9. Sınıf Matematik - Öteleme, Eşlik ve Benzerlik
📌 Öteleme ve Özellikleri
Öteleme, bir şekli veya noktayı düzlemde belirli bir yön ve büyüklükte kaydırma işlemidir. Öteleme sonucunda şeklin veya noktanın boyutu, şekli ve yönelimi değişmez. Sadece konumu farklılaşır.
💡 Ötelemenin Özellikleri:
- Öteleme, doğrultmanı, yönünü ve büyüklüğünü korur.
- Ötelenen şekil, orijinal şeklinin tıpatıp aynısıdır (eşidir).
- Öteleme vektörü, şeklin her noktasının ne kadar ve hangi yönde hareket edeceğini belirler.
- Bir \(A(x, y)\) noktasının \(v = (a, b)\) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan yeni noktanın koordinatları \(A'(x+a, y+b)\) olur.
Öteleme, bir nesneyi bir yerden başka bir yere düz bir çizgide hareket ettirmek gibidir. Sanki bir kaykay üzerindeki bir nesne gibi, kaykayın nereye giderse nesne de onunla birlikte oraya gider.
📌 Eşlik ve Benzerlik
✅ Eşlik (Kongrüans):
İki geometrik şeklin eş olması, onların tüm karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açı ölçülerinin eşit olması anlamına gelir. Eş şekiller, üst üste konulduğunda tamamen çakışırlar. Sembolü \(\cong\) şeklindedir.
💡 Eşliğin Özellikleri:
- Eş şekiller, öteleme, yansıma ve dönme gibi izometrilerle birbirine dönüştürülebilir.
- İki üçgenin eş olması için belirli kriterler vardır: Kenar-Açı-Kenar (KAK), Açı-Kenar-Açı (AKA), Kenar-Kenar-Kenar (KKK).
🚀 Benzerlik (Simetri):
İki geometrik şeklin benzer olması, karşılıklı açı ölçülerinin eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması anlamına gelir. Benzer şekiller aynı şekle sahiptir ancak boyutları farklı olabilir. Sembolü \(\sim\) şeklindedir.
💡 Benzerliğin Özellikleri:
- Benzer şekillerin karşılıklı açıları eşittir.
- Benzer şekillerin karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oran sabittir. Bu orana benzerlik oranı denir.
- İki üçgenin benzer olması için belirli kriterler vardır: Açı-Açı (AA) benzerliği, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerliği.
- Benzerlik oranı \(k\) ise, alanları oranı \(k^2\), çevreleri oranı \(k\) 'dır.
Eşlik ve Benzerlik Arasındaki Farklar:
| Özellik | Eşlik (\(\cong\)) | Benzerlik (\(\sim\)) |
|---|---|---|
| Kenar Uzunlukları | Eşit | Orantılı |
| Açı Ölçüleri | Eşit | Eşit |
| Boyut | Aynı | Farklı Olabilir |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Öteleme
Bir \(A(3, -2)\) noktasının \(v = (-5, 4)\) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Noktanın ötelenmesi formülünü kullanırız: \(A'(x+a, y+b)\).
Burada \(x=3\), \(y=-2\), \(a=-5\) ve \(b=4\) 'tür.
\(A'(3 + (-5), -2 + 4) = A'(-2, 2)\)
Oluşan \(A'\) noktasının koordinatları \((-2, 2)\) 'dir.
Örnek 2: Benzer Üçgenler
Birbirine benzer olan \(ABC\) ve \(DEF\) üçgenlerinde, \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\) ve \(\angle C = \angle F\) 'dir. Eğer \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 8\) cm ve \(|AC| = 10\) cm ise ve \(DEF\) üçgeninin çevresi \(36\) cm ise, \(|DE|\), \(|EF|\) ve \(|DF|\) kenar uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Üçgenler benzer olduğu için kenar uzunlukları orantılıdır. Çevreleri oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir.
Önce \(ABC\) üçgeninin çevresini bulalım: \(6 + 8 + 10 = 24\) cm.
Benzerlik oranı \(k = \frac{\text{Çevre}(DEF)}{\text{Çevre}(ABC)} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}\) 'dir.
Şimdi \(DEF\) üçgeninin kenar uzunluklarını bulalım:
- \(|DE| = k \times |AB| = \frac{3}{2} \times 6 = 9\) cm
- \(|EF| = k \times |BC| = \frac{3}{2} \times 8 = 12\) cm
- \(|DF| = k \times |AC| = \frac{3}{2} \times 10 = 15\) cm
\(DEF\) üçgeninin kenar uzunlukları \(|DE|=9\) cm, \(|EF|=12\) cm ve \(|DF|=15\) cm'dir.
Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-2, 3) \)B) \( (2, -3) \)
C) \( (-2, -3) \)
D) \( (3, 2) \)
E) \( (3, -2) \)
\( P(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği \( P'(-4, 5) \) noktasıdır. Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
A) \( 1 \)B) \( -1 \)
C) \( 9 \)
D) \( -9 \)
E) \( -3 \)
Analitik düzlemde \( B(-1, -2) \) noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (1, 2) \)B) \( (-1, 2) \)
C) \( (1, -2) \)
D) \( (2, 1) \)
E) \( (-2, -1) \)
\( C(3, 4) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, 3) \)B) \( (-3, 4) \)
C) \( (3, -4) \)
D) \( (-4, -3) \)
E) \( (4, -3) \)
\( D(5, -2) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (2, -5) \)B) \( (-2, 5) \)
C) \( (5, 2) \)
D) \( (-5, 2) \)
E) \( (2, 5) \)
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve \( m(\angle BAC) = 80^\circ \) verilmiştir. Bu üçgenin iç açıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 80^\circ, 50^\circ, 50^\circ \)B) \( 70^\circ, 55^\circ, 55^\circ \)
C) \( 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ \)
D) \( 90^\circ, 45^\circ, 45^\circ \)
E) \( 100^\circ, 40^\circ, 40^\circ \)
Birbirine eş olan iki karenin çevre uzunlukları toplamı \( 48 \) cm'dir. Bu karelerden birinin alanının kaç cm² olduğunu bulunuz.
A) \( 12 \)B) \( 24 \)
C) \( 36 \)
D) \( 48 \)
E) \( 72 \)
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi diğerlerine benzer değildir?
A) Kenar uzunlukları \( 3, 4, 5 \) olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \( 6, 8, 10 \) olan bir üçgen.B) Açıları \( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \) olan bir üçgen ile açıları \( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \) olan bir üçgen.
C) Kenar uzunlukları \( 7, 7, 7 \) olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \( 14, 14, 14 \) olan bir üçgen.
D) Kenar uzunlukları \( 3, 5, 7 \) olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \( 6, 10, 12 \) olan bir üçgen.
E) Açıları \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) olan bir üçgen ile açıları \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) olan bir üçgen.
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 12 \) cm ve \( |AC| = 14 \) cm'dir. Bu üçgenin kenarortaylarının kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezinin kenarlara olan uzaklıkları ile ilgili bir özellik sorulmaktadır. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Ağırlık merkezi, kenarortayların orta noktalarını birleştirir.B) Ağırlık merkezi, kenarların orta noktalarına eşit uzaklıktadır.
C) Ağırlık merkezi, kenarortayları kendi uzunlukları oranında böler.
D) Ağırlık merkezi, üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır.
E) Ağırlık merkezi, kenarların orta noktalarının birleştiği doğru parçalarının kesişim noktasıdır.
İki benzer üçgenin alanları oranı \( \frac{9}{16} \) ise, bu üçgenlerin benzerlik oranı kaçtır?
A) \( \frac{3}{4} \)B) \( \frac{9}{16} \)
C) \( \frac{4}{3} \)
D) \( \frac{81}{256} \)
E) \( \frac{256}{81} \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4348-9-sinif-oteleme-eslik-ve-benzerlik-test-coz-m18y