📌 Eşitlik ve Denklem Çözme 📌
Merhaba \(7\). Sınıf öğrencileri! Bu bölümde, matematiğin temel taşlarından olan eşitlik kavramını ve denklemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Hazır mısın? 🚀
💡 Eşitlik Nedir?
- İki matematiksel ifadenin birbirine denk olduğunu gösteren sembol " \(="" dir.
- Örneğin, "\) \(5 + 3 = 8\) \(" bir eşitliktir. Sol tarafın değeri (\) \(5+3 = 8\) \() ile sağ tarafın değeri (\) 8 \() birbirine eşittir.
💡 Denklem Nedir?
- İçinde bilinmeyen (\) x \(, \) y \(, \) k \( gibi harflerle gösterilir) bulunan eşitliklere denklem denir.
- Denklemin amacı, bilinmeyenin değerini bulmaktır. Bu işleme denklem çözme denir.
- Örnek: "\) x \(+ 7 = 12\) \(" bir denklemdir. Burada bilinmeyen "\) x \(" dir.
💡 Denklem Çözme Adımları (Terazi Modeli)
Denklem çözerken, eşitliğin bir terazi gibi dengede kalması gerektiğini unutma. Bir tarafa yaptığın işlemi diğer tarafa da yapmalısın.
- Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Eğer bilinmeyenin yanındaki sayıyı yok etmek istiyorsan, o sayının ters işaretlisini eşitliğin her iki tarafına da ekle.
- Örnek: "\) x \(+ 5 = 15\) \(" ise, her iki taraftan "\) 5 \(" çıkarırız: "\) x \(+ 5 - 5 = 15 - 5 \Rightarrow\) x \(= 10\) \(".
- Örnek: "\) y \(- 3 = 7\) \(" ise, her iki tarafa "\) 3 \(" ekleriz: "\) y \(- 3 + 3 = 7 + 3 \Rightarrow\) y \(= 10\) \(".
- Çarpma ve Bölme İşlemleri: Eğer bilinmeyenin önünde bir çarpan varsa, her iki tarafı o çarpana böleriz. Eğer bilinmeyen bir sayıya bölünmüşse, her iki tarafı o sayı ile çarparız.
- Örnek: "\) 3x \(= 21\) \(" ise, her iki tarafı "\) 3 \("e böleriz: "\) \(\frac{3x}{3} = \frac{21}{3} \Rightarrow\) x \(= 7\) \(".
- Örnek: "\) \(\frac{k}{4} = 5\) \(" ise, her iki tarafı "\) 4 \(" ile çarparız: "\) \(\frac{k}{4} \times 4 = 5 \times 4 \Rightarrow\) k \(= 20\) \(".
Unutma: Denklemlerde bilinmeyenleri bir tarafta, bilinenleri diğer tarafta toplamaya çalışırız. Bir terimi eşitliğin diğer tarafına atarken işaretini değiştirmeyi sakın unutma!
🚀 Oran ve Orantı İlişkisi 🚀
Şimdi de günlük hayatımızda çok sık karşılaştığımız oran ve orantı kavramlarını inceleyelim. Karşılaştırmalar yapmaya hazır ol!
💡 Oran Nedir?
- İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
- Oran birimsiz olabilir (aynı birimde karşılaştırılıyorsa) veya birimli olabilir (farklı birimlerde karşılaştırılıyorsa).
- Gösterimi: "\) a:b \(" veya "\) \(\frac{a}{b}\) \(" şeklindedir. Burada "\) b eq 0 \(" olmalıdır.
- Örnek: Bir sınıfta \) 10 \( kız, \) 15 \( erkek öğrenci varsa, kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı "\) 10:15 \(" veya "\) \(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\) \(" tür.
💡 Orantı Nedir?
- İki veya daha fazla oranın birbirine eşit olmasına orantı denir.
- Gösterimi: "\) \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) \(" şeklindedir.
- Orantıda içler-dışlar çarpımı kuralı çok önemlidir: "\) \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow\) a \(\times\) d \(=\) b \(\times\) c \(".
💡 Doğru Orantı
- İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu çokluklar doğru orantılıdır denir.
- Doğru orantılı çoklukların oranı sabittir: "\) \(\frac{y}{x} =\) k \(" (\) k \( orantı sabitidir).
- Örnek: Alınan yol ile harcanan benzin miktarı doğru orantılıdır. Ne kadar çok yol gidersen, o kadar çok benzin harcarsın.
💡 Ters Orantı
- İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa, bu çokluklar ters orantılıdır denir.
- Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: "\) x \(\times\) y \(=\) k \(" (\) k \( orantı sabitidir).
- Örnek: Bir işi yapan işçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır. Ne kadar çok işçi çalışırsa, iş o kadar kısa sürede biter.
✅ Yüzdeler ve Uygulamaları ✅
Yüzdeler, indirimler, zamlar, kâr-zarar hesaplamaları gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Hadi yüzdeleri yakından tanıyalım!
💡 Yüzde Nedir?
- Bir bütünün "\) 100 \(" eşit parçasından kaç tanesi olduğunu gösteren ifadeye yüzde denir.
- "\) \% \( " sembolü ile gösterilir.
- Örnek: "\) \%25 \(" demek, bir bütünün "\) 100 \(" parçasından "\) 25 \(" tanesi demektir. Yani "\) \(\frac{25}{100}\) \(" veya "\) \(\frac{1}{4}\) \(" anlamına gelir.
💡 Yüzdeyi Kesre ve Ondalık Gösterime Çevirme
- Yüzdeden Kesre: Yüzdeyi payı yüzde değeri, paydası "\) 100 \(" olan bir kesir olarak yazıp sadeleştiririz.
- Örnek: "\) \% \(40 = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}\) \( ".
- Yüzdeden Ondalık Gösterime: Yüzde değerini "\) 100 \("e böleriz.
- Örnek: "\) \% \(75 = \frac{75}{100} = 0\).75 \(".
- Kesirden Yüzdeye: Kesrin paydasını "\) 100 \(" yapmaya çalışırız. Eğer olmuyorsa, kesri ondalık sayıya çevirip "\) 100 \(" ile çarparız.
- Örnek: "\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} =\) \%75 \(".
💡 Bir Sayının Yüzdesini Bulma
- Bir "\) a \(" sayısının "\) \%x \("ini bulmak için "\) a \(" sayısını "\) \(\frac{x}{100}\) \(" ile çarparız.
- Örnek: "\) 200 \("ün "\) \%30 \("u kaçtır? "\) \(200 \times \frac{30}{100} = 2 \times 30 = 60\) \(".
💡 Yüzde Problemleri
- Bir sayının belirli bir yüzdesi kadar artırma/azaltma: Sayıyı "\) (\(1 + \frac{yüzde}{100}\)) \(" ile çarparak artırırız, "\) (\(1 - \frac{yüzde}{100}\)) \(" ile çarparak azaltırız.
- Örnek: "\) 80 \(" TL'lik bir ürüne "\) \%10 \(" zam yapılırsa yeni fiyatı: "\) \(80 \times\) (\(1 + \frac{10}{100}\)) \(= 80 \times\) (1.10) \(= 88\) \(" TL.
- Örnek: "\) 120 \(" TL'lik bir ürüne "\) \%20 \(" indirim yapılırsa yeni fiyatı: "\) \(120 \times\) (\(1 - \frac{20}{100}\)) \(= 120 \times\) (0.80) \(= 96\) \(" TL.
🖼️ Görseli Kullanarak Denklem Kurma 🖼️
Matematikte bazen problemler doğrudan cümlelerle değil, şekiller, grafikler veya terazi modelleriyle verilir. Bu durumda yapman gereken, görseldeki bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürmektir.
💡 Görselden Bilgi Çıkarma Adımları
- Görseli Dikkatlice İncele: Hangi nesneler var, neyi temsil ediyorlar?
- Bilinmeyenleri Belirle: Hangi değerler verilmemiş, neyi bulmamız isteniyor? Bunlara \) x \(, \) y \( gibi harfler atayabilirsin.
- İlişkileri Yaz: Görseldeki denge, toplam, fark, oran gibi ilişkileri matematiksel denklemlere dönüştür.
- Denklemi Çöz: Kurduğun denklemi çözerek bilinmeyeni bul.
💡 Örnek Durumlar
- Terazi Modelleri: Denge halindeki bir terazinin iki kefesindeki ağırlıkları eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin, bir kefede "\) x+3 \(" kg, diğerinde "\) 10 \(" kg varsa, denklem "\) x \(+3=10\) \(" olur.
- Geometrik Şekiller: Bir üçgenin kenar uzunlukları bilinmeyenlerle verilmişse ve çevresi biliniyorsa, kenar uzunluklarının toplamını çevreye eşitleyerek denklem kurabiliriz.
- Örnek: Bir karenin bir kenarı "\) x+2 \(" cm ve çevresi "\) 20 \(" cm ise, denklem "\) \(4 \times\) (x+2) \(= 20\) \(" olur.
- Şerit Modelleri/Bloklar: Bütün-parça ilişkilerini gösteren modellerde, parçaların toplamı bütüne eşitlenerek denklem kurulabilir.
İpucu: Görseli ne kadar iyi anlarsan, denklemi o kadar doğru kurarsın. Acele etme, her detayı incele!
✍️ Çözümlü Örnek Sorular ✍️
Örnek Soru 1: Denklem Çözme
Bir sayının \) 3 \( katının \) 5 \( fazlası, aynı sayının \) 2 \( katının \) 10 \( fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
Çözüm:
- Bilinmeyen sayıya "\) x \(" diyelim.
- "Bir sayının \) 3 \( katının \) 5 \( fazlası" ifadesi: "\) 3x + 5 \("
- "Aynı sayının \) 2 \( katının \) 10 \( fazlası" ifadesi: "\) 2x + 10 \("
- Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre denklemi kuralım: "\) 3x \(+ 5 = 2\) x + 10 \("
- Şimdi denklemi çözelim:
- Bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri diğer tarafa toplayalım:
- "\) 3x - 2x \(= 10 - 5\) \("
- "\) x \(= 5\) \("
- Yani, bu sayı "\) 5 \("tir.
Örnek Soru 2: Oran ve Yüzde Problemi
Bir sepetteki elmaların sayısının armutların sayısına oranı "\) \(\frac{3}{5}\) \(" tir. Sepette toplam "\) 40 \(" meyve olduğuna göre, kaç tane elma vardır? Elmaların sayısı toplam meyvelerin yüzde kaçıdır?
Çözüm:
- Elmaların sayısına "\) E \(", armutların sayısına "\) A \(" diyelim.
- Oran "\) \(\frac{E}{A} = \frac{3}{5}\) \(" ise, "\) E \(= 3\) k \(" ve "\) A \(= 5\) k \(" diyebiliriz (burada "\) k \(" bir orantı sabitidir).
- Toplam meyve sayısı "\) 40 \(" olduğuna göre: "\) E + A \(= 40\) \("
- "\) 3k + 5k \(= 40\) \("
- "\) 8k \(= 40\) \("
- "\) k \(= \frac{40}{8} = 5\) \("
- Şimdi elma sayısını bulalım: "\) E \(= 3\) k \(= 3 \times 5 = 15\) \(" elma vardır.
- Armut sayısı ise "\) A \(= 5\) k \(= 5 \times 5 = 25\) \(" armut.
- Elmaların toplam meyvelerin yüzde kaçı olduğunu bulalım:
- "\) \(\frac\) { \(\text{Elma Sayısı}\) }{ \(\text{Toplam Meyve Sayısı}\) } \(= \frac{15}{40}\) \("
- Bu kesri yüzdeye çevirmek için paydasını "\) 100 \(" yapmaya çalışalım veya ondalık sayıya çevirelim:
- "\) \(\frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) \(" (sadeleştirdik)
- "\) \(\frac{3}{8} = 0\).375 \("
- Yüzdeye çevirmek için "\) 100 \(" ile çarparız: "\) 0. \(375 \times 100 =\) \%37.5 \("
- Yani, elmalar toplam meyvelerin "\) \%37.5$"idir.
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3x \(- 8 = 13\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
Bir sayının yarısının 5 fazlası 12 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 14 \)
C) \( 18 \)
D) \( 22 \)
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 2(x + 4) \(= 20\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 8 \)
D) \( 10 \)
Eşit kollu bir terazinin sol kefesinde 3 adet özdeş elma ve 50 gramlık bir ağırlık, sağ kefesinde ise 1 adet özdeş elma ve 150 gramlık bir ağırlık bulunmaktadır. Terazi dengede olduğuna göre, bir elma kaç gramdır?
A) \( 40 \)B) \( 50 \)
C) \( 60 \)
D) \( 70 \)
Bir sınıftaki erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısının 2 katından 3 eksiktir. Sınıfta toplam 27 öğrenci olduğuna göre, bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
A) \( 8 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 14 \)
\( 24 \) sayısının \( 36 \) sayısına oranı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \frac{1}{2} \)B) \( \frac{2}{3} \)
C) \( \frac{3}{4} \)
D) \( \frac{4}{5} \)
\( \frac{3}{5} = \frac{x}{20} \) orantısında \( x \) değeri kaçtır?
A) \( 9 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
Bir fırıncı \( 3 \) kg un ile \( 15 \) ekmek yapabilmektedir. Aynı tarifle \( 7 \) kg un ile kaç ekmek yapabilir?
A) \( 25 \)B) \( 30 \)
C) \( 35 \)
D) \( 40 \)
\( 4 \) işçi bir duvarı \( 12 \) günde örebilmektedir. Aynı duvarı \( 6 \) işçi kaç günde örebilir?
A) \( 6 \)B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı \( \frac{3}{5} \) 'tir. Sınıfta toplam \( 32 \) öğrenci olduğuna göre, sınıftaki kız öğrenci sayısı kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 20 \)
250 sayısının %40'ı kaçtır?
A) \( 80 \)B) \( 90 \)
C) \( 100 \)
D) \( 120 \)
Hangi sayının %25'i 75'tir?
A) \( 200 \)B) \( 250 \)
C) \( 300 \)
D) \( 350 \)
Bir mağazada fiyatı 180 TL olan bir pantolon, sezon sonu indirimiyle %20 daha ucuza satılmaktadır. Pantolonun indirimli fiyatı kaç TL'dir?
A) \( 136 \)B) \( 144 \)
C) \( 152 \)
D) \( 160 \)
Bir ürünün fiyatı 150 TL iken, %10 zam yapılmıştır. Zamlı fiyatı kaç TL'dir?
A) \( 155 \)B) \( 160 \)
C) \( 165 \)
D) \( 170 \)
Bir ürün %25 indirimle 120 TL'ye satılmaktadır. Bu ürünün indirimsiz (gerçek) fiyatı kaç TL'dir?
A) \( 150 \)B) \( 160 \)
C) \( 175 \)
D) \( 180 \)
Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katından 3 cm fazladır. Bu dikdörtgenin çevresi 42 cm olduğuna göre, kısa kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
Bir sınıftaki erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısının 3 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 35 öğrenci olduğuna göre, bu sınıfta kaç tane kız öğrenci vardır?
A) \( 8 \)B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
Bir terazi görseli verilmiştir. Terazinin sol kefesinde her biri \( x \) kilogram olan 3 tane karpuz ve 2 kilogramlık bir ağırlık bulunmaktadır. Sağ kefesinde ise her biri 5 kilogram olan 2 tane karpuz ve 7 kilogramlık bir ağırlık bulunmaktadır. Terazi denge konumunda olduğuna göre, bir karpuzun kütlesi kaç kilogramdır? (Görselde karpuzlar özdeştir ve kütleleri \( x \) ile ifade edilmektedir.)
A) \( 4 \)B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
Bir üçgenin iç açıları sırasıyla \( x \), \( x + 10 \) ve \( 2x - 30 \) derecedir. Buna göre, bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
A) \( 60 \)B) \( 70 \)
C) \( 80 \)
D) \( 90 \)
Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 50'dir. Babanın yaşı, oğlunun yaşının 3 katından 2 eksiktir. Buna göre, babanın yaşı kaçtır?
A) \( 13 \)B) \( 17 \)
C) \( 37 \)
D) \( 39 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3664-7-sinif-esitlik-ve-denklem-oran-ve-oranti-yuzdeler-ve-gorseli-kullanarak-denklem-kurma-test-coz-01yt