Üslü Sayılar Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri 🚀
Sevgili 8. Sınıf LGS öğrencileri, bu çalışma notu üslü sayılar konusunu derinlemesine anlamanız ve sınavda başarılı olmanız için hazırlandı. Üslü sayılar, matematiğin temel konularından biri olup LGS'de her yıl mutlaka soru gelen önemli bir başlıktır. Konuyu dikkatlice okuyun, özellikleri iyi kavrayın ve bolca pratik yapın!
Üslü Sayı Nedir? 📌
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterimine üslü sayı denir. Genel olarak, bir \(a\) sayısının kendisiyle \(n\) defa çarpımı \(a^n\) şeklinde gösterilir ve " \(a\) üssü \(n\) " veya " \(a\) 'nın \(n\). kuvveti" olarak okunur. Burada \(a\) taban, \(n\) ise üs veya kuvvet olarak adlandırılır.
Örnek: \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\). Burada \(2\) taban, \(3\) ise üs veya kuvvettir.
Üslü Sayıların Özellikleri 💡
- Pozitif ve Negatif Tabanların Kuvvetleri:
- Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Örnek: \((+3)^2 = 9\), \((+2)^3 = 8\).
- Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: \((-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16\).
- Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: \((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27\).
- Parantez kullanımı önemlidir: \(-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16\) iken, \((-2)^4 = 16\) 'dır.
- Üssün Üssü: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında, taban aynı kalır, üsler çarpılır. \((a^m)^n = a^{m \times n}\). Örnek: \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\).
- Çarpma İşlemi:
- Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, taban aynı kalır, üsler toplanır. \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Örnek: \(2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8\).
- Üsleri aynı olan üslü sayılar çarpılırken, tabanlar çarpılır, üs aynı kalır. \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\). Örnek: \(3^4 \times 5^4 = (3 \times 5)^4 = 15^4\).
- Bölme İşlemi:
- Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken, taban aynı kalır, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Örnek: \(\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3\).
- Üsleri aynı olan üslü sayılar bölünürken, tabanlar bölünür, üs aynı kalır. \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\). Örnek: \(\frac{10^3}{2^3} = (\frac{10}{2})^3 = 5^3\).
- Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersini ifade eder. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (\(a eq 0\)). Örnek: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).
- Sıfırıncı Kuvvet: Sıfırdan farklı her sayının \(0\). kuvveti \(1\) 'dir. \(a^0 = 1\) (\(a eq 0\)). Örnek: \(7^0 = 1\), \((-5)^0 = 1\).
- Birinci Kuvvet: Her sayının \(1\). kuvveti kendisine eşittir. \(a^1 = a\). Örnek: \(12^1 = 12\).
Bilimsel Gösterim ve Büyük/Küçük Sayılar ✅
Çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır bir şekilde ifade etmek için bilimsel gösterim kullanılır. Bir sayının bilimsel gösterimi \(a \times 10^n\) şeklindedir. Burada \(1 \le |a| < 10\) olmalı ve \(n\) bir tam sayı olmalıdır.
Örnek: Dünya ile Güneş arasındaki uzaklık yaklaşık \(149.600.000\) km'dir. Bunun bilimsel gösterimi \(1,496 \times 10^8\) km'dir. Bir bakterinin boyutu yaklaşık \(0,000002\) metredir. Bunun bilimsel gösterimi \(2 \times 10^{-6}\) metredir.
LGS'de bu konudan gelebilecek sorular genellikle sıralama, dört işlem ve bilimsel gösterim üzerinedir. Bol bol pratik yaparak konuyu pekiştirin.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
a) \( ( -3 )^2 + 5^0 - 2^{-1} \)
b) \( \frac{2^5 \times 4^2}{8^2} \)
Çözüm 1:
a) İlk olarak her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım:
- \( ( -3 )^2 = ( -3 ) \times ( -3 ) = 9 \) (Negatif sayının çift kuvveti pozitif olur.)
- \( 5^0 = 1 \) (Sıfırdan farklı her sayının \(0\). kuvveti \(1\) 'dir.)
- \( 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \) (Negatif üs, sayının çarpma işlemine göre tersini ifade eder.)
Şimdi bu değerleri toplayalım ve çıkaralım:
\( 9 + 1 - \frac{1}{2} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{20}{2} - \frac{1}{2} = \frac{19}{2} \)
b) Tüm tabanları aynı (en küçük asal sayı olan \(2\)) olacak şekilde yazalım:
- \( 2^5 \) zaten tabanı \(2\).
- \( 4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4 \) (Üssün üssü kuralı)
- \( 8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \) (Üssün üssü kuralı)
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım ve sadeleştirelim:
\( \frac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \frac{2^{5+4}}{2^6} = \frac{2^9}{2^6} \) (Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.)
\( \frac{2^9}{2^6} = 2^{9-6} = 2^3 \) (Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.)
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
Örnek Soru 2:
\( (0,0000004 \times 10^9) \) sayısının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm 2:
Öncelikle \(0,0000004\) sayısını \(10\) 'un kuvveti şeklinde yazalım. Virgülü sağa doğru \(7\) basamak kaydırdığımızda \(4\) elde ederiz. Bu durumda \(0,0000004 = 4 \times 10^{-7}\) olur.
Şimdi verilen ifadeyi yerine yazalım:
\( (4 \times 10^{-7} \times 10^9) \)
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır:
\( 4 \times 10^{-7+9} = 4 \times 10^2 \)
Elde ettiğimiz \(4 \times 10^2\) sayısı bilimsel gösterim tanımına uymaktadır, çünkü \(1 \le 4 < 10\) ve \(2\) bir tam sayıdır.
Bu nedenle, \( (0,0000004 \times 10^9) \) sayısının bilimsel gösterimi \( 4 \times 10^2 \) 'dir.
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ 2^ \(3 \cdot 4\) ^ \(2 \cdot 8\) ^{-1} \]
B) \( 2^5 \)
C) \( 2^6 \)
D) \( 2^7 \)
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\frac\) {2^ \(6 \cdot 4\) ^{-2}}{8^{-1}} \]
B) \( 2^3 \)
C) \( 2^4 \)
D) \( 2^5 \)
Bir bakterinin boyutu \( 0.000000002 \) metredir. Bu bakteriden \( 5 \cdot 10^8 \) tane yan yana dizilirse toplam uzunluk kaç metre olur?
A) \( 10^{-1} \)B) \( 10^0 \)
C) \( 10^1 \)
D) \( 10^2 \)
Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisi en küçüktür?
A) \( 2^5 \)B) \( (-3)^2 \)
C) \( -2^4 \)
D) \( (-5)^1 \)
\( 2^{x-1} = 16 \) olduğuna göre \( x \) kaçtır?
A) \( 3 \)B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac{8^3 \cdot 16^2}{4^5}\) \]
B) \( 64 \)
C) \( 128 \)
D) \( 256 \)
Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığı yaklaşık \( 149.6 \) milyon kilometredir. Bu uzaklığın metre cinsinden bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 1.496 \times 10^8 \)B) \( 1.496 \times 10^{10} \)
C) \( 1.496 \times 10^{11} \)
D) \( 1.496 \times 10^{12} \)
Eğer \( 3^x = 81 \) ve \( 2^y = 32 \) ise, \( (x+y)^{x-y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
A) \( 1 \)B) \( 3 \)
C) \( \frac{1}{3} \)
D) \( \frac{1}{9} \)
Aşağıdaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında hangisi doğru olur?
\( A = 3^{12} \)
\( B = 9^5 \)
\( C = 27^4 \)
B) \( C < B < A \)
C) \( B < A = C \)
D) \( A = C < B \)
Bir laboratuvardaki bakteri popülasyonu her saatin sonunda iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta \( 2^5 \) bakteri olduğuna göre, 6 saatin sonunda toplam kaç bakteri olur?
A) \( 2^{10} \)B) \( 2^{11} \)
C) \( 2^{12} \)
D) \( 2^{13} \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3237-8-sinif-lgs-uslu-sayilar-test-coz-4m0k