9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik - Açı-Kenar-Açı ve Açı-Açı-Açı Eşlikleri
📌 Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği
İki üçgenin eş olabilmesi için gerekli ve yeterli koşullardan biri Açı-Kenar-Açı (AKA) eşliğidir. Bu eşlik kuralına göre, eğer bir üçgenin iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarı, diğer bir üçgenin karşılıklı iki açısına ve bu iki açı arasındaki kenarına eş ise, bu iki üçgen eş üçgenlerdir.
Kuralın Açıklaması:
- Birinci üçgenin iki açısı (\( \angle A \) ve \( \angle B \)) ve bu iki açı arasındaki kenarı (\( [AB] \)) alınır.
- İkinci üçgenin karşılıklı açıları (\( \angle D \) ve \( \angle E \)) ve bu iki açı arasındaki kenarı (\( [DE] \)) alınır.
- Eğer \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \) ve \( [AB] = [DE] \) ise, o zaman bu iki üçgen eş üçgenlerdir.
- Bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
💡 Önemli Not: Eşlikte, açılar ve kenarların sıralaması önemlidir. Yani \( \angle A \) açısı \( \angle D \) açısına, \( \angle B \) açısı \( \angle E \) açısına ve aradaki \( [AB] \) kenarı \( [DE] \) kenarına eş olmalıdır.
💡 Açı-Açı-Açı (AAA) Durumu ve Eşlik Olmadığı
İki üçgenin eş olabilmesi için Açı-Açı-Açı (AAA) eşliği diye bir kural yoktur. Eğer iki üçgenin üç açısı da birbirine eş ise, bu üçgenler benzer üçgenler olur, ancak eş olmak zorunda değildirler.
Neden Eşlik Olmaz?
- Üç açısı da eş olan üçgenlerin kenar uzunlukları farklı olabilir. Bu durum, üçgenlerin boyutlarının farklı olabileceği anlamına gelir.
- Örneğin, bir üçgenin açıları \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) ise ve diğer üçgenin açıları da \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) ise, bu iki üçgen benzerdir.
- Ancak, birinci üçgenin kenarları \( 3, 4, 5 \) iken, ikinci üçgenin kenarları \( 6, 8, 10 \) olabilir. Bu durumda üçgenler eş değildir.
✅ Sonuç: Sadece açıların eş olması, üçgenlerin kenarlarının da eş olmasını garantilemez. Bu yüzden AAA durumu, üçgenlerin benzerliği için yeterlidir, eşliği için yeterli değildir.
🚀 Özet Tablo
| Eşlik Kuralı | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| AKA (Açı-Kenar-Açı) | İki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eş. | Üçgenler eş olur. (\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)) |
| AAA (Açı-Açı-Açı) | Üç açısı da eş. | Üçgenler benzer olur, eş olmak zorunda değildir. |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: AKA Eşliği
Soru: Aşağıdaki \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( [AB] = 8 \) cm ve \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 70^\circ \), \( [DE] = 8 \) cm veriliyor. Bu iki üçgen eş midir? Eş ise nasıl gösterilir?
Çözüm:
Üçgenlerin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \) ve \( \angle F = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \) olur.
Elimizde \( \angle A = \angle D = 50^\circ \), \( \angle B = \angle E = 70^\circ \) ve bu açılar arasındaki kenarlar \( [AB] = [DE] = 8 \) cm'dir. Bu durum, Açı-Kenar-Açı (AKA) eşliğinin şartlarını sağlamaktadır.
Bu nedenle, \( \triangle ABC \) üçgeni ile \( \triangle DEF \) üçgeni eş üçgenlerdir. Eşlik gösterimi: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \).
Örnek 2: AAA Durumunda Eşlik Olmaması
Soru: \( \triangle KLM \) üçgeninin açıları \( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \) ve \( \triangle PQR \) üçgeninin açıları da \( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \) olarak verilmiştir. \( [KL] = 5 \) cm ve \( [PQ] = 10 \) cm olduğuna göre, bu iki üçgen eş midir?
Çözüm:
Her iki üçgenin de açıları \( 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \) olduğundan, bu üçgenler benzerdir. Ancak, eş olmaları için karşılıklı kenarlarının da eşit olması gerekir.
Soruda verilenlere göre, \( [KL] = 5 \) cm ve \( [PQ] = 10 \) cm'dir. \( [KL] eq [PQ] \) olduğundan, bu iki üçgen eş değildir. Sadece açıları eşit olduğu için benzerdirler. Bu durum, AAA eşliğinin neden eşlik sağlamadığını gösterir." .
Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninde, \( m(\angle BAC) = 45^\circ \), \( |AB| = 10 \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, ABC üçgeninin alanını hesaplayınız.
B) \( 30 \) cm \( ^2 \)
C) \( 35 \) cm \( ^2 \)
D) \( 40 \) cm \( ^2 \)
E) \( 45 \) cm \( ^2 \)
Aşağıdaki şekilde ABC ve DEF üçgenlerinde, \( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \) ve \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) \) olarak verilmiştir. Bu bilgilere göre, aşağıdaki eşlik türlerinden hangisi ile ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir?
B) Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği
C) Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği
D) Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği
E) Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşliği
İki üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ise, bu üçgenler hangi eşlik kuralına göre eş olur?
B) Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği
C) Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği
D) Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği
E) Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşliği
Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninde, \( m(\angle BAC) = 50^\circ \), \( m(\angle ABC) = 70^\circ \) ve \( |BC| = 8 \) cm'dir. DEF üçgeninde ise, \( m(\angle EDF) = 50^\circ \), \( m(\angle DEF) = 70^\circ \) ve \( |EF| = 8 \) cm'dir. Bu bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni hangi eşlik kuralına göre eşittir?
B) Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği
C) Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği
D) Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği
E) Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşliği
ABC üçgeninde \( |AC| = 10 \) cm, \( m(\angle BAC) = 40^\circ \) ve \( m(\angle ACB) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. DEF üçgeninde \( |DF| = 10 \) cm, \( m(\angle FDE) = 40^\circ \) ve \( m(\angle DFE) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni hangi eşlik kuralına göre eşittir?
B) Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği
C) Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği
D) Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği
E) Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşliği
Aşağıdaki geometrik şekilde, \( AB \parallel DE \) ve \( BC \parallel EF \) olduğuna göre, \( m(\angle ABC) \) ile \( m(\angle DEF) \) arasındaki ilişki nedir?
B) \( m(\angle ABC) + m(\angle DEF) = 180^\circ \)
C) \( m(\angle ABC) = 180^\circ - m(\angle DEF) \)
D) \( m(\angle ABC) = 90^\circ \)
E) Aralarında bir ilişki yoktur.
İki üçgenin karşılıklı iki açısı da birbirine eşit ise, bu üçgenler için ne söylenebilir?
B) Bu iki üçgen kesinlikle benzerdir.
C) Bu iki üçgen kesinlikle eştir.
D) Bu iki üçgenin çevreleri eşittir.
E) Bu iki üçgenin alanları eşittir.
Bir \( ABC \) üçgeninde \( m(\angle A) = 60^\circ \) ve \( m(\angle B) = 50^\circ \) 'dir. Başka bir \( DEF \) üçgeninde \( m(\angle D) = 60^\circ \) ve \( m(\angle E) = 70^\circ \) 'dir. Bu iki üçgen arasındaki ilişki nedir?
B) \( ABC \) üçgeni \( DEF \) üçgenine benzerdir.
C) \( ABC \) üçgeni \( DEF \) üçgenine benzer değildir ve eş de değildir.
D) \( ABC \) üçgeninin \( DEF \) üçgenine göre özel bir simetrisi vardır.
E) \( ABC \) üçgeninin \( DEF \) üçgenine göre özel bir döndürme simetrisi vardır.
Aşağıdaki şekilde \( AB \parallel CD \) ve \( AC \) bir kesendir. \( m(\angle BAC) = 45^\circ \) olduğuna göre, \( m(\angle ACD) \) kaç derecedir?
B) \( 45^\circ \)
C) \( 60^\circ \)
D) \( 90^\circ \)
E) \( 135^\circ \)
İki üçgenin kenar-açı-kenar (KAK) eşlik koşulunu sağladığı biliniyor. Bu eşlik koşulu, üçgenlerin hangi eşlik kuralına göre eş olduğunu gösterir?
B) Açı-Kenar-Açı (AKA) eşliği
C) Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşliği
D) Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşliği
E) Açı-Açı (AA) benzerliği
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4405-9-sinif-aci-kenar-aci-esligi-ve-aci-aci-aci-esligi-test-coz-c5tm