Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik, Pisagor ve Tales Teoremleri
Üçgenlerde Eşlik Koşulları
İki üçgenin eş olması için, bir üçgenin tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açılarının ölçülerinin, diğer üçgenin karşılık gelen kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçülerine eşit olması gerekir. Ancak, bu koşulların tamamını kontrol etmek yerine, belirli asgari koşulları sağladığımızda üçgenlerin eş olduğunu söyleyebiliriz.
- SSS (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunlukları ve bu kenar arasındaki açının ölçüsü eşit ise, bu iki üçgen eştir.
- KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Kuralı: İki üçgenin üç kenar uzunluğu da karşılıklı olarak eşit ise, bu iki üçgen eştir.
- AAS (Açı-Açı-Kenar) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısının ölçüsü ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu eşit ise, bu iki üçgen eştir.
💡 Önemli Not: Açı-Açı-Açı (AAA) koşulu üçgenlerin eş olması için yeterli değildir, sadece benzer olması için yeterlidir.
Üçgenlerde Benzerlik Koşulları
İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı açıların ölçülerinin eşit olması ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. Benzerlik için de asgari koşullar mevcuttur:
- AA Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısının ölçüsü eşit ise, bu iki üçgen benzerdir.
- Ken-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü eşit ise, bu iki üçgen benzerdir.
- Ken-Ken-Ken (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin üç kenar uzunluğu da karşılıklı olarak orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
📌 Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların uzunlukları arasındaki orana benzerlik oranı denir. Bu oran, benzerlik için \(k\) olarak ifade edilir.
Tales Teoremi
Tales teoremi, paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu orantılı doğru parçalarıyla ilgilenir. Bir veya daha fazla paralel doğru, farklı iki keseni kestiğinde, kesenler üzerinde oluşan doğru parçaları orantılıdır.
Örneğin, \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\) doğruları \(AB\) ve \(CD\) kesenlerini kesiyorsa, \(\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{|DF|}{|FE|}\) olur.
Pisagor Teoremi
Pisagor teoremi, dik üçgenler için geçerlidir. Dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
Bir dik üçgenin dik kenarları \(a\) ve \(b\), hipotenüsü \(c\) ise, teorem şu şekilde ifade edilir:
$ \(a^2 + b^2 = c^2\) \(Öklid Teoremleri
Öklid teoremleri de dik üçgenlerle ilgilidir ve genellikle yükseklik ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri inceler. İki temel Öklid teoremi vardır:
- Yükseklik Teoremi: Dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik, hipotenüz üzerinde ayırdığı iki doğru parçasının uzunluklarının geometrik ortalamasıdır.
- Kenar Teoremleri: Dik üçgende, bir dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüzün o kenarın komşu olduğu parçasının uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.
💡 Formüller: Bir dik üçgenin \) ABC \( köşeleri, \) C \( dik açısı, \) CD \( hipotenüse ait yükseklik ve \) D \( noktası \) AB \( kenarı üzerinde olmak üzere:
- Yükseklik Teoremi: \) |CD|^ \(2 =\) |AD| \(\cdot\) |DB| \(
- Kenar Teoremi (AC kenarı için): \) |AC|^ \(2 =\) |AD| \(\cdot\) |AB| \(
- Kenar Teoremi (BC kenarı için): \) |BC|^ \(2 =\) |DB| \(\cdot\) |AB| \(
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Benzerlik ve Tales
Şekilde \) DE \(\parallel\) BC \( verilmiştir. \) |AD| \(= 6\) \( cm, \) |DB| \(= 3\) \( cm ve \) |AE| \(= 8\) \( cm olduğuna göre, \) |EC| \( kaç cm'dir?
Çözüm:
\) DE \(\parallel\) BC \( olduğundan, \) ADE \( üçgeni ile \) ABC \( üçgeni benzerdir (AA benzerliği). Bu benzerlikten dolayı, karşılıklı kenarlar orantılıdır:
\) \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \) \(\) |AB| \(=\) |AD| + |DB| \(= 6 + 3 = 9\) \( cm'dir.
Oranı yerine koyarsak:
\) \( \frac{6}{9} = \frac{8}{|AC|} \) \(\) \(6 \cdot\) |AC| \(= 9 \cdot 8 \implies 6 \cdot\) |AC| \(= 72 \implies\) |AC| \(= \frac{72}{6} = 12\) \( cm.
\) |EC| \(=\) |AC| - |AE| \(= 12 - 8 = 4\) \( cm'dir.
Örnek 2: Pisagor Teoremi
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \) 9 \( cm ve hipotenüsü \) 15 \( cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Pisagor teoremine göre, dik kenarlar \) a \( ve \) b \(, hipotenüs \) c \( olmak üzere \) a^2 + b^ \(2 =\) c^2 \( olduğunu biliyoruz.
Verilenler: \) a \(= 9\) \( cm, \) c \(= 15\) \( cm. Bulmamız gereken \) b \(.
\) \( 9^2 + b^2 = 15^2 \) \( \) \( 81 + b^2 = 225 \) \( \) \( b^2 = 225 - 81 \) \( \) \( b^2 = 144 \) \( \) \( b = \sqrt{144} \) \( \) \( b = 12 \) \(Diğer dik kenarın uzunluğu \) 12$ cm'dir. 🚀
Aşağıdaki üçgenlerden hangileri birbirine eştir?
Verilen üçgenler:
Üçgen ABC: Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 6 \) cm, \( 7 \) cm.
Üçgen DEF: Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 6 \) cm, \( 7 \) cm.
Üçgen GHI: Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 7 \) cm, \( 8 \) cm.
Üçgen JKL: Kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 7 \) cm, \( 8 \) cm.
Üçgen MNO: Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 6 \) cm, \( 7 \) cm.
B) Üçgen ABC ve Üçgen GHI
C) Üçgen DEF ve Üçgen JKL
D) Üçgen GHI ve Üçgen MNO
E) Üçgen ABC ve Üçgen JKL
Aşağıdaki üçgenlerden hangileri birbirine benzerdir?
Verilen üçgenler:
Üçgen ABC: Kenar uzunlukları \( 3 \) cm, \( 4 \) cm, \( 5 \) cm.
Üçgen DEF: Kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 8 \) cm, \( 10 \) cm.
Üçgen GHI: Kenar uzunlukları \( 3 \) cm, \( 5 \) cm, \( 7 \) cm.
Üçgen JKL: Kenar uzunlukları \( 9 \) cm, \( 12 \) cm, \( 15 \) cm.
Üçgen MNO: Kenar uzunlukları \( 4 \) cm, \( 5 \) cm, \( 6 \) cm.
B) Üçgen ABC ve Üçgen JKL
C) Üçgen DEF ve Üçgen MNO
D) Üçgen GHI ve Üçgen JKL
E) Üçgen ABC ve Üçgen MNO
Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 40^\circ \) ve \( m(\angle B) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 80^\circ \) ve \( m(\angle E) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olması için hangi koşul sağlanmalıdır?
B) \( m(\angle A) = m(\angle D) \)
C) \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ve \( m(\angle A) = m(\angle D) \)
D) \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle F) \)
E) \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ve \( m(\angle B) = m(\angle F) \)
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi, kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 8 \) cm ve \( 10 \) cm olan bir üçgen ile benzerdir?
Verilen üçgenler:
Üçgen A: Kenar uzunlukları \( 3 \) cm, \( 4 \) cm, \( 5 \) cm.
Üçgen B: Kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 7 \) cm, \( 8 \) cm.
Üçgen C: Kenar uzunlukları \( 9 \) cm, \( 10 \) cm, \( 11 \) cm.
Üçgen D: Kenar uzunlukları \( 12 \) cm, \( 16 \) cm, \( 20 \) cm.
Üçgen E: Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 6 \) cm, \( 7 \) cm.
B) Üçgen B
C) Üçgen C
D) Üçgen D
E) Üçgen E
İki üçgenin birbirine eş olması için gereken asgari koşullar nelerdir?
I. Üç kenar uzunluklarının da karşılıklı olarak eşit olması (KKK).
II. İki kenar uzunluğunun ve bu kenarlar arasındaki açının karşılıklı olarak eşit olması (Kent-Açı-Kenar - KAK).
III. İki açısının ve bu açılar arasındaki kenarın karşılıklı olarak eşit olması (Açı-Kenar-Açı - AKA).
IV. Birer kenar uzunluğunun ve bu kenarların karşısındaki iki açının karşılıklı olarak eşit olması (Açı-Açı-Kenar - AAK).
B) Yalnız I ve II
C) Yalnız I, II ve III
D) Yalnız I, II, III ve IV
E) Yalnız II ve III
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgene benzer olacak şekilde bir DEF üçgeni çizilecektir. Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm ise, DEF üçgeninin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( |DE| = 3 \) cm, \( |EF| = 4 \) cm, \( |DF| = 5 \) cmB) \( |DE| = 9 \) cm, \( |EF| = 12 \) cm, \( |DF| = 15 \) cm
C) \( |DE| = 12 \) cm, \( |EF| = 16 \) cm, \( |DF| = 20 \) cm
D) [A], [B] ve [C] şıklarındaki tüm üçgenler benzer olabilir.
E) Hiçbiri benzer olamaz.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB| = 12 \) birim, \( |BC| = 18 \) birim ve \( |AC| = 24 \) birimdir. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı 4 birim olan bir DEF üçgeni çizilecektir. DEF üçgeninin çevresi kaç birim olur?
A) \( 12 \)B) \( 15 \)
C) \( 18 \)
D) \( 20 \)
E) \( 24 \)
Aşağıdaki şekilde, \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |AD| = 4 \) cm ve \( |DE| = 8 \) cm'dir. Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile ADE üçgeninin benzer olup olmadığını inceleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını belirtiniz.
(Şekil: Bir A noktasından çıkan ve farklı açılarda ilerleyen AB ve AC doğruları ile bu doğruları kesen DE doğrusunu gösteren bir çizim. D noktası AB üzerindedir, E noktası AC üzerindedir. A, D, B noktaları doğrusaldır. A, E, C noktaları doğrusaldır.)
B) Benzerdirler, benzerlik oranı \( \frac{2}{1} \) 'dir.
C) Benzerdirler, benzerlik oranı \( \frac{1}{3} \) 'tür.
D) Benzer değillerdir.
E) Benzerdirler, ancak oran belirsizdir.
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. AB \(=\) \( 12 \) cm, AD \(=\) \( 4 \) cm ve BC \(=\) \( 18 \) cm olduğuna göre, DE uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
Dik kenar uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 10 \)
C) \( 11 \)
D) \( 12 \)
E) \( 13 \)
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \) dir. AC kenarı \( 5 \) cm ve BC kenarı \( 12 \) cm'dir. Bu üçgenin AB kenarına ait yükseklik (h_c) kaç cm'dir?
B) \( \frac{60}{13} \)
C) \( \frac{70}{13} \)
D) \( \frac{80}{13} \)
E) \( \frac{90}{13} \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4061-9-sinif-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-pisagor-ve-oklid-teoremleri-tales-teoremi-ucgenlerde-ic-acilar-test-coz-yd5t