Eşitlik ve Denklem ile Oran-Orantı Çalışma Notları
Temel Kavramlar: Eşitlik ve Denklem
Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencileri! Bu notlarda, matematik dersimizin önemli konularından olan Eşitlik ve Denklem ile Oran ve Orantı konularını birlikte tekrar edeceğiz. Matematik yolculuğumuzda bu konular bize problemlerin çözümünde harika araçlar sunar. 🚀
Eşitlik Nedir?
Eşitlik, iki matematiksel ifadenin birbirine eşit olduğunu gösteren bir durumdur. Eşitliğin her iki tarafı da aynı değere sahip olmalıdır. Eşitlik sembolü olarak \(=\) kullanılır.
- Örnek: \(5 + 3 = 8\)
- Örnek: \(12 \div 4 = 3\)
Denklem Nedir?
Denklem, içinde bilinmeyen (genellikle \(x\), \(y\) gibi harflerle gösterilir) bulunan ve bu bilinmeyenin değerini bulmamızı gerektiren bir eşitliktir. Denklemleri çözerek bilinmeyenin değerini buluruz.
- Örnek: \(x + 5 = 12\)
- Örnek: \(3y = 21\)
Denklem Çözme Yöntemleri
Denklem çözmede temel amaç, bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. Bunun için eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygularız.
- Toplama işlemine göre tersi olan çıkarma işlemi ile,
- Çıkarma işlemine göre tersi olan toplama işlemi ile,
- Çarpma işlemine göre tersi olan bölme işlemi ile,
- Bölme işlemine göre tersi olan çarpma işlemi ile denklemleri çözebiliriz.
📌 Unutmayın: Eşitliğin her iki tarafına yaptığınız her işlem, eşitliği bozmaz!
Oran ve Orantı
Oran Nedir?
Oran, iki çokluğun birbirine bölümünün karşılaştırılmasıdır. Genellikle \(:\) veya \(/\) sembolleri ile gösterilir.
- Örnek: Bir sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı \(\frac{Kız}{Erkek}\) şeklinde gösterilir.
- Örnek: \(10\) sayısının \(5\) sayısına oranı \(\frac{10}{5} = 2\) 'dir.
Orantı Nedir?
Orantı, iki veya daha fazla oranın eşitliğidir.
- Örnek: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) şeklinde gösterilen bir orantıda, \(a\) ve \(d\) içler, \(b\) ve \(c\) dışlar olarak adlandırılır.
Özellikleri
- İçler Dışlar Çarpımı: Bir orantıda içler dışlar çarpımı birbirine eşittir. Yani, \(a \times d = b \times c\) 'dir.
- Dört İşlem Özellikleri: Orantının kolları toplanıp çıkarılabilir, oranlar kendi içinde çarpılıp bölünebilir.
💡 Orantı, gerçek hayattaki pek çok problemin çözümünde bize yardımcı olur. Örneğin, tariflerde malzeme oranlarını ayarlarken veya harita üzerindeki mesafeleri gerçek mesafeye çevirirken kullanılır.
Önemli Not: Denklem çözümlerinde bilinmeyeni yalnız bırakmak için ters işlemleri kullanmak esastır. Orantılarda ise içler dışlar çarpımı kuralı problemleri büyük ölçüde kolaylaştırır. ✅
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: Denklem Çözümü
Soru: \(4x - 7 = 13\) denklemini sağlayan \(x\) değerini bulunuz.
Çözüm:
- Önce \(-7\) 'yi eşitliğin diğer tarafına \(+7\) olarak atarız: \(4x = 13 + 7\)
- Toplama işlemini yaparız: \(4x = 20\)
- \(x\) 'i yalnız bırakmak için her iki tarafı \(4\) 'e böleriz: \(\frac{4x}{4} = \frac{20}{4}\)
- Sonucu buluruz: \(x = 5\)
Cevap: \(x = 5\)
Soru 2: Orantı Problemi
Soru: Bir otobüs gideceği yolun \(\frac{2}{5}\) 'ini saatte \(60\) km hızla gitmiştir. Kalan yolu aynı hızla gideceğine göre, yolun tamamını kaç saatte gider?
Çözüm:
- Gidilen yol \(\frac{2}{5}\) ise, kalan yol \(\frac{3}{5}\) 'tir.
- Yolun \(\frac{2}{5}\) 'i \(60\) km hızla gidilmiştir. Bu ifade, yolun tamamının \(2\) biriminin \(60\) km'ye karşılık geldiği anlamına gelir.
- Eğer \(\frac{2}{5}\) 'i \(60\) km ise, o zaman \(\frac{1}{5}\) 'i \(30\) km'dir.
- Yolun tamamı \(\frac{5}{5}\) olduğundan, yolun tamamı \(5 \times 30 = 150\) km'dir.
- Kalan yol \(\frac{3}{5}\) 'tir, bu da \(3 \times 30 = 90\) km'dir.
- Aynı hızla (\(60\) km/saat) \(90\) km yol gidecekse, bu süre \(\frac{90 \text{ km}}{60 \text{ km/saat}} = 1.5\) saattir.
- Yolun tamamını kaç saatte gider sorusuna gelince, yolun tamamı \(150\) km idi. \(150 \text{ km} \div 60 \text{ km/saat} = 2.5\) saat sürer.
- Alternatif olarak: \(\frac{2}{5}\) 'lik kısım için \(t_1\) saat harcandıysa, \(\frac{3}{5}\) 'lik kısım için \(t_2\) saat harcanır. Orantı kurarsak: \(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{t_1}{t_2}\) yani \(\frac{2}{3} = \frac{t_1}{t_2}\).
- Soruda \(\frac{2}{5}\) 'ini saatte \(60\) km hızla gittiği söyleniyor. Eğer hız sabitse, gidilen yol ile geçen süre doğru orantılıdır.
- Yani, \(\frac{2}{5}\) yol için harcanan süre \(t_1\) ise, \(\frac{3}{5}\) yol için harcanan süre \(t_2\) olur. Orantı: \(\frac{2}{5} / \frac{3}{5} = t_1 / t_2 \implies 2/3 = t_1/t_2\).
- Problemde hız sabitti ve \(\frac{2}{5}\) 'lik yolun gidildiği süre verilmemiş, ancak hız verilmiş. Soruyu yeniden yorumlayalım: Eğer yolun \(\frac{2}{5}\) 'i \(1\) saatte gidilseydi (hız \(60\) km/saat olsaydı), o zaman kalan \(\frac{3}{5}\) 'i \(1.5\) saatte giderdi ve toplam yolculuk \(2.5\) saat sürerdi. Ancak soruda hız verilmiş, süre değil.
- Tekrar yorumlayalım: Yolun tamamı \(5\) birim olsun. \(\frac{2}{5}\) 'i yani \(2\) birim yol \(60\) km/saat hızla gidilmiştir. Yolun tamamı \(150\) km'dir. Yolun \(\frac{2}{5}\) 'i \(60\) km'dir. Bu \(60\) km'yi \(60\) km/saat hızla giderse \(1\) saatte alır. Kalan yol \(150 - 60 = 90\) km'dir. Bu \(90\) km'yi de \(60\) km/saat hızla giderse \(\frac{90}{60} = 1.5\) saatte alır.
- Toplam süre: \(1 \text{ saat} + 1.5 \text{ saat} = 2.5\) saat.
Cevap: Yolun tamamını \(2.5\) saatte gider.
Bir sınıftaki erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısının 3 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 27 öğrenci olduğuna göre, erkek öğrenci sayısı kaçtır?
A) \( 18 \)B) \( 19 \)
C) \( 20 \)
D) \( 21 \)
Ali'nin yaşının 2 katının 4 fazlası, Veli'nin yaşına eşittir. Veli 22 yaşında olduğuna göre, Ali kaç yaşındadır?
A) \( 7 \)B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
Bir çiftçi tarlasının önce \( \frac{1}{3} \) 'ünü, sonra kalan kısmın \( \frac{1}{2} \) 'sini ekmiştir. Geriye 120 dönüm boş tarla kaldığına göre, çiftçinin tarlasının tamamı kaç dönümdür?
A) \( 360 \)B) \( 380 \)
C) \( 400 \)
D) \( 420 \)
Bir çiftçi, tarlasındaki ürünlerin \( \frac{2}{5} \) 'ini pazarda sattıktan sonra geriye 120 kg ürün kalmıştır. Çiftçinin başlangıçta kaç kg ürünü olduğunu bulunuz.
A) \( 180 \) kgB) \( 200 \) kg
C) \( 240 \) kg
D) \( 300 \) kg
İki sayının oranı \( \frac{3}{7} \) 'dir. Bu iki sayının toplamı 50 olduğuna göre, bu iki sayının farkı kaçtır?
A) \( 15 \)B) \( 20 \)
C) \( 25 \)
D) \( 30 \)
A noktasından B noktasına giden bir araç, yolun \( \frac{1}{4} \) 'ünü gittiğinde 60 km yol almıştır. Bu araç A noktasından C noktasına gittiğinde toplam yolun \( \frac{3}{4} \) 'ünü gitmiş olacaktır. Buna göre, A noktasından C noktasına kadar kaç km yol gitmiştir?
A) \( 180 \) kmB) \( 200 \) km
C) \( 240 \) km
D) \( 270 \) km
Bir sayının 3 katının 5 fazlası 23'e eşittir. Bu sayı kaçtır?
\[ 3x \(+ 5 = 23\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
Aşağıdaki denklemde bilinmeyeni bulunuz:
\[\(\frac{y}{4} - 2 = 3\) \]
B) \( 20 \)
C) \( 24 \)
D) \( 28 \)
Ali'nin yaşının 2 katı, Ayşe'nin yaşının 3 katından 6 eksiktir. Ali 12 yaşında olduğuna göre, Ayşe kaç yaşındadır?
Ali'nin yaşı \(=\) \( A \), Ayşe'nin yaşı \(=\) \( Y \)
\( 2A = 3Y - 6 \)
\( A = 12 \)
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
Bir çiftçi, tarlasındaki ürünlerin \( \frac{2}{5} \) 'ini pazarda satıyor. Geriye kalan ürünlerin \( \frac{3}{4} \) 'ü ise toptancıya satılıyor. Buna göre, çiftçinin elinde kalan ürünler, başlangıçtaki ürünlerin kaçta kaçıdır?
B) \( \frac{3}{20} \)
C) \( \frac{1}{5} \)
D) \( \frac{3}{10} \)
Bir sayının 3 katının 5 eksiği 16 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
\[ 3x \(- 5 = 16\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
Aşağıdaki eşitlikte \( y \) kaçtır?
\[\(\frac{y}{4} + 2 = 7\) \]
B) \( 20 \)
C) \( 25 \)
D) \( 30 \)
Bir sepetteki elmaların sayısının 2 katının 8 fazlası 26'dır. Buna göre sepette kaç elma vardır?
\[ 2x \(+ 8 = 26\) \]
B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
Bir çiftçi, tarlasının \( \frac{3}{5} \) 'ine buğday ekmiştir. Geriye kalan \( 120 \) dönümlük alana ise mısır ekmiştir. Buna göre, çiftçinin tarlasının tamamı kaç dönümdür?
A) \( 200 \)B) \( 250 \)
C) \( 300 \)
D) \( 350 \)
Birbirine oranları \(\frac{2}{3}\) olan iki sayıdan büyük olanı 27 olduğuna göre, küçük olan sayı kaçtır?
A) 15B) 18
C) 20
D) 21
\( 3 \) işçi \( 12 \) günde \( 60 \) metrekare halı dokuyabiliyorsa, aynı kapasitedeki \( 5 \) işçi aynı sürede kaç metrekare halı dokuyabilir?
A) \( 90 \)B) \( 100 \)
C) \( 120 \)
D) \( 150 \)
Bir sınıftaki erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısının 3 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 27 öğrenci olduğuna göre, kız öğrenci sayısı kaçtır?
A) \( 6 \)B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( y \) değeri kaçtır?
\[ 3(y - 2) \(+ 5 = 2\) y + 7 \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
Bir çiftlikte bulunan tavuk ve koyunların toplam sayısı 30'dur. Tavukların ayak sayısı 2, koyunların ayak sayısı 4'tür. Eğer çiftlikteki toplam ayak sayısı 80 ise, kaç tane koyun vardır?
A) \( 10 \)B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
Bir manavda 3 kg elmanın fiyatı 12 TL'dir. Buna göre 5 kg elmanın fiyatı kaç TL'dir?
A) [ \( 15 \) ]B) [ \( 18 \) ]
C) [ \( 20 \) ]
D) [ \( 25 \) ]
\( \frac{a}{b} = \frac{2}{5} \) ve \( a = 6 \) olduğuna göre \( b \) kaçtır?
A) [ \( 10 \) ]B) [ \( 15 \) ]
C) [ \( 20 \) ]
D) [ \( 30 \) ]
Bir işi 4 işçi 10 günde bitirebiliyorsa, aynı işi 8 işçi kaç günde bitirir?
A) [ \( 2 \) ]B) [ \( 4 \) ]
C) [ \( 5 \) ]
D) [ \( 20 \) ]
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4413-7-sinif-esitlik-ve-denklem-test-coz-meq9