📌 Karekök Nedir?
Merhaba sevgili \(7\). sınıf öğrencileri! Bugün matematik dersimizin önemli konularından biri olan karekökleri derinlemesine inceleyeceğiz. Karekökler, matematikte birçok alanda karşımıza çıkan ve günlük hayatta da bazı hesaplamalarda kullanılan temel bir kavramdır. Hazır mısın? 🚀
💡 Karekök Tanımı
Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır. Yani, bir \(x\) sayısının karekökü, \(k \times k = x\) eşitliğini sağlayan pozitif \(k\) sayısıdır.
Örneğin:
- \(9\) sayısının karekökü \(3\) 'tür, çünkü \(3 \times 3 = 9\) eder.
- \(25\) sayısının karekökü \(5\) 'tir, çünkü \(5 \times 5 = 25\) eder.
✅ Karekök Sembolü
Karekök işlemi \(\sqrt{}\) sembolü ile gösterilir. Bu sembole karekök işareti denir.
Örnekler:
- \(\sqrt{9} = 3\)
- \(\sqrt{25} = 5\)
- \(\sqrt{100} = 10\)
🚀 Tam Kare Sayılar
Karekökü tam sayı olan sayılara tam kare sayılar denir. Bu sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılmasıyla (karesi alınmasıyla) elde edilir.
Örnek tam kare sayılar:
- \(1\) (\(1 \times 1 = 1\))
- \(4\) (\(2 \times 2 = 4\))
- \(9\) (\(3 \times 3 = 9\))
- \(16\) (\(4 \times 4 = 16\))
- \(25\) (\(5 \times 5 = 25\))
- ... ve bu böyle devam eder.
Aşağıdaki tabloda ilk bazı tam kare sayıları ve kareköklerini görebilirsin:
| Sayı (\(x\)) | Kaçın Karesi | Karekökü (\(\sqrt{x}\)) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1^2\) | \(1\) |
| \(4\) | \(2^2\) | \(2\) |
| \(9\) | \(3^2\) | \(3\) |
| \(16\) | \(4^2\) | \(4\) |
| \(25\) | \(5^2\) | \(5\) |
| \(36\) | \(6^2\) | \(6\) |
| \(49\) | \(7^2\) | \(7\) |
| \(64\) | \(8^2\) | \(8\) |
| \(81\) | \(9^2\) | \(9\) |
| \(100\) | \(10^2\) | \(10\) |
📌 Kareköklü İfadeleri \(a\sqrt{b}\) Şeklinde Yazma
Her sayı tam kare olmayabilir. Tam kare olmayan sayıların karekökleri genellikle irrasyonel sayılardır. Ancak bu sayıları da daha basit bir formda yazabiliriz: \(a\sqrt{b}\) şeklinde.
💡 Nasıl Yapılır?
Bir kareköklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazmak için:
- Karekök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırın.
- Çarpanlar arasında tam kare olanları bulun.
- Tam kare olan çarpanları karekök dışına çıkarın (karekökünü alarak).
- Tam kare olmayan çarpanları karekök içinde bırakın.
Örnek: \(\sqrt{12}\) sayısını \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım.
- \(12\) sayısının çarpanları: \(1 \times 12\), \(2 \times 6\), \(3 \times 4\).
- Bu çarpanlar arasında tam kare olan \(4\) sayısıdır. (\(4 = 2^2\))
- Yani \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}\) şeklinde yazabiliriz.
- \(\sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3}\) (Karekökün çarpma özelliği)
- \(\sqrt{4} = 2\) olduğu için, ifade \(2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) olur.
Unutma: Karekök dışına çıkarılan sayı pozitif olmalıdır. Karekök içindeki sayı ise negatif olamaz!
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek Soru 1:
Aşağıdaki kareköklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazınız.
a) \(\sqrt{18}\)
b) \(\sqrt{75}\)
Çözüm 1:
a) \(\sqrt{18}\)
- \(18\) sayısını çarpanlarına ayırıyoruz: \(18 = 9 \times 2\).
- \(9\) bir tam karedir (\(3^2 = 9\)).
- \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
b) \(\sqrt{75}\)
- \(75\) sayısını çarpanlarına ayırıyoruz: \(75 = 25 \times 3\).
- \(25\) bir tam karedir (\(5^2 = 25\)).
- \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
Örnek Soru 2:
Alanı \(48\) metrekare olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm 2:
Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesinin alınmasıyla) bulunur. Yani, kenar uzunluğu \(a\) ise, Alan \(= a^2\) olur.
- Bize Alan \(= 48\) metrekare verilmiş. O halde, \(a^2 = 48\).
- \(a\) değerini bulmak için \(48\) 'in karekökünü almalıyız: \(a = \sqrt{48}\).
- \(\sqrt{48}\) ifadesini \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:
- \(48\) sayısını çarpanlarına ayırıyoruz. En büyük tam kare çarpanını bulalım: \(48 = 16 \times 3\).
- \(16\) bir tam karedir (\(4^2 = 16\)).
- \(a = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Cevap: Bahçenin bir kenar uzunluğu \(4\sqrt{3}\) metredir.
Umarım bu notlar karekökler konusunu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Başarılar dilerim! 😊
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{12}\) \]
B) \( 6\sqrt{3} \)
C) \( 5\sqrt{3} \)
D) \( 4\sqrt{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) { \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}\) }{ \(\sqrt{4}\) } \]
B) \( 5 \)
C) \( 10 \)
D) \( 20 \)
Aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür?
\[\(3\sqrt{5}\), \(\quad \sqrt{40}\), \(\quad 2\sqrt{10}\) \]
B) \( \sqrt{40} \)
C) \( 2\sqrt{10} \)
D) Hepsi eşittir.
\( \sqrt{130} \) sayısı hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?
A) \( 10 \) ile \( 11 \)B) \( 11 \) ile \( 12 \)
C) \( 12 \) ile \( 13 \)
D) \( 13 \) ile \( 14 \)
Alanı \( 196 \text{ m}^2 \) olan kare şeklindeki bir tarlanın çevresi kaç metredir?
A) \( 48 \)B) \( 52 \)
C) \( 56 \)
D) \( 60 \)
Aşağıdaki sayılardan hangisinin karekökü bir tam sayıdır?
A) \( 24 \)B) \( 36 \)
C) \( 40 \)
D) \( 50 \)
\( \sqrt{108} \) ifadesinin \( a\sqrt{b} \) biçiminde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 3\sqrt{12} \)B) \( 4\sqrt{6} \)
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 9\sqrt{2} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{27}\) \]
B) \( 5\sqrt{3} \)
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 7\sqrt{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) { \(\sqrt{162}\) }{ \(\sqrt{2}\) } \]
B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{121}\) \]
B) \( 18 \)
C) \( 19 \)
D) \( 20 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3757-7-sinif-karekok-test-coz-oxsx