9. Sınıf Matematik: Benzerlik ve Eşlik Konu Notları
Temel Kavramlar
Geometride benzerlik ve eşlik, şekiller arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlayan iki önemli kavramdır. Bu iki kavram, şekillerin boyutları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceler.
Eşlik (Congruence)
İki geometrik şeklin eş olması, bu şekillerin hem büyüklüklerinin hem de şekillerinin tamamen aynı olduğu anlamına gelir. Yani, bir şekli diğerinin üzerine getirip tam olarak çakıştırabiliriz. Eş şekillerin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit ve karşılıklı açı ölçüleri de birbirine eşittir.
Eş Üçgenler
İki üçgenin eş olması için aşağıdaki durumlardan biri sağlanmalıdır:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenetler arasındaki açıları eşit ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı birer kenar uzunluğu ve bu kenarların belirttiği ikişer açıları eşit ise bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da eşit ise bu üçgenler eştir.
Eşlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)
Benzerlik (Similarity)
İki geometrik şeklin benzer olması, bu şekillerin şekillerinin aynı, ancak büyüklüklerinin farklı olabileceği anlamına gelir. Benzer şekillerin karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşittir ve karşılıklı kenar uzunlukları sabit bir oranla (benzerlik oranı) orantılıdır.
Benzer Üçgenler
İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki durumlardan biri sağlanmalıdır:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenetler arasındaki açıları eşit ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Benzerlik oranı \(k\) ile gösterilir. Eğer \(k=1\) ise üçgenler eştir. Eğer \(k eq 1\) ise üçgenler sadece benzerdir.
Benzerlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Benzerlik Oranı
Benzer iki çokgenin karşılıklı kenar uzunluklarının oranına benzerlik oranı denir. Bu oran, şekillerin birbirine göre ne kadar büyütüldüğünü veya küçültüldüğünü ifade eder.
💡 Önemli Not: Eşlik, benzerliğin özel bir halidir. Benzerlik oranı \(k=1\) olduğunda, şekiller eş olurlar. Ancak her benzer şekil eş değildir.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Eşlik | Benzerlik |
|---|---|---|
| Şekil | Aynı | Aynı |
| Büyüklük | Aynı | Orantılı (Farklı Olabilir) |
| Karşılıklı Açılar | Eşit | Eşit |
| Karşılıklı Kenarlar | Eşit | Orantılı |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Eş Üçgenler
Soru: Aşağıda verilen \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(AB = DE = 5\) cm, \(BC = EF = 7\) cm ve \(\angle B = \angle E = 60^{\circ}\) 'dir. Bu iki üçgen eş midir? Neden?
Çözüm: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu (\(AB=DE\) ve \(BC=EF\)) ve bu kenetler arasındaki açıları (\(\angle B = \angle E\)) eşittir. Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı sağlar. Dolayısıyla, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
Örnek 2: Benzer Üçgenler
Soru: Bir \(\triangle ABC\) 'de açılar \(80^{\circ}\), \(50^{\circ}\), \(50^{\circ}\) 'dir. Benzer bir \(\triangle DEF\) 'nin açıları \(80^{\circ}\), \(50^{\circ}\), \(50^{\circ}\) olarak verilmiştir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzerlik oranı nedir?
Çözüm: Her iki üçgenin de açıları sırasıyla \(80^{\circ}\), \(50^{\circ}\), \(50^{\circ}\) 'dir. Bu, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nın sağlandığı anlamına gelir (ikişer açıları eşitse üçüncüsü de eşittir). Bu nedenle, \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) 'dir. Ancak sadece açılar verildiği için kenar uzunlukları hakkında bilgi sahibi değiliz. Eğer kenar uzunlukları verilmiş olsaydı, benzerlik oranını (\(k\)) hesaplayabilirdik. Örneğin, eğer \(AB=4\) ve \(DE=8\) olsaydı, benzerlik oranı \(k = \frac{DE}{AB} = \frac{8}{4} = 2\) olurdu.
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 7.5 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
İki benzer üçgenin alanları sırasıyla \( 16 \) cm \(^2\) ve \( 36 \) cm \(^2\) dir. Benzerlik oranı küçük üçgenin büyük üçgene oranı ise, bu oran kaçtır?
A) \( \frac{2}{3} \)B) \( \frac{3}{2} \)
C) \( \frac{4}{9} \)
D) \( \frac{9}{4} \)
E) \( \frac{1}{2} \)
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |BC| = 20 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve çevresi \( 45 \) cm olan bir DEF üçgeninin en kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 15 \)
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 10 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |BC| = 20 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı \( 9 \) cm olan bir DEF üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
A) \( 40.5 \)B) \( 45 \)
C) \( 50 \)
D) \( 54 \)
E) \( 60 \)
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve en uzun kenarı \( 15 \) cm olan bir DEF üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
A) \( 18 \)B) \( 24 \)
C) \( 30 \)
D) \( 36 \)
E) \( 45 \)
Aşağıdaki şekilde, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |DE| = 12 \) cm ve \( |EF| = 18 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 14 \)
E) \( 16 \)
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve çevresi \( 57 \) cm olan bir DEF üçgeninin en kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 15 \)
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 7.5 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
İki benzer üçgenin alanları sırasıyla \( 16 \) cm \(^2\) ve \( 36 \) cm \(^2\) dir. Benzerlik oranı küçük üçgenin büyük üçgene oranı ise, bu oran kaçtır?
A) \( \frac{2}{3} \)B) \( \frac{3}{2} \)
C) \( \frac{4}{9} \)
D) \( \frac{9}{4} \)
E) \( \frac{1}{2} \)
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve çevresi \( 36 \) cm olan bir DEF üçgeninin en uzun kenarı kaç cm'dir?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 18 \)
E) \( 20 \)
Aşağıdaki şekilde, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |DE| = 12 \) cm ve \( |EF| = 18 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının karşılık geldiği \( |DF| \) kenarı \( 30 \) cm ise, \( |AC| \) kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
E) \( 12 \)
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı \( 9 \) cm olan bir DEF üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
A) \( 30 \)B) \( 37.8 \)
C) \( 40 \)
D) \( 45 \)
E) \( 50 \)
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi kesinlikle ikizkenar üçgendir?
I. Bir açısı \( 90^\circ \) olan üçgen.
II. İki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgen.
III. İki iç açısının ölçüsü birbirine eşit olan üçgen.
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) II ve III
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve \( m(\widehat{BAC}) = 80^\circ \) olduğuna göre, \( m(\widehat{ABC}) \) kaç derecedir?
B) \( 50^\circ \)
C) \( 60^\circ \)
D) \( 70^\circ \)
E) \( 80^\circ \)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir eşlik tanımıdır?
A) İki geometrik şeklin aynı büyüklükte ve aynı şekilde olmasıdır.B) İki geometrik şeklin sadece aynı şekilde, ancak farklı büyüklükte olmasıdır.
C) İki geometrik şeklin sadece aynı büyüklükte, ancak farklı şekilde olmasıdır.
D) İki geometrik şeklin köşelerinin karşılıklı olarak eşleşmesidir.
E) İki geometrik şeklin kenar uzunluklarının orantılı olmasıdır.
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD doğru parçasının uzunluğu \( 6 \) cm, DB doğru parçasının uzunluğu \( 3 \) cm ve AE doğru parçasının uzunluğu \( 8 \) cm'dir. Buna göre EC doğru parçasının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 3 \)B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
İki benzer üçgenin alanları oranı \( \frac{9}{16} \) olarak verilmiştir. Benzerlik oranı \( k \) olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi küçük üçgenin çevresinin kaç katıdır?
A) \( \frac{3}{4} \)B) \( \frac{4}{3} \)
C) \( \frac{9}{16} \)
D) \( \frac{16}{9} \)
E) \( \frac{7}{4} \)
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. A noktası D ve E noktalarının kesiştiği noktadır. Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 7.5 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
İki benzer üçgenin alanları oranı \( \frac{4}{9} \) ise, bu üçgenlerin benzerlik oranı kaçtır?
A) \( \frac{2}{3} \)B) \( \frac{3}{2} \)
C) \( \frac{4}{9} \)
D) \( \frac{9}{4} \)
E) \( 2 \)
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 12 \) cm, \( |BC| = 18 \) cm ve \( |AC| = 24 \) cm'dir. Bu üçgene benzer ve çevresi 36 cm olan bir DEF üçgeni çiziliyor. DEF üçgeninin en kısa kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 6 \)B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 12 \)
E) \( 15 \)
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgene benzer ve hipotenüsü 20 cm olan bir üçgenin dik kenar uzunlukları toplamı kaç cm'dir?
A) \( 24 \)B) \( 28 \)
C) \( 30 \)
D) \( 32 \)
E) \( 36 \)
Aşağıdaki şekilde, \( |AB| \parallel |DC| \) ve \( |AE| = 2|EC| \) verilmiştir. \( |AB| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |DC| \) kaç birimdir?
B) \( 9 \)
C) \( 13.5 \)
D) \( 18 \)
E) \( 27 \)
Aşağıdaki üçgenlerde verilmeyen açıyı bulunuz.
ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 70^\circ \) ise, \( m(\hat{C}) \) kaç derecedir?
B) \( 60^\circ \)
C) \( 70^\circ \)
D) \( 80^\circ \)
E) \( 90^\circ \)
Aşağıdaki üçgenlerde verilmeyen kenar uzunluğunu bulunuz.
DEF üçgeninde \( DE = 8 \) cm, \( EF = 15 \) cm ve \( m(\hat{E}) = 90^\circ \) ise, DF kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 17 \)
C) \( 18 \)
D) \( 19 \)
E) \( 20 \)
Aşağıdaki üçgenlerde eşlik durumunu belirleyiniz.
ABC üçgeninde \( AB = DE \), \( BC = EF \) ve \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) \) olduğuna göre, bu iki üçgen arasındaki eşlik kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
B) Kenar-Açı-Kenar (KAK)
C) Açı-Kenar-Açı (AKA)
D) Kenar-Kenar-Kenar (KKK)
E) Kenar-Kenar (KK)
Aşağıdaki şekilde verilen ABC üçgeninde, DE doğrusu AB ve AC kenarlarını kesmektedir. \( DE \parallel BC \) ve \( |AD| = 6 \) cm, \( |DB| = 3 \) cm, \( |AE| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
İki benzer üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları oranı \( \frac{2}{5} \) 'tir. Bu üçgenlerin alanları oranı kaçtır?
A) \( \frac{4}{25} \)B) \( \frac{2}{5} \)
C) \( \frac{16}{25} \)
D) \( \frac{4}{10} \)
E) \( \frac{25}{4} \)
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle BAC = 90^\circ \) ve AD kenarortayıdır. Eğer \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm ise, AD uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
E) \( 8 \)
Aşağıdaki şekilde, DE doğrusu ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarına paraleldir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm olduğuna göre, \( |BC| \) kaç cm'dir?
B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
E) \( 12 \)
Birbirine benzer iki karenin çevreleri oranı 3'tür. Bu karelerin alanları oranı kaçtır?
A) \( 3 \)B) \( 6 \)
C) \( 9 \)
D) \( 12 \)
E) \( 1 \)
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi kesinlikle eş üçgenlerdir?
I. Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre eş olan iki üçgen.
II. Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralına göre eş olan iki üçgen.
III. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre eş olan iki üçgen.
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I, II ve III
Aşağıda verilen ABC ve DEF üçgenlerinde \( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \) ve \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ise bu iki üçgen arasındaki eşlik durumu hangi kural ile ifade edilir?
A) Kenar-Kenar-Kenar (KKK)B) Açı-Açı-Açı (AAA)
C) Kenar-Açı-Kenar (KAK)
D) Açı-Kenar-Açı (AKA)
E) Kenar-Açı-Açı (KAA)
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. DEF üçgeni ise ABC üçgeni ile eşittir. Buna göre, DEF üçgeninin kenar uzunlukları toplamı kaç cm'dir?
A) 15B) 18
C) 21
D) 24
E) 25
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/3975-9-sinif-benzerlik-ve-eslik-test-coz-5z9m