9. Sınıf Matematik - Eşlik ve Benzerlik ve Pisagor Teoremi Çalışma Notları
📌 Temel Kavramlar ve Koşullar
Bu bölümde, iki üçgenin eş veya benzer olması için gereken minimum koşulları inceleyeceğiz. Bu koşullar, üçgenler arasındaki ilişkileri anlamamız için temel oluşturur.
Eş Üçgenler
İki üçgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit olmalıdır. Bu durum, aşağıdaki eşlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüleri eşitse, bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açı ölçüsü ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu da eşitse, bu üçgenler eştir.
Benzer Üçgenler
İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açı ölçüleri eşit olmalı ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır. Benzerlik oranı \(k\) ile gösterilir. Bu durum, aşağıdaki benzerlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açı ölçüsü eşitse, bu üçgenler benzerdir. Bu, en sık kullanılan benzerlik kuralıdır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüleri eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.
💡 Tales Teoremi
Paralel doğrular arasında kalan doğru parçalarının oranları ile ilgili bir teoremdir. Bir \(A\) noktasından çıkan iki ışın, bu ışınları kesen \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) gibi paralel doğrularla, orantılı doğru parçaları oluşturur. Eğer \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\) ise, \(\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|}\) olur.
🚀 Öklid ve Pisagor Teoremleri
Pisagor Teoremi
Dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Bir dik üçgende dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise \(a^2 + b^2 = c^2\) eşitliği geçerlidir.
Öklid Teoremleri
Dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu parçalarla ilgili teoremlerdir.
- Yükseklik Teoremi: Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüs üzerinde oluşan iki doğru parçasının geometrik ortalamasıdır. \(h^2 = p \cdot q\)
- Dik Kenar Teoremleri: Dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarın izdüşümüne uzunluğu ile hipotenüsün çarpımına eşittir. \(a^2 = p \cdot c\) ve \(b^2 = q \cdot c\)
✅ Algoritma Temelli Yaklaşımlar
Karmaşık geometrik problemleri çözmek için adım adım planlama ve mantıksal akıl yürütme önemlidir. Problemi küçük parçalara ayırarak, her adımda hangi kuralın veya teoremin uygulanacağını belirlemek, çözüme ulaşmayı kolaylaştırır.
Özetle: Eşlik ve benzerlik koşullarını iyi anlamak, Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini doğru yerlerde kullanabilmek, problem çözme becerilerimizi büyük ölçüde geliştirecektir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Benzer Üçgenler
Bir \(\triangle ABC\) 'de \(A = 50^{\circ}\) ve \(B = 70^{\circ}\) 'dir. \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) olduğuna göre, \(\angle E\) 'nin ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle \(\triangle ABC\) 'nin üçüncü açısını bulalım: \(\angle C = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
Üçgenler benzer olduğu için karşılıklı açıları eşittir. \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) olduğundan, \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\), \(\angle C = \angle F\) 'dir.
Bu durumda \(\angle E = \angle B = 70^{\circ}\) bulunur.
Örnek 2: Pisagor Teoremi
Kenar uzunlukları \(6\) cm ve \(8\) cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Pisagor teoremine göre, dik kenarlar \(a=6\) cm ve \(b=8\) cm ise hipotenüs \(c\) için \(a^2 + b^2 = c^2\) eşitliği geçerlidir.
\(6^2 + 8^2 = c^2\) \(36 + 64 = c^2\) \(100 = c^2\) \(c = \sqrt{100}\) \(c = 10\) cm bulunur.
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi, verilen üçgen ile SSS (Kenar-Kenar-Kenar) eşlik koşulunu sağlar?
Birinci üçgenin kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 7 \) cm ve \( 9 \) cm'dir.
B) Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 7 \) cm ve \( 8 \) cm olan bir üçgen.
C) Kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 7 \) cm ve \( 9 \) cm olan bir üçgen.
D) Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 6 \) cm ve \( 9 \) cm olan bir üçgen.
E) Kenar uzunlukları \( 7 \) cm, \( 8 \) cm ve \( 9 \) cm olan bir üçgen.
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 12 \) cm ve \( |AC| = 15 \) cm'dir. Benzer bir DEF üçgeninde en uzun kenar \( |EF| = 18 \) cm olarak verilmiştir. Bu iki üçgenin benzerliği için hangi koşul sağlanır?
A) KKK (Kenar-Kenar-Kenar) benzerlik koşulu.B) KSK (Kenar-Açı-Kenar) benzerlik koşulu.
C) AAK (Açı-Açı-Açı) benzerlik koşulu.
D) SSS (Kenar-Kenar-Kenar) benzerlik koşulu.
E) KKA (Kenar-Kenar-Açı) benzerlik koşulu.
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm'dir. Bu ABC üçgenine benzer ve kenar uzunlukları \( |A'B'| = 12 \) cm olan bir A'B'C' üçgeni oluşturulacaktır. Buna göre, A'B'C' üçgeninin \( |B'C'| \) kenar uzunluğu kaç cm olur?
A) \( 14 \)B) \( 15 \)
C) \( 16 \)
D) \( 17 \)
E) \( 18 \)
Aşağıdaki şekilde, \( AB \parallel DE \) olacak şekilde iki üçgen verilmiştir. \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( |CE| = 14 \) cm'dir. Bu bilgilere göre, \( |DE| \) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
E) \( 12 \)
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB kenarı \( 6 \) cm ve AC kenarı \( 8 \) cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz.
B) \( 10 \) cm
C) \( 11 \) cm
D) \( 12 \) cm
E) \( 13 \) cm
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD \(= 4\) cm, DB \(= 6\) cm ve DE \(= 5\) cm olduğuna göre BC uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 12.5 \)
D) \( 15 \)
E) \( 16 \)
İki kare şeklindeki bahçenin alanları oranı \( \frac{9}{16} \) olarak verilmiştir. Küçük bahçenin çevresi 24 metre olduğuna göre, büyük bahçenin çevresi kaç metredir?
A) \( 27 \)B) \( 32 \)
C) \( 36 \)
D) \( 40 \)
E) \( 48 \)
Bir çiftçi, tarlasındaki domatesleri toplamak için bir algoritma hazırlıyor. Algoritmanın ilk adımı, tarladaki domates sayısını öğrenmektir. İkinci adımda, topladığı her bir domates için \( 2 \) TL kazanacağını hesaplar. Üçüncü adımda ise, toplam kazancından \( 50 \) TL masrafı düşer. Eğer çiftçinin toplam \( 150 \) TL kazandığı biliniyorsa, bu algoritmanın ilk adımında tarlada kaç domates olduğunu bulmak için hangi işlem yapılmalıdır?
A) \( \frac{150+50}{2} \)B) \( \frac{150-50}{2} \)
C) \( 150 \times 2 - 50 \)
D) \( (150+50) \times 2 \)
E) \( (150-50) \times 2 \)
Bir bilgisayar programı, girilen bir \( N \) pozitif tam sayısının tek mi çift mi olduğunu kontrol ediyor. Eğer sayı tek ise, sayının \( 3 \) katının \( 1 \) fazlasını hesaplıyor. Eğer sayı çift ise, sayının \( 2 \) katının \( 5 \) eksiğini hesaplıyor. Bu program, \( N=7 \) değeri için çalıştırıldığında elde edilen sonuç kaçtır?
A) \( 16 \)B) \( 17 \)
C) \( 20 \)
D) \( 21 \)
E) \( 22 \)
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( \angle B = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde \( DE = 12 \) cm, \( EF = 16 \) cm ve \( \angle E = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bu iki üçgenin benzerliği hakkında ne söylenebilir?
B) İki üçgen benzerdir ancak eş değildir.
C) İki üçgen ne eş ne de benzerdir.
D) Verilen bilgilerle benzerlik veya eşitlik hakkında kesin bir yargıya varılamaz.
E) ABC üçgeni DEF üçgeninin iki katıdır, bu nedenle eşittirler.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi, iki üçgenin eş olduğunu göstermek için yeterli bir koşuldur?
B) İki üçgenin ikişer açılarının eşit olması.
C) İki üçgenin birer kenar uzunluklarının ve bu kenarlar arasındaki açıların eşit olması.
D) İki üçgenin üç kenar uzunluklarının da eşit olması.
E) İki üçgenin birer kenar uzunluklarının ve bu kenarların karşısındaki açıların eşit olması.
Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgene benzer bir DEF üçgeni oluşturmak için hangi ölçeklendirme faktörü kullanılmalıdır ki, DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin kenar uzunluklarının yarısı kadar olsun?
A) Ölçeklendirme faktörü 1/4 olmalıdır.B) Ölçeklendirme faktörü 1/2 olmalıdır.
C) Ölçeklendirme faktörü 2 olmalıdır.
D) Ölçeklendirme faktörü 4 olmalıdır.
E) Ölçeklendirme faktörü 1 olmalıdır.
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir ABC üçgenine benzer bir DEF üçgeni çizilecektir. Eğer DEF üçgeninin en kısa kenarı 3 cm ise, DEF üçgeninin diğer iki kenarının uzunlukları toplamı kaç cm olur?
A) 10 cmB) 12 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 18 cm
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD \(= 4\) cm, DB \(= 6\) cm ve AE \(= 5\) cm olduğuna göre, EC kaç cm'dir? Bu problemde Tales teoreminin hangi özelliğinden yararlanılır?
B) Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortalaması.
C) Dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşitliği.
D) Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğrunun diğer kenarları orantılı böldüğü.
E) İç ters açıların eşitliği.
Bir ABC üçgeninde, [AB] kenarı [DE] kenarına paraleldir. D noktası [AC] üzerinde ve E noktası [BC] üzerindedir. Eğer \( |AD| = 3 \) cm, \( |DC| = 6 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir?
A) \( 4 \)B) \( 6 \)
C) \( 8 \)
D) \( 10 \)
E) \( 12 \)
Bir ABCD paralelkenarında, [AC] köşegeni çizilmiştir. E noktası [BC] üzerindedir ve F noktası [AB] üzerindedir. Eğer \( |BE| = 2|EC| \) ve \( |AF| = 3|FB| \) ise, \( \frac{|AE|}{|CF|} \) oranı kaçtır?
A) \( \frac{1}{2} \)B) \( \frac{2}{3} \)
C) \( 1 \)
D) \( \frac{3}{2} \)
E) \( 2 \)
Bir bilgisayar programında, aşağıdaki adımları izleyen bir algoritma bulunmaktadır:
1. Başla
2. Bir \( x \) sayısı oku.
3. Eğer \( x > 10 \) ise, \( y = x - 5 \) olarak ata.
4. Değilse, \( y = x + 5 \) olarak ata.
5. \( y \) değerini yazdır.
6. Bitir.
Bu algoritmaya göre, eğer programa \( x = 12 \) sayısı girilirse, programın yazdıracağı \( y \) değeri kaç olur?
B) \( 7 \)
C) \( 12 \)
D) \( 17 \)
E) \( 60 \)
Aşağıdaki algoritma, iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmak için tasarlanmıştır:
1. Başla
2. İki pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) oku.
3. Eğer \( a = b \) ise, EBOB \( a \) olarak kabul edilir ve 6. adıma git.
4. Eğer \( a > b \) ise, \( a = a - b \) yap.
5. Değilse (yani \( b > a \) ise), \( b = b - a \) yap.
6. EBOB değerini yazdır.
7. Bitir.
Bu algoritmaya göre, \( a = 18 \) ve \( b = 12 \) sayıları girildiğinde, EBOB olarak hangi değer yazdırılır?
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 6 \)
E) \( 12 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4140-9-sinif-iki-ucgenin-esligi-ve-benzerligi-tales-oklid-ve-pisagor-teoremleri-algoritma-temelli-problem-cozme-test-coz-m93j