TYT Geometri: Doğruda Açılar
Temel Kavramlar ve Tanımlar
Doğruda açılar konusu, TYT Geometri'nin temel taşlarından biridir. Bu bölümde, doğrular ve bu doğruların kesişimiyle oluşan açılar arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz. Açılar, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimiyle oluşur. Açının ölçüsü, bu iki ışın arasındaki açıklığı ifade eder ve derece (\(^\circ\)) veya radyan ile ölçülür.
📌 Açı Çeşitleri:
- Dar Açı: Ölçüsü \(0^\circ\) ile \(90^\circ\) arasında olan açılardır. (\(0^\circ < α < 90^\circ\))
- Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \(90^\circ\) olan açılardır.
- Geniş Açı: Ölçüsü \(90^\circ\) ile \(180^\circ\) arasında olan açılardır. (\(90^\circ < \beta < 180^\circ\))
- Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \(180^\circ\) olan açılardır.
- Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \(360^\circ\) olan açılardır.
Doğruda Açılar ve İlişkileri
İki doğrunun birbirini kesmesiyle oluşan açılar arasında özel ilişkiler bulunur:
- Tümler Açılar: Toplamları \(90^\circ\) olan iki açıya tümler açılar denir. Eğer bir açının ölçüsü \(α\) ise, tümleri \(90^\circ - α\) olur.
- Bütünler Açılar: Toplamları \(180^\circ\) olan iki açıya bütünler açılar denir. Eğer bir açının ölçüsü \(\beta\) ise, bütünleri \(180^\circ - \beta\) olur.
💡 Kesim Noktasındaki Açılar:
İki doğru bir kesim noktasında (P noktası diyelim) kesiştiğinde 4 açı oluşur. Bu açılar arasında önemli ilişkiler vardır:
- Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, köşeleri aynı ve kolları birbirinin uzantısı olan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Komşu Açılar: Başlangıç noktaları ve birer ışınları ortak olan, diğer ışınları ise birbirinin tersi olan açılara komşu açılar denir.
- Yöndeş Açılar: İki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan, aynı yöne bakan açılardır. Eğer doğrular paralel ise, yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
- İç Açılar: Paralel iki doğru ile kesenin arasında kalan açılardır.
- Dış Açılar: Paralel iki doğru ile kesenin dışında kalan açılardır.
- Karşı Durumlu Açılar (Karşılıklı İç Açılar): Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, bir iç bölgede ve kesenin farklı tarafında yer alan iki açıya denir. Bu açıların toplamı \(180^\circ\) 'dir.
- Zıt Yönde Açılar (Alternatif İç Açılar): Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, bir iç bölgede ve kesenin zıt tarafında yer alan iki açıya denir. Bu açıların ölçüleri eşittir.
🚀 Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar:
Bu durumda:
- Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
- İç ters açıların ölçüleri eşittir.
- Dış ters açıların ölçüleri eşittir.
- Karşı durumlu (karşılıklı) iç açıların toplamı \(180^\circ\) 'dir.
| Açı İlişkisi | Tanım | Özellik |
|---|---|---|
| Tümler Açılar | Toplamları \(90^\circ\) olan açılar | \(α + \beta = 90^\circ\) |
| Bütünler Açılar | Toplamları \(180^\circ\) olan açılar | \(α + \beta = 180^\circ\) |
| Ters Açılar | Köşeleri aynı, kolları zıt yönlü açılar | \(α = \beta\) |
| İç Ters Açılar (Paralel Doğrularda) | İç bölgede, kesene zıt taraflı açılar | \(α = \beta\) |
| Karşı Durumlu Açılar (Paralel Doğrularda) | İç bölgede, kesene aynı taraflı açılar | \(α + \beta = 180^\circ\) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Tümler Açılar
Bir açının ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün \(2\) katından \(15^\circ\) fazladır. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Aradığımız açıya \(x\) diyelim.
Bu açının tümleri \(90^\circ - x\) olur.
Soruda verilen ilişkiyi denklemle ifade edelim:
\(x = 2 \cdot (90^\circ - x) + 15^\circ\)
\(x = 180^\circ - 2x + 15^\circ\)
\(x = 195^\circ - 2x\)
\(3x = 195^\circ\)
\(x = \frac{195^\circ}{3}\) \(x = 65^\circ\)
Dolayısıyla, açının ölçüsü \(65^\circ\) 'dir. Tümleri ise \(90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\) 'dir. Kontrol edelim: \(2 \cdot 25^\circ + 15^\circ = 50^\circ + 15^\circ = 65^\circ\). ✅
Örnek 2: Paralel Doğrular ve Kesen
Şekilde, \(d_1 \parallel d_2\) ve \(d_3\) doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. \(\angle ABC = 110^\circ\) olduğuna göre, \(\angle BCD\) kaç derecedir?
(Burada bir şekil hayal edin: \(d_1\) üstte, \(d_2\) altta paralel doğrular. \(d_3\) kesen, sol yukarıdan sağ aşağıya doğru kesiyor. A noktası \(d_1\) üzerinde, B kesim noktası, C noktası \(d_2\) üzerinde. \(\angle ABC\) geniş bir açı, \(d_1\) ve \(d_3\) 'ün kesişiminde B'de oluşuyor. \(\angle BCD\) ise \(d_2\) ve \(d_3\) 'ün kesişiminde C'de oluşuyor, iç bölgede.)
Çözüm:
\(\angle ABC\) ve \(\angle BCD\) iç ters açılar değildir. Ancak, \(\angle ABC\) ile \(d_1\) ve \(d_3\) 'ün kesişimindeki diğer iç açı komşu bütünlerdir.
\(\angle ABC = 110^\circ\) olduğundan, \(d_1\) doğrusu üzerindeki B noktasında \(d_3\) doğrusu ile oluşan ve \(\angle ABC\) 'ye komşu bütünler olan açı \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) 'dir. Bu açı, \(d_1\) ve \(d_2\) doğrularının iç bölgesinde ve \(d_3\) keseninin sağ tarafında kalan açıdır.
Paralel doğrular (\(d_1\) ve \(d_2\)) ile kesen (\(d_3\)) arasında, \(d_1\) üzerindeki \(70^\circ\) 'lik açı ile \(d_2\) üzerindeki \(\angle BCD\) yöndeş açılardır (veya iç ters açı olarak da düşünebiliriz eğer \(d_3\) üzerindeki diğer açıyı alırsak).
Ya da daha basit bir yaklaşımla, \(\angle ABC\) ile C noktasındaki \(d_2\) ve \(d_3\) arasındaki açının bütünleri olan açı (yani \(180 - \angle BCD\)) karşı durumlu açılardır.
\(\angle ABC = 110^\circ\) olduğundan, \(d_1\) doğrusu üzerindeki B noktasında \(d_3\) ile yaptığı \(110^\circ\) 'lik açıya komşu olan ve doğrunun alt tarafında kalan açı \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) 'dir. Bu \(70^\circ\) 'lik açı, \(\angle BCD\) 'nin iç tersidir (eğer \(d_3\) üzerindeki diğer açıyı dikkate alırsak).
Paralel doğrular ilkesine göre, iç ters açıların ölçüleri eşittir. Bu nedenle, \(\angle BCD = 70^\circ\) 'dir.
Alternatif olarak, \(\angle ABC = 110^\circ\) ise, B noktasındaki \(d_1\) ve \(d_3\) kesişiminde oluşan ve \(\angle ABC\) 'ye bütünler olan açı \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) 'dir. Bu \(70^\circ\) 'lik açı ile \(\angle BCD\) iç ters açılardır. Dolayısıyla \(\angle BCD = 70^\circ\). ✅
Şekilde, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir. Buna göre, \( x \) kaç derecedir?
B) \( 110 \)
C) \( 120 \)
D) \( 130 \)
E) \( 140 \)
Şekilde, \( AB \parallel CD \) ve \( BC \) doğrusu kesen olarak verilmiştir. \( m(\angle ABC) = 110^\circ \) olduğuna göre, \( m(\angle BCD) \) kaç derecedir?
B) \( 70 \)
C) \( 80 \)
D) \( 90 \)
E) \( 100 \)
Şekilde, \( d_1 \parallel d_2 \) ve \( d_3 \) doğrusu bir kesendir. Verilen açılara göre, \( α \) kaç derecedir?
B) \( 50 \)
C) \( 55 \)
D) \( 60 \)
E) \( 65 \)
Şekilde, d1 // d2'dir. Verilenlere göre \( x \) kaç derecedir?
\[\(\text{Açılar:} \quad \angle 1 = 110\) ^ \(\circ\), \(\quad \angle 2 = 3\) x + 10^ \(\circ\) \]
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
Şekilde, [AB] ve [CD] doğruları E noktasında kesişmektedir.
m(AEC) \(=\) \( 3x + 20^\circ \)
m(BED) \(=\) \( 5x - 10^\circ \)
Buna göre, m(AEC) kaç derecedir?
B) \( 65^\circ \)
C) \( 70^\circ \)
D) \( 85^\circ \)
E) \( 100^\circ \)
Birbirini 130° lik bir açıyla kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \( α \) ise, \( α \) kaç derecedir?
A) \( 40 \)B) \( 50 \)
C) \( 60 \)
D) \( 70 \)
Paralel iki doğru, bir kesenle kesildiğinde oluşan açılarla ilgili olarak aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.B) İç ters açıların ölçüleri eşittir.
C) Karşı durumlu ( / / ) açıların ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) dir.
D) Dış ters açıların ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) dir.
Şekilde, d1 // d2 doğrusaldır. m(AEC) \(= 130\) ° olduğuna göre, m(FGD) kaç derecedir?
[IMAGE] https://i.ibb.co/R6d20Wz/geometry-angle-problem.png
B) \( 50 \)
C) \( 60 \)
D) \( 70 \)
Şekilde, d1 // d2 doğrusaldır. m(ABC) \(=\) \( x + 10^\circ \) ve m(BCD) \(=\) \( 2x - 30^\circ \) olduğuna göre, x kaç derecedir?
[IMAGE] https://i.ibb.co/yv7q04t/parallel-lines-angles.png
B) \( 40 \)
C) \( 50 \)
D) \( 60 \)
Şekilde verilenlere göre, m(ABC) kaç derecedir?
[IMAGE] https://i.ibb.co/JtG0Q0h/angle-bisector-complementary.png
B) \( 60 \)
C) \( 65 \)
D) \( 70 \)
Aşağıdaki şekilde, d1 // d2 olmak üzere verilmeyen \( x \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
\[ x \]
B) [TEXT] \( 70^\circ \)
C) [TEXT] \( 75^\circ \)
D) [TEXT] \( 80^\circ \)
Birbirini 180 dereceye tamamlayan iki açıdan biri \( α \) ise, diğer açı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( α \)B) \( 180^\circ - α \)
C) \( 90^\circ - α \)
D) \( 2α \)
Paralel iki doğruyu kesen bir üçüncü doğru oluşturduğu açılardan biri \( 55^\circ \) ise, bu açıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Yöndeş açısı \( 55^\circ \) olur.B) Karşı durumlu (iç ters) açısı \( 55^\circ \) olur.
C) Zıt açısı \( 55^\circ \) olur.
D) Bulunduğu doğru parçasının yanındaki bütünler açısı \( 135^\circ \) olur.
Şekilde, [AB] // [CD] ve [BC] doğrusu bu iki paralel doğruyu kesmektedir. \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \) olduğuna göre, \( m(\widehat{BCD}) \) kaç derecedir?
B) \( 110^\circ \)
C) \( 180^\circ \)
D) \( 25^\circ \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4107-tyt-dogruda-acilar-test-coz-l22j