📌 Açı Kenar Bağıntıları
Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasında belirli ilişkiler bulunur. Bu bağıntılar, bir üçgenin çizilebilirliği ve kenar uzunluklarının aralıklarını belirlemede kritik rol oynar.
💡 Üçgende Açı-Kenar İlişkileri
- Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Yani, bir \(ABC\) üçgeninde eğer \(m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})\) ise, bu açıların karşısındaki kenarlar için \(a > b > c\) bağıntısı geçerlidir.
- Eğer bir üçgenin iki kenarı eşitse (\(a=b\)), bu kenarların karşısındaki açılar da eşittir (\(m(\widehat{A}) = m(\widehat{B})\)). Bu tür üçgenlere ikizkenar üçgen denir.
✅ Unutmayın: Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) 'dir. Bu bilgi, açıları sıralamada ve dolayısıyla kenarları sıralamada size yardımcı olacaktır.
🚀 Üçgen Eşitsizliği
Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmak zorundadır. \(a, b, c\) bir üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere:
- \(|b-c| < a < b+c\)
- \(|a-c| < b < a+c\)
- \(|a-b| < c < a+b\)
Bu eşitsizlikler, verilen üç kenar uzunluğuna sahip bir üçgenin çizilip çizilemeyeceğini kontrol etmek için kullanılır.
📌 Dönüşüm Geometrisi
Dönüşüm geometrisi, bir şeklin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren hareketleri inceler. TYT müfredatında öteleme, yansıma ve dönme temel dönüşümlerdir.
💡 Öteleme
Bir şeklin belirli bir doğrultu ve yönde, belirli bir mesafe kadar kaydırılmasına öteleme denir. Öteleme sonucunda şeklin boyutu ve yönü değişmez, sadece konumu değişir.
- Bir noktanın \((x, y)\) koordinatları, \(a\) birim sağa (veya sola) ve \(b\) birim yukarı (veya aşağı) ötelenirse, yeni koordinatları \((x+a, y+b)\) olur. (Sağa \(+a\), sola \(-a\); yukarı \(+b\), aşağı \(-b\)).
🚀 Yansıma (Simetri)
Bir şeklin bir doğruya (simetri ekseni) veya bir noktaya (simetri merkezi) göre ayna görüntüsünü almasına yansıma denir. Yansıma sonucunda şeklin boyutu değişmez, ancak yönü değişebilir.
- \(x\) -eksenine göre yansıma: \((x, y) \to (x, -y)\)
- \(y\) -eksenine göre yansıma: \((x, y) \to (-x, y)\)
- Orijine göre yansıma: \((x, y) \to (-x, -y)\)
- \(y=x\) doğrusuna göre yansıma: \((x, y) \to (y, x)\)
- \(y=-x\) doğrusuna göre yansıma: \((x, y) \to (-y, -x)\)
💡 Dönme
Bir şeklin belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı (dönme açısı) ile döndürülmesine dönme denir. Dönme sonucunda şeklin boyutu değişmez, ancak konumu ve yönü değişir.
- Orijin etrafında saat yönünün tersine dönme (pozitif yön):
- \(90^\circ\) dönme: \((x, y) \to (-y, x)\)
- \(180^\circ\) dönme: \((x, y) \to (-x, -y)\)
- \(270^\circ\) dönme: \((x, y) \to (y, -x)\)
📌 Piramit ve Koni
Piramit ve koni, üç boyutlu cisimlerdir ve hacim ile yüzey alanı hesaplamaları TYT'de sıkça karşılaşılan konulardır.
💡 Piramit
Bir çokgensel bölge olan tabanı ve bu tabanın dışındaki bir noktayı (tepe noktası) birleştiren üçgensel yan yüzeylerden oluşan cisme piramit denir.
- Hacim (\(V\)): \(V = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}\)
- Yüzey Alanı (\(A\)): \(A = \text{Taban Alanı} + \text{Yan Yüzey Alanları Toplamı}\)
- Düzgün piramitlerde yan yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir.
🚀 Koni
Tabanı daire olan ve bu dairenin merkezini tepe noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu yüzeyden oluşan cisme koni denir. Dik koni, tepe noktasının taban merkezine dik izdüşümü olan konidir.
- Hacim (\(V\)): \(V = \frac{1}{3} \cdot π r^2 h\) (burada \(r\) taban yarıçapı, \(h\) yükseklik)
- Taban Alanı (\(A_{\text{taban}}\)): \(A_{\text{taban}} = π r^2\)
- Yan Yüzey Alanı (\(A_{\text{yan}}\)): \(A_{\text{yan}} = π r l\) (burada \(l\) ana doğru uzunluğu)
- Yüzey Alanı (\(A_{\text{toplam}}\)): \(A_{\text{toplam}} = π r^2 + π r l = π r (r+l)\)
- Ana doğru uzunluğu (\(l\)), yükseklik (\(h\)) ve yarıçap (\(r\)) arasında Pisagor bağıntısı vardır: \(l^2 = r^2 + h^2\).
- Koninin açılımı bir daire dilimi ve bir daireden oluşur. Daire diliminin merkez açısı \(α\) için \(\frac{α}{360^\circ} = \frac{r}{l}\) bağıntısı geçerlidir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1: Açı Kenar Bağıntıları
Bir \(ABC\) üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) olduğuna göre, kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Öncelikle \(m(\widehat{C})\) açısını bulalım:
\(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
\(70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
\(120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
\(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)
Şimdi açıları sıralayalım:
\(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) (en küçük)
\(m(\widehat{C}) = 60^\circ\) (orta)
\(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) (en büyük)
Açı-kenar ilişkisine göre, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Buna göre:
- \(m(\widehat{B})\) karşısındaki kenar \(b\)
- \(m(\widehat{C})\) karşısındaki kenar \(c\)
- \(m(\widehat{A})\) karşısındaki kenar \(a\)
Sıralama \(b < c < a\) şeklindedir.
Örnek Soru 2: Dönüşüm Geometrisi
Koordinat düzleminde \(A(3, -2)\) noktasının \(y\) -eksenine göre yansıması \(A'\), daha sonra \(A'\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen nokta \(A''\) ise, \(A''\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle \(A(3, -2)\) noktasının \(y\) -eksenine göre yansımasını bulalım. \(y\) -eksenine göre yansımada \((x, y) \to (-x, y)\) kuralı uygulanır.
\(A(3, -2) \xrightarrow{\text{y-eksenine göre yansıma}} A'(-3, -2)\)
Şimdi \(A'(-3, -2)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen \(A''\) noktasını bulalım. Orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) dönme kuralı \((x, y) \to (-y, x)\) şeklindedir.
\(A'(-3, -2) \xrightarrow{\text{Orijin etrafında } 90^\circ \text{ dönme}} A''(-(-2), -3)\)
\(A''(2, -3)\)
Dolayısıyla \(A''\) noktasının koordinatları \((2, -3)\) 'tür.
Bir üçgenin kenar uzunlukları \( 5 \) cm ve \( 12 \) cm olduğuna göre, üçüncü kenarın uzunluğu olan \( x \) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \( 5 < x < 12 \)B) \( 7 < x < 17 \)
C) \( 0 < x < 17 \)
D) \( 7 \le x \le 17 \)
Koordinat düzleminde \( A(2, -3) \) noktası, \( \vec{v} = (-4, 5) \) vektörü kadar ötelenerek \( A' \) noktası elde ediliyor. Buna göre \( A' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-2, 2) \)B) \( (6, 2) \)
C) \( (-2, -8) \)
D) \( (6, -8) \)
Koordinat düzleminde \( B(5, -1) \) noktasının y eksenine göre yansıması \( B' \) noktasıdır. Buna göre \( B' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (5, 1) \)B) \( (-5, 1) \)
C) \( (-5, -1) \)
D) \( (5, -1) \)
Koordinat düzleminde \( C(3, 4) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \( 90^\circ \) döndürülmesiyle elde edilen nokta \( C' \) dir. Buna göre \( C' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, -3) \)B) \( (-3, -4) \)
C) \( (-4, 3) \)
D) \( (4, 3) \)
Koordinat düzleminde \( D(1, 2) \) noktası önce \( \vec{v} = (3, -1) \) vektörü kadar öteleniyor, ardından x eksenine göre yansıtılıyor. Elde edilen son noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, 1) \)B) \( (4, -1) \)
C) \( (1, -2) \)
D) \( (-4, 1) \)
Köşe koordinatları \( A(1, 1) \), \( B(4, 1) \) ve \( C(1, 3) \) olan bir ABC üçgeni orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürülüyor. Buna göre \( B \) köşesinin yeni konumu olan \( B' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, -1) \)B) \( (-4, 1) \)
C) \( (-1, -4) \)
D) \( (-4, -1) \)
Taban ayrıtı \( 6 \) cm ve yüksekliği \( 8 \) cm olan kare dik piramidin hacmi kaç \( \text{cm}^3 \) tür?
A) \( 72 \)B) \( 84 \)
C) \( 96 \)
D) \( 108 \)
Taban yarıçapı \( 3 \) cm ve yüksekliği \( 4 \) cm olan dik koninin hacmi kaç \( π \text{ cm}^3 \) tür?
A) \( 9 \)B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 18 \)
Taban yarıçapı \( 5 \) cm ve ana doğrusu (yanal ayrıt) \( 13 \) cm olan bir dik koninin yanal alanı kaç \( π \text{ cm}^2 \) dir?
A) \( 50 \)B) \( 60 \)
C) \( 65 \)
D) \( 70 \)
Taban yarıçapı \( 3 \) cm ve yüksekliği \( 4 \) cm olan bir dik koninin yanal yüzeyi açıldığında oluşan daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
A) \( 180^\circ \)B) \( 216^\circ \)
C) \( 240^\circ \)
D) \( 270^\circ \)
Taban ayrıtı \( 10 \) cm ve yüksekliği \( 12 \) cm olan kare dik piramidin tüm yüzey alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
A) \( 320 \)B) \( 340 \)
C) \( 360 \)
D) \( 380 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3150-tyt-aci-kenar-bagintilari-donusum-geometrisi-ve-piramit-ve-koni-test-coz-pc18