7\sqrt{2}\)
C) \(8\sqrt{2}\)
D) \(9\sqrt{2}\)
\(a = 3\sqrt{5}\), \(b = 4\sqrt{3}\), \(c = \sqrt{47}\) sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(a < b < c\)B) \(a < c < b\)
C) \(b < a < c\)
D) \(c < a < b\)
Alanı \(108 \text{ cm}^2\) olan bir karenin çevresi kaç santimetredir?
A) \(12\sqrt{3}\)B) \(18\sqrt{3}\)
C) \(24\sqrt{3}\)
D) \(36\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{72} \times \sqrt{2}}{\sqrt{18}}\) işleminin sonucu kaçtır?
A) \(2\)B) \(2\sqrt{2}\)
C) \(4\)
D) \(4\sqrt{2}\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/2280-8-sinif-lgs-karekok-test-coz-d9yc