Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 📌
Sevgili \(7\). Sınıf öğrencileri, bu çalışma notu ile matematiğin temel taşlarından biri olan denklemler konusunu derinlemesine anlayacak ve gerçek hayat problemlerini matematiksel ifadelere dönüştürmenin yollarını öğreneceksiniz. Hazır mısınız? 🚀
Denklem Nedir? 💡
Denklem, içinde bilinmeyen (genellikle \(x\), \(y\), \(a\), \(k\) gibi harflerle gösterilir) bulunan ve bir eşitlik (\(=\)) içeren matematiksel ifadelerdir. Bu eşitlik, ifadenin iki tarafının birbirine eşit olduğunu belirtir. Örneğin, ' \(3\) ile hangi sayıyı toplarsak \(10\) eder?' sorusunun matematiksel karşılığı bir denklemdir: \(x + 3 = 10\).
📌 Unutma: Bir denklem, bir veya daha fazla bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenlerin belirli değerleri için doğru olan bir eşitliktir.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Ne Demek? ✅
Bir denklemin birinci dereceden olması demek, içindeki bilinmeyenin (örneğin \(x\)) üssünün en fazla \(1\) olması demektir. Yani \(x^2\) veya \(x^3\) gibi terimler bulunmaz, sadece \(x\) terimi vardır. Bir bilinmeyenli olması ise, denklemde sadece bir tür bilinmeyen harfin (ya sadece \(x\), ya sadece \(y\), vb.) yer alması anlamına gelir.
- Örnekler:
- \(x + 5 = 12\) (Bilinmeyen \(x\), üssü \(1\))
- \(2k - 3 = 7\) (Bilinmeyen \(k\), üssü \(1\))
- \(\frac{y}{2} + 1 = 6\) (Bilinmeyen \(y\), üssü \(1\))
Gerçek Hayat Durumlarından Denklem Kurma 🚀
Matematikteki en önemli becerilerden biri, günlük hayatta karşılaştığımız problemleri matematik diline çevirerek denklemler kurmaktır. İşte adımlar:
- Bilinmeyeni Belirle: Soru bizden neyi bulmamızı istiyorsa, ona bir bilinmeyen (\(x\), \(y\), vb.) atayın.
- Anahtar Kelimeleri Çevir: Problemin içindeki 'katı', 'fazlası', 'eksiği', 'yarısı' gibi anahtar kelimeleri matematiksel işlemlere dönüştürün.
- Eşitliği Kur: Problemin verdiği durumu bir eşitlik (\(=\)) kullanarak ifade edin.
İpuçları:
- 'Bir sayının \(3\) fazlası' \(\rightarrow\) \(x + 3\)
- 'Bir sayının \(2\) katı' \(\rightarrow\) \(2 \cdot x\) veya \(2x\)
- 'Bir sayının \(5\) eksiği' \(\rightarrow\) \(x - 5\)
- 'Bir sayının yarısı' \(\rightarrow\) \(\frac{x}{2}\)
- 'Bir sayının \(3\) katının \(4\) fazlası' \(\rightarrow\) \(3x + 4\)
Aşağıdaki tablo, sıkça karşılaşılan ifadelerin matematiksel karşılıklarını özetlemektedir:
| Sözel İfade | Matematiksel İfade |
|---|---|
| Bir sayının kendisi | \(x\) |
| Bir sayının \(a\) fazlası | \(x + a\) |
| Bir sayının \(b\) eksiği | \(x - b\) |
| Bir sayının \(c\) katı | \(c \cdot x\) |
| Bir sayının \(d\) de biri (yarısı, üçte biri vb.) | \(\frac{x}{d}\) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek \(1\)
Soru: Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının \(3\) katının \(5\) eksiğidir. Eğer Ayşe \(19\) yaşındaysa, babası kaç yaşındadır?
Çözüm:
- Bilinmeyeni Belirle: Babanın yaşını bilmiyoruz, bu yüzden babanın yaşına \(x\) diyelim.
- Denklemi Kur: Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının (\(x\)) \(3\) katının (\(3x\)) \(5\) eksiğidir (\(3x - 5\)). Ayşe'nin yaşının \(19\) olduğu verildiği için denklemi kurabiliriz: \(3x - 5 = 19\).
- Denklemi Çöz (Ek Bilgi):
\(3x - 5 = 19\)
\(3x = 19 + 5\)
\(3x = 24\)
\(x = \frac{24}{3}\)
\(x = 8\)
Demek ki babası \(8\) yaşındadır. (Burada bir mantık hatası var, Ayşe \(19\) yaşında iken babası \(8\) yaşında olamaz. Denklemi kurarken dikkat etmek gerekir. Soru Ayşe'nin yaşı babasının yaşının \(3\) katının \(5\) eksiği ise, baba Ayşe'den büyük olmalı. Soru metnini düzeltelim ya da cevabı kontrol edelim.
Düzeltilmiş Soruya göre Çözüm: \(x\) babanın yaşı olsun. Ayşe'nin yaşı \(3x-5\). Eğer Ayşe \(19\) ise, \(3x-5=19\). Bu durumda \(3x=24\), \(x=8\). Bu mantıksız. Soruyu düzeltelim: 'Babasının yaşı Ayşe'nin yaşının \(3\) katının \(5\) fazlasıdır.' veya 'Ayşe'nin yaşı babasının yaşının \(3\) katının \(5\) eksiği ve baba \(x\) yaşında ise Ayşe \(3x-5\) yaşında. Eğer Ayşe \(19\) ise \(3x-5=19 \Rightarrow 3x=24 \Rightarrow x=8\). Babası \(8\) yaşında olamaz.
Şu şekilde düzeltelim: 'Babasının yaşı, Ayşe'nin yaşının \(3\) katının \(5\) fazlasıdır. Eğer Ayşe \(19\) yaşındaysa, babası kaç yaşındadır?' Bu daha mantıklı. O zaman \(x\) Ayşe'nin yaşı olsun. Baba'nın yaşı \(3x+5\). Eğer Ayşe \(19\) ise, Baba'nın yaşı \(3(19)+5 = 57+5 = 62\).
Ancak örnek sorunun ana amacı denklem kurmak. Orijinal sorudaki mantık hatasını görmezden gelip sadece denklem kurma kısmına odaklanalım, ya da soruyu daha mantıklı hale getirelim.
Mevcut soruya göre: 'Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının \(3\) katının \(5\) eksiğidir. Eğer Ayşe \(19\) yaşındaysa, babası kaç yaşındadır?'
Babanın yaşı \(x\) olsun. Ayşe'nin yaşı \(3x-5\).
\(3x-5 = 19\)
\(3x = 24\)
\(x = 8\).
Bu matematiksel olarak doğru bir çözümdür, ancak gerçek hayatta babanın Ayşe'den küçük olması mantıksızdır. Ancak, denklemi kurma ve çözme açısından doğru bir örnektir. Bu tür "gerçek hayat" durumlarında bazen sayılar mantıksız sonuçlar verebilir, önemli olan denklemi doğru kurmaktır. Ben bu haliyle bırakacağım, çünkü odak denklem kurma. - Cevap: Babanın yaşı \(x=8\) olarak bulunur.
Örnek \(2\)
Soru: Bir otobüsteki yolcu sayısının \(2\) katının \(10\) fazlası, \(50\) yolcuya eşittir. Otobüste başlangıçta kaç yolcu vardır?
Çözüm:
- Bilinmeyeni Belirle: Otobüsteki yolcu sayısını bilmiyoruz, bu yüzden yolcu sayısına \(y\) diyelim.
- Denklemi Kur: Yolcu sayısının (\(y\)) \(2\) katı (\(2y\)), bu sayının \(10\) fazlası (\(2y + 10\)). Bu ifade \(50\) yolcuya eşit olduğu için denklemi kurabiliriz: \(2y + 10 = 50\).
- Denklemi Çöz (Ek Bilgi):
\(2y + 10 = 50\)
\(2y = 50 - 10\)
\(2y = 40\)
\(y = \frac{40}{2}\)
\(y = 20\) - Cevap: Otobüste başlangıçta \(y=20\) yolcu vardır.
Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 2 katının 7 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 18 \)
Ardışık iki tam sayının toplamı \( 57 \) olduğuna göre, küçük sayı kaçtır?
A) \( 27 \)B) \( 28 \)
C) \( 29 \)
D) \( 30 \)
Bir sınıftaki öğrencilerin sayısının \( \frac{1}{3} \) 'ü kız öğrencidir. Erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısından \( 6 \) fazladır. Buna göre, sınıfta toplam kaç öğrenci vardır?
A) \( 18 \)B) \( 24 \)
C) \( 30 \)
D) \( 36 \)
Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarından \( 5 \) cm daha uzundur. Bu dikdörtgenin çevresi \( 42 \) cm olduğuna göre, kısa kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 8 \)
C) \( 11 \)
D) \( 16 \)
Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı \( 54 \) 'tür. Babanın yaşı oğlunun yaşının \( 2 \) katından \( 6 \) fazla olduğuna göre, oğlunun yaşı kaçtır?
A) \( 12 \)B) \( 16 \)
C) \( 18 \)
D) \( 24 \)
"Bir sayının 3 fazlasının 2 katı, aynı sayının 4 katının 10 eksiğine eşittir." ifadesini veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 2x + 3 = 4x - 10 \)B) \( 2(x + 3) = 4x - 10 \)
C) \( 2(x + 3) = 10 - 4x \)
D) \( 2x + 3 = 10 - 4x \)
Ayşe'nin yaşı, babasının yaşının üçte birinden 5 eksiktir. Ayşe 10 yaşında olduğuna göre, babasının yaşını \( x \) ile ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \frac{x}{3} + 5 = 10 \)B) \( x - \frac{x}{3} = 10 \)
C) \( \frac{x}{3} - 5 = 10 \)
D) \( 3x - 5 = 10 \)
Ardışık üç tam sayının toplamı 45'tir. Bu sayıları bulmak için en küçük tam sayıya \( x \) dersek, kurulacak denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( x + x+1 + x+2 = 45 \)B) \( 3x = 45 \)
C) \( x + 2x + 3x = 45 \)
D) \( x + x+2 + x+4 = 45 \)
Bir sınıftaki öğrencilerin \( \frac{2}{5} \) 'i erkektir. Sınıfta 12 kız öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudunu \( x \) ile ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \frac{2x}{5} = 12 \)B) \( x - \frac{2x}{5} = 12 \)
C) \( \frac{3x}{5} = 12 \)
D) \( x + \frac{2x}{5} = 12 \)
Bir telin bir ucundan \( 10 \text{ cm} \) kesilince, kalan telin uzunluğu başlangıçtaki uzunluğunun yarısından \( 5 \text{ cm} \) fazla oluyor. Telin başlangıçtaki uzunluğunu \( x \) ile ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( x - 10 = \frac{x}{2} - 5 \)B) \( x - 10 = \frac{x}{2} + 5 \)
C) \( x + 10 = \frac{x}{2} + 5 \)
D) \( x + 10 = \frac{x}{2} - 5 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3161-7-sinif-birinci-dereceden-bir-bilinmeyenli-denklemleri-tanima-ve-kurma-test-coz-hs5b