10. Sınıf Ebob, Ekok ve Çarpan Ağacı Ders Notları
Sayılar teorisinde temel kavramlardan biri olan çarpanlara ayırma, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) konularının anlaşılması için kritik öneme sahiptir. Bu ders notu, sınav öncesi hızlı bir tekrar sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.
Çarpan Ağacı ve Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayının çarpanlarını, özellikle de asal çarpanlarını bulmanın görsel ve etkili yöntemlerinden biri çarpan ağacıdır. Bu yöntemle, bir sayı iki çarpanına ayrılır, bu çarpanlar da kendi içinde asal çarpanlara ayrılana dek dallandırılır.
- 👉 Tanım: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma işlemine asal çarpanlara ayırma denir. Çarpan ağacı, bu işlemi adım adım göstermeye yarar.
- ✅ Yöntem:
- Sayı, en küçük asal çarpanına (genellikle 2'ye) bölünerek başlanır.
- Elde edilen her çarpan, asal olana dek dallandırılmaya devam eder.
- Ağacın en uçtaki dalları, sayının tüm asal çarpanlarını verir.
- ⚠️ Örnek: 72 sayısının çarpan ağacı: 72 -> 2 x 36 -> 2 x (2 x 18) -> 2 x 2 x (2 x 9) -> 2 x 2 x 2 x (3 x 3). Böylece \(72 = 2\)3 x 32 olarak asal çarpanlarına ayrılır.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyük olanına En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. EBOB, verilen sayıları tam bölen en büyük sayıdır.
- 👉 Bulunuşu (Asal Çarpanlar Yöntemi):
- Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
- Her bir sayının asal çarpan listesinden, ortak olan asal çarpanlar seçilir.
- Ortak olan asal çarpanlardan, kuvveti en küçük olanlar alınır ve çarpılır.
- Ortak olmayan asal çarpanlar EBOB hesaplamasına katılmaz.
- ✅ Örnek: EBOB(24, 36)
- \(24 = 2\)3 x 31
- \(36 = 2\)2 x 32
- Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
- 2 için en küçük kuvvet 22, 3 için en küçük kuvvet 31'dir.
- EBOB(24, 36) \(= 2\)2 x 31\(= 4\) x \(3 = 12\).
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif olanına En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. EKOK, verilen sayılara tam bölünen en küçük pozitif sayıdır.
- 👉 Bulunuşu (Asal Çarpanlar Yöntemi):
- Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
- Her bir sayının asal çarpan listesindeki tüm farklı asal çarpanlar seçilir (ortak olsun olmasın).
- Seçilen her bir asal çarpanın kuvveti en büyük olanlar alınır ve çarpılır.
- ✅ Örnek: EKOK(24, 36)
- \(24 = 2\)3 x 31
- \(36 = 2\)2 x 32
- Tüm farklı asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
- 2 için en büyük kuvvet 23, 3 için en büyük kuvvet 32'dir.
- EKOK(24, 36) \(= 2\)3 x 32\(= 8\) x \(9 = 72\).
EBOB ve EKOK Arasındaki İlişkiler ve Önemli Notlar
- 👉 İki Sayının Çarpımı ile EBOB ve EKOK İlişkisi: Herhangi iki pozitif tam sayı a ve b için, a x b \(=\) EBOB(a, b) x EKOK(a, b). Bu formül, özellikle EBOB veya EKOK'lardan biri verildiğinde diğerini bulmak için çok kullanışlıdır.
- ⚠️ Aralarında Asal Sayılar: EBOB(a, b) \(= 1\) olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu durumda, EKOK(a, b) \(=\) a x b olur.
- ✅ Bir Sayının Diğerinin Katı Olması: Eğer a sayısı b sayısının bir katı ise (örn: a \(=\) kb), o zaman EBOB(a, b) \(=\) b ve EKOK(a, b) \(=\) a'dır.
- 👉 Problem Çözümünde Kullanım Alanları:
- EBOB: Büyüklükleri verilen şeylerin eş parçalara ayrılması, gruplandırılması, bölme işlemleri (fayans döşeme, kumaş kesme vb.) gibi "bütünleşmeden parçalara ayırma" durumlarında kullanılır.
- EKOK: Farklı periyotlarda gerçekleşen olayların tekrar bir araya gelmesi, birleşmesi, eşitlenmesi (otobüs seferleri, nöbet tutma, zillerin çalması vb.) gibi "parçalardan bütüne ulaşma" durumlarında kullanılır.
72 ve 108 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
A) 12B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
\(A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\) ve \(B = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 7\) olduğuna göre, \(\text{ebob}(A, B)\) kaçtır?
A) \(2^2 \cdot 3^2\)B) \(2^3 \cdot 3^4\)
C) \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\)
D) \(2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7\)
E) \(2^2 \cdot 3^4\)
Bir marangoz, 120 cm ve 168 cm uzunluğundaki iki tahta parçasını eşit uzunlukta, hiç artmayacak şekilde ve mümkün olan en büyük parçalara ayırmak istiyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu kaç cm olmalıdır?
A) 8B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
EBOB'ları 5 olan iki sayının toplamı 60'tır. Bu sayılar birbirinin katı olmadığına göre, büyük sayı kaçtır?
A) 25B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
İki doğal sayının çarpımı 120'dir. Bu sayıların EBOB'u 1 olduğuna göre, kaç farklı \((a,b)\) sıralı ikilisi vardır?
A) 2B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
İki doğal sayının EBOB'u 8 ve EKOK'u 240'tır. Bu sayılardan biri 40 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
A) 24B) 32
C) 40
D) 48
E) 60
Üç sayı \(A=2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(B=2^3 \cdot 3^4 \cdot 7\), \(C=2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^2\) olarak verilmiştir. \(\text{ebob}(A, B, C)\) kaçtır?
A) \(2^3 \cdot 3^1\)B) \(2^3 \cdot 3^2\)
C) \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\)
D) \(2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7\)
E) \(2^2 \cdot 3^1\)
50 ve 80 sayılarını tam bölen kaç farklı pozitif tam sayı vardır?
A) 2B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Bir sınıftaki 150 adet kalem ve 120 adet defter, öğrencilere eşit şekilde paylaştırılacaktır. Her öğrenciye eşit sayıda kalem ve eşit sayıda defter düşecek şekilde, bu sınıfa en fazla kaç öğrenci bulunabilir?
A) 10B) 15
C) 20
D) 30
E) 60
83 ve 125 sayıları bir \(x\) doğal sayısına bölündüğünde sırasıyla 3 ve 5 kalanını veriyor. Buna göre, \(x\) 'in en büyük değeri kaçtır?
A) 5B) 8
C) 10
D) 20
E) 40
Aşağıda bir sayının çarpan ağacı gösterilmiştir: \(A\) sayısının dalları \(2\) ve \(60\); \(60\) sayısının dalları \(2\) ve \(30\); \(30\) sayısının dalları \(3\) ve \(10\); \(10\) sayısının dalları \(2\) ve \(5\) 'tir. Buna göre 'A' yerine hangi sayı gelmelidir?
A) \(120\)B) \(60\)
C) \(30\)
D) \(10\)
E) \(5\)
Bir sayının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir: En üstte \(X\) sayısı, alt dalları \(2\) ve \(Y\); \(Y\) 'nin alt dalları \(3\) ve \(Z\); \(Z\) 'nin alt dalları \(5\) ve \(7\) 'dir. Bu sayı kaçtır ve asal çarpanlarına ayrılmış hali nasıldır?
A) \(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)B) \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\)
C) \(70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\)
D) \(140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7\)
E) \(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2\)
240 sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir: \(240\) 'ın dalları \(2\) ve \(120\); \(120\) 'nin dalları \(2\) ve \(60\); \(60\) 'ın dalları \(2\) ve \(30\); \(30\) 'un dalları \(p\) ve \(15\); \(15\) 'in dalları \(3\) ve \(5\) 'tir. Boş bırakılan 'p' yerine hangi asal sayı gelmelidir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(5\)
D) \(7\)
E) \(11\)
Bir sayının çarpan ağacının en alt satırında yer alan asal çarpanlar \(2, 2, 2, 3, 5\) olduğuna göre, bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(30\)B) \(60\)
C) \(120\)
D) \(180\)
E) \(240\)
420 sayısının çarpan ağacı oluşturulduğunda, en alt sıradaki tüm asal çarpanların toplamı kaç olur?
A) \(10\)B) \(12\)
C) \(17\)
D) \(19\)
E) \(21\)
180 sayısının çarpan ağacı aşağıdaki gibidir: \(180\) 'in dalları \(2\) ve \(A\); \(A\) 'nın dalları \(2\) ve \(B\); \(B\) 'nin dalları \(3\) ve \(C\); \(C\) 'nin dalları \(3\) ve \(5\) 'tir. Buna göre \(A, B\) ve \(C\) ile gösterilen sayılardan kaç tanesi asal sayı değildir?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)
E) \(4\)
Bir sayının çarpan ağacının en alt sırasındaki sayılar \(2, 2, 3, 3, 5\) olduğuna göre, bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(30\)B) \(60\)
C) \(90\)
D) \(120\)
E) \(180\)
Aşağıdaki çarpan ağacında A ve B birer tam sayıdır: \(180\) 'in dalları \(A\) ve \(90\); \(90\) 'ın dalları \(2\) ve \(B\); \(B\) 'nin dalları \(3\) ve \(15\); \(15\) 'in dalları \(3\) ve \(5\) 'tir. Buna göre \(A+B\) kaçtır?
A) \(15\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(47\)
E) \(92\)
720 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\) ise, \(a+b+c\) kaçtır? (Bu ifade çarpan ağacı kullanılarak da bulunabilir.)
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Bir sayının çarpan ağacındaki en alt satırda 2 adet \(2\), 1 adet \(3\) ve 1 adet \(7\) asal çarpanı bulunmaktadır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(28\)B) \(42\)
C) \(56\)
D) \(84\)
E) \(126\)
12, 18 ve 24 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?
A) 36B) 48
C) 72
D) 96
E) 108
İki zil sırasıyla 15 dakikada ve 20 dakikada bir çalmaktadır. Eğer bu iki zil ilk kez saat 10:00'da birlikte çalmışlarsa, bir sonraki sefere saat kaçta birlikte çalarlar?
A) 10:30B) 10:45
C) 11:00
D) 11:15
E) 11:30
İki doğal sayının çarpımı 360'tır. Bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 6 olduğuna göre, en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?
A) 30B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
Birbirinden farklı iki doğal sayının EKOK'u 60'tır. Bu sayıların EBOB'u ise 10'dur. Bu sayılardan biri 20 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
A) 10B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
5'e bölündüğünde 3, 7'ye bölündüğünde 3 ve 8'e bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır?
A) 27B) 53
C) 83
D) 123
E) 283
Asal çarpanlarına ayrılmış halleri \(A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1\) ve \(B = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1\) olan iki doğal sayının EKOK'u kaçtır?
A) \(2^2 \cdot 3^2\)B) \(2^3 \cdot 3^3\)
C) \(2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7\)
D) \(2^5 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7\)
E) \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\)
Bir sınıftaki öğrenciler dörderli, beşerli veya altışarlı gruplandırıldığında her seferinde 2 öğrenci artıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı 100'den fazla olduğuna göre, bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
A) 62B) 122
C) 182
D) 242
E) 302
Pozitif bir tam sayı olan \(x\) için \(6x\) ve \(9x\) sayılarının EKOK'u aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(3x\)B) \(18x\)
C) \(36x\)
D) \(54x\)
E) \(6x\)
İki doğal sayı birbirine oranları 3:5 şeklindedir. Bu iki sayının EKOK'u 120 olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
A) 48B) 60
C) 64
D) 72
E) 80
A ve B koşucuları dairesel bir pistte aynı anda ve aynı noktadan koşmaya başlıyorlar. A koşucusu bir turu 30 saniyede, B koşucusu ise bir turu 40 saniyede tamamlıyor. İkisi ilk kez başlangıç noktasında tekrar kaç saniye sonra karşılaşırlar?
A) 60B) 90
C) 120
D) 150
E) 180
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/44-10-sinif-ebob-ekok-ve-carpan-agaci-test-coz-2201