11. Sınıf Matematik 1. Dönem Genel Tekrar: Temel Kavramlar ve Uygulamalar
11. sınıf matematik müfredatının ilk dönemi, genellikle Trigonometri ve Analitik Geometri konularının derinlemesine incelendiği bir dönemi kapsar. Bu konular, ileriki matematik ve fen bilimleri dersleri için sağlam bir temel oluşturur.
Trigonometriye Giriş ve Temel Kavramlar
Birim çember, merkezi başlangıç noktası (0,0) ve yarıçapı 1 birim olan bir çemberdir. Trigonometrik fonksiyonlar bu çember üzerinde tanımlanır ve açıların ölçümü için esas teşkil eder.
- 👉 Esas Ölçü: Bir açının 0° ile 360° (veya 0 ile 2π radyan) arasındaki ölçüsüdür. Dereceyi radyana (π/180 ile çarp) ve radyanı dereceye (180/π ile çarp) çevirme önemlidir.
- ✅ Sinüs (sinα) ve Kosinüs (cosα): Birim çemberde P(x,y) noktası için x \(=\) cosα, y \(=\) sinα'dır.
- ✅ Tanjant (tanα) ve Kotanjant (cotα): tanα \(=\) sinα/cosα ve cotα \(=\) cosα/sinα olarak tanımlanır. tanα, x \(=1\) doğrusu üzerindeki y değeri; cotα, y \(=1\) doğrusu üzerindeki x değeridir.
- ⚠️ İşaretler her bölgede farklılık gösterir: 1. bölgede hepsi pozitif, 2. bölgede sinüs pozitif, 3. bölgede tanjant ve kotanjant pozitif, 4. bölgede kosinüs pozitif.
- 👉 Temel Özdeşlikler: sin²x + cos²x \(= 1\), tanx · cotx \(= 1\).
- ✅ Dar açıya indirgeme formülleri, büyük açıların trigonometrik değerlerini bulmada kullanılır (örn: sin(180°-α) \(=\) sinα).
Trigonometrik Teoremler ve Uygulamalar
Üçgenlerde kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri belirleyen iki temel teorem bulunmaktadır.
- ⚠️ Sinüs Teoremi: Bir üçgende her kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R) eşittir. Yani, a/sinA \(=\) b/sinB \(=\) c/sinC \(= 2\) R.
- ⚠️ Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, a² \(=\) b² + c² - 2bc cosA.
- ✅ Üçgenin Alanı: İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü bilindiğinde alan formülü: Alan \(=\) ½ bc sinA.
- 👉 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar (arcsin, arccos, arctan): Verilen trigonometrik değerin hangi açıya ait olduğunu bulmak için kullanılır. arcsin: [-1,1] → [-π/2, π/2]; arccos: [-1,1] → [0, π]; arctan: (-∞, ∞) → (-π/2, π/2).
Analitik Geometri: Doğrunun Analitik İncelenmesi
Koordinat düzleminde noktalar, doğrular ve şekiller arasındaki ilişkilerin cebirsel yöntemlerle incelenmesidir.
- 👉 İki Nokta Arası Uzaklık: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık: d \(=\) √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
- 👉 Orta Nokta Koordinatları: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarının orta noktası: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
- 👉 Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatları, oran orantı kullanılarak bulunur.
- 👉 Üçgenin Ağırlık Merkezi: Köşe koordinatları A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) olan üçgenin ağırlık merkezi G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)'tür.
Doğrunun Denklemleri ve Özellikleri
Analitik düzlemdeki bir doğru, genellikle eğim ve bir nokta bilgisiyle ifade edilir.
- ✅ Eğim (m): Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır veya iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır: m \(=\) (y₂-y₁)/(x₂-x₁).
- ✅ Eğimi m ve bir noktası A(x₁, y₁) bilinen doğru denklemi: y - y₁ \(=\) m(x - x₁).
- ✅ İki noktası (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) bilinen doğru denklemi: (y - y₁) / (y₂ - y₁) \(=\) (x - x₁) / (x₂ - x₁).
- ✅ Genel Doğru Denklemi: Ax + By + C \(= 0\). Bu denklemin eğimi m \(= -\) A/B'dir.
- ⚠️ Paralel Doğrular: Eğimleri birbirine eşittir (m₁ \(=\) m₂).
- ⚠️ Dik Doğrular: Eğimleri çarpımı -1'dir (m₁ · m₂ \(= -1\)).
- ✅ Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı: P(x₀, y₀) noktasının Ax + By + C \(= 0\) doğrusuna olan uzaklığı: d \(=\) |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
Fonksiyonlarda Dönüşümler
Temel fonksiyon grafiklerinin öteleme, germe, sıkıştırma ve yansıma işlemleri ile yeni fonksiyonların elde edilmesidir.
- y \(=\) f(x) + c: Grafiği c birim yukarı öteler.
- y \(=\) f(x) - c: Grafiği c birim aşağı öteler.
- y \(=\) f(x + c): Grafiği c birim sola öteler.
- y \(=\) f(x - c): Grafiği c birim sağa öteler.
- y \(=\) c · f(x) (c>1): Grafiği dikeyde c kat gerer. (0
- y \(=\) f(cx) (c>1): Grafiği yatayda 1/c oranında sıkıştırır. (0
- y \(= -\) f(x): Grafiği x eksenine göre yansıtır.
- y \(=\) f(-x): Grafiği y eksenine göre yansıtır.
- y \(=\) f(cx) (c>1): Grafiği yatayda 1/c oranında sıkıştırır. (0
Analitik düzlemde \(A(1, -2)\) ve \(B(4, y)\) noktaları arasındaki uzaklık \(5\) birim olduğuna göre, \(y\) 'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) -8B) -6
C) -4
D) 2
E) 4
Analitik düzlemde \(A(2, 3)\) noktasından geçen ve \(2x - y + 5 = 0\) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(x - 2y + 4 = 0\)B) \(2x - y - 1 = 0\)
C) \(x + 2y - 8 = 0\)
D) \(2x + y - 7 = 0\)
E) \(x - y + 1 = 0\)
Analitik düzlemde \(P(1, -1)\) noktasının \(3x + 4y - k = 0\) doğrusuna olan uzaklığı \(2\) birim olduğuna göre, \(k\) 'nın alabileceği pozitif değer kaçtır?
A) 1B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(4, 1)\) ve \(C(3, 5)\) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) \(\frac{9}{2}\)B) \(5\)
C) \(\frac{11}{2}\)
D) \(6\)
E) \(\frac{13}{2}\)
Analitik düzlemde \(A(3, 4)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((3, -4)\)B) \((-3, 4)\)
C) \((4, 3)\)
D) \((-4, -3)\)
E) \((3, 4)\)
Analitik düzlemde verilen \(A(2, 3)\) ve \(B(5, 7)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(\sqrt{10}\)
E) \(\sqrt{13}\)
Analitik düzlemde \(2x - 3y + 1 = 0\) doğrusuna paralel olan ve \(P(4, -1)\) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2x - 3y - 11 = 0\)B) \(3x + 2y - 10 = 0\)
C) \(2x - 3y + 10 = 0\)
D) \(3x - 2y - 14 = 0\)
E) \(2x + 3y - 5 = 0\)
Analitik düzlemde \(A(-3, 5)\) ve \(B(7, -1)\) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((1, 3)\)B) \((2, 2)\)
C) \((0, 4)\)
D) \((5, -3)\)
E) \((-2, 6)\)
Analitik düzlemde \(P(1, 2)\) noktasının \(3x + 4y - 5 = 0\) doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
A) \(\frac{6}{5}\)B) \(\frac{5}{6}\)
C) \(1\)
D) \(2\)
E) \(0\)
Köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(4, 2)\) ve \(C(3, 5)\) olan üçgenin alanı kaç birim karedir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(4.5\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Birim çemberde \(P\left(x, -\frac{3}{5}\right)\) noktası 4. bölgede olduğuna göre, \(\cos α\) değeri kaçtır?
A) \(\frac{4}{5}\)B) \(\frac{3}{5}\)
C) \(-\frac{4}{5}\)
D) \(-\frac{3}{5}\)
E) \(\frac{5}{4}\)
\(\sin(270^\circ - x) + \cos(180^\circ + x) - \tan(90^\circ + x)\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(-\sin x + \cot x\)B) \(-\sin x - \cot x\)
C) \(-2\cos x + \cot x\)
D) \(-2\cos x - \cot x\)
E) \(\sin x + \cot x\)
\(\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} \cdot \tan x\) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\sin x\)B) \(\cos x\)
C) \(\tan x\)
D) \(\cot x\)
E) \(1\)
\(\sin 75^\circ\) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)B) \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
C) \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\)
D) \(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)
E) \(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\)
\(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\sin x\)B) \(\tan x\)
C) \(\cot x\)
D) \(\cos x\)
E) \(1\)
\(\cos 75^\circ \cos 15^\circ\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{1}{4}\)
C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
E) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(0 \le x < 2π\) olmak üzere, \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\left\{ \frac{π}{6}, \frac{5π}{6} \right\}\)B) \(\left\{ \frac{π}{3}, \frac{5π}{6} \right\}\)
C) \(\left\{ \frac{π}{6}, \frac{2π}{3} \right\}\)
D) \(\left\{ \frac{π}{3}, \frac{2π}{3} \right\}\)
E) \(\left\{ \frac{7π}{6}, \frac{11π}{6} \right\}\)
\(\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctan(1)\) ifadesinin değeri kaç radyandır?
A) \(\frac{π}{2}\)B) \(\frac{5π}{12}\)
C) \(\frac{7π}{12}\)
D) \(\frac{2π}{3}\)
E) \(\frac{3π}{4}\)
\(f(x) = 3 \cos\left( \frac{x}{2} - π \right) + 1\) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?
A) \(π\)B) \(2π\)
C) \(3π\)
D) \(4π\)
E) \(6π\)
\(\sin x - \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) olduğuna göre, \(\sin 2x\) değeri kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C) \(1\)
D) \(-\frac{1}{2}\)
E) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/29-11-sinif-matematik-1-donem-genel-tekrar-test-coz